VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Căn bậc hai

1

Chuyên đề
Link tra cứu lời giải

Câu 1.

Phần mềm xếp TKB mạnh nhất VN

[9d1382](hsg9_2023-2024 An Giang) Khử căn ