UBND QUẬN BA ĐÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: TOÁN

Ngày kiểm tra: 18/12/2024
Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề có 01 trang)
Bài I (2,0 điểm)
1) Giải các phương trình sau
a) x  x  7   x  7  0 ;

b)

x 1
x 8
3
.
x2
2x

 x  2 y  12
2) Giải hệ phương trình 
.
2
x

3
y

3

3) Giải bất phương trình x 2  3 x  1  2  x  1  x  3  x  .
Bài II (2,0 điểm)
x
x 4
x  1 x  15


Cho hai biểu thức A 
và B 
với x  0 , x  9 .
x 1
x 3
x 3 x 9
1) Tính giá trị biểu thức A với x  4 .
x
2) Chứng minh B 
.
x 3
B
3) Cho P  . Tìm các số nguyên tố x để P  1 .
A
Bài III. (1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Anh Nam dự định mua một lò vi sóng và một máy rửa bát với tổng số tiền theo giá niêm
yết là 8 610 000 đồng. Vì hôm đó cửa hàng có chương trình khuyến mãi giảm 5% cho lò vi
sóng và 6% cho máy rửa bát nên anh Nam đã mua thêm một máy rửa bát nữa để tặng người
thân. Tổng số tiền anh trả cho cửa hàng là 13 527 000 đồng. Hỏi giá niêm yết của một lò vi
sóng và một máy rửa bát là bao nhiêu?
Bài IV (4,0 điểm)
1) Một người đi xe đạp lên một đoạn đường dốc từ A
đến B có độ nghiêng 6 so với mặt đất. Biết đỉnh dốc cao
khoảng 34 m so với phương nằm ngang. Hỏi đoạn đường dốc
đó dài bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
2) Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB  2 R . Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn.
Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC  R . Từ C kẻ tiếp tuyến CD của đường tròn  O  ( D là
tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm O , A , C , D cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh OC vuông góc với AD và OC song song với BD .
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại M , CO cắt AM tại N , CD
cắt OM tại E , CM cắt OD tại F . Chứng minh N , E , F thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm). Bác Vinh dự định dành ra một thửa đất có dạng
hình chữ nhật trong mảnh đất lớn của gia đình để làm khu chăn
nuôi. Bác dự định để phần đất ở giữa dạng hình chữ nhật để làm
chuồng nuôi, phần còn lại ốp gạch làm lối đi (như hình bên). Biết
tổng diện tích chuồng nuôi và lối đi là 864 m 2 . Hỏi bác Vinh nên
chọn các kích thước của thửa đất là bao nhiêu để diện tích phần
chuồng nuôi là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
---------------------HẾT--------------------(Học sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

UBND QUẬN BA ĐÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: TOÁN

Ngày kiểm tra: 18/12/2024
Bài

Đáp án
1) Giải các phương trình sau
a) x  x  7   x  7  0

 x  1 x  7   0

x  1 hoặc x  7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  1; x  7
x 1
x8
3
b)
x2
2 x
Điều kiện xác định: x  2
x  1 3 x  2  x  8


0
x2
x2
x2
5 x  15  0
x  3 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  3
 x  2 y  12
 1
2) Giải hệ phương trình 
 2
 2 x  3 y  3

Bài I
2,0 điểm Từ phương trình (1) ta có x  2 y  12 (3)
Thế vào phương trình (2) ta được
2  2 y  12   3 y  3
7 y  21
y  3
Thế y  3 vào phương trình (3) ta được
x  2   3  12  6
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  x; y    6; 3

3) Giải bất phương trình x 2  3 x  1  2  x  1  x  3  x 
x 2  3x  1  2 x  2  3x  x2
3  2x
3
x
2
3
Vậy bất phương trình có nghiệm là x 
2
1) Tính giá trị biểu thức A với x  4
x  4 thỏa mãn điều kiện

Bài II Thay x  4 vào biểu thức A ta được A  2  2 .
2,0 điểm
2 1 3
2
Vậy với x  4 thì A  .
3

Điểm
1,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25

0,25

0,5

0,25

0,25
0,5
0,25

0,25
0,5
0,25
0,25

x
.
x 3

2) Chứng minh B 
B
B

B
B






x  3

x 4

x3 x
x 3

x





x  3 
x 3



x 3

x 3

x 3

x 3
x







x 3


x  3
x 3

1,0


x  3 
x 1

x  15
x 3



x 3





0,25



0,25



0,25

B
. Tìm các số nguyên tố x để P  1
A
x
x
x 1
:

x 1
x 3
x 3

3) Cho P 
P



0,25

0,5



Để P  1 thì P  1  0 hay

x 1
1 0
x 3

4
0
x 3
Mà 4  0 nên suy ra x  3  0 hay x  9
Kết hợp với các điều kiện x  0 , x  9 , x là số nguyên tố, ta tìm được
x  2;3;5;7
Vậy các số nguyên tố x để P  1 là 2,3,5,7 .
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Gọi giá niêm yết của một lò vi sóng và một máy rửa bát lần lượt là x và
y (đơn vị: đồng; điều kiện: x, y  0 )
Vì tổng số tiền theo giá niêm yết của một lò vi sóng và một máy rửa bát
với là 8 610 000 đồng nên ta có phương trình x  y  8 610 000 (1)
Thực tế anh Nam đã trả 13 527 000 đồng mua một lò vi sóng với giá
khuyến mãi 5% và hai máy rửa bát với giá khuyến mãi 6% nên ta có
phương trình
Bài III
100%  5%  x  100%  6%  2 y  13 527 000
1,5 điểm
hay 0,95 x  1,88 y  13 527 000 (2)
x  y  8 610 000

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
0,95 x  1,88 y  13 527 000

0,25

Suy ra

 x  2 860 000
Giải hệ phương trình trên ta được 
(thỏa mãn điều kiện)
y

5
750
000

Vậy giá niêm yết của một lò vi sóng là 2 860 000 đồng, giá niêm yết của
một máy rửa bát là 5 750 000 đồng.
Bài IV 1) Hỏi đoạn đường dốc đó dài bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến
4,0 điểm hàng đơn vị)

0,25
1,5
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
1,0

ABH 
Xét tam giác ABH vuông tại H có sin 

BH
AB

34
AB
Từ đó suy ra AB  325 (m)
Vậy đoạn đường dốc đó dài khoảng 325 mét.
2) Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB  2 R . Kẻ tiếp tuyến Ax
của đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC  R . Từ C kẻ
tiếp tuyến CD của đường tròn  O  ( D là tiếp điểm).
Thay số sin 6 

0,25
0,25
0,25
0,25
3,0

0,25

Vẽ hình đúng đến câu a
a) Chứng minh bốn điểm O , A , C , D cùng nằm trên một đường tròn.
Vì CA, CD là các tiếp tuyến của  O  tại các tiếp điểm A, D nên
  CDO
  90 .
CAO

0,75
0,25

1
Gọi I là trung điểm của CO suy ra IC  IO  CO
2

1
CAO vuông tại A có đường trung tuyến AI nên IA  CO .
2
1
Tương tự với CDO ta có ID  CO .
2
1
Vậy IC  IO  IA  ID  CO nên bốn điểm O , A , C , D cùng nằm
2
1
trên đường tròn tâm I , bán kính CO .
2
b) Chứng minh OC vuông góc với AD và OC song song với BD .
Xét  O  có CA, CD là các tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CA  CD
suy ra C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD; mà
OA  OD  R nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD;
Vậy CO là đường trung trực của đoạn thẳng AD , suy ra CO  AD

0,25

0,25
1,0
0,25
0,25

 ADB có DO là đường trung tuyến, mà DO 

1
AB nên  ADB
2

vuông tại D . Suy ra AD  DB
Vì OC và BD cùng vuông góc với AD nên OC song song với BD .
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại M , CO cắt
AM tại N , CD cắt OM tại E , CM cắt OD tại F . Chứng minh N
, E , F thẳng hàng.
  MOB
  90 ; AO  OB  R ; 

CAO và MOB có CAO
AOC  OBM
(2 góc so le trong, CO  MB ) nên CAO MOB (g.c.g)
Suy ra CO  MB mà CO  MB nên tứ giác COBM là hình bình hành,
suy ra CM  OB hay CM  AO
Mà CM  AO (cùng  OB ) nên tứ giác CMOA là hình bình hành, lại
  90 nên CMOA là hình chữ nhật.
có CAO
Từ đó suy ra CM  MO , mà CD  OF , CD cắt MO tại E nên E là
trực tâm của OCF , suy ra FE  CO (1)
 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), 
 (2
Lại có 
ACN  NCE
ACN  NOE
  NOE
 , suy ra CEO cân tại E ;
góc so le trong, AC  MO ) nên NCE
Mặt khác, vì CMOA là hình chữ nhật nên N là trung điểm của CO.
CEO cân tại E nên đường trung tuyến EN đồng thời là đường cao,
suy ra EN  CO (2)
Từ (1) và (2) suy ra N , E, F thẳng hàng.
Hỏi bác Vinh nên chọn các kích thước của thửa đất là bao nhiêu để
diện tích phần chuồng nuôi là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Gọi các kích thước cần tìm là x, y ( x, y  0 )
Diện tích chuồng
S   x  3 y  2   xy   2 x  3 y   6  870   2 x  3 y 
Bài V Ta có 2 x  3 y  2 2 x3 y  144
0,5 điểm
Suy ra S  870  144  726
 2x  3y
 x  36
Dấu “=” xảy ra khi 
hay 
 xy  864
 y  24
Vậy bác Vinh nên chọn các kích thước của thửa đất là 36 m và 24 m để
diện tích phần chuồng nuôi là lớn nhất là 726 m2
---------------------HẾT---------------------

0,25
0,25
1,0

0,25

0,25

0,25

0,25
0,5

0,25

0,25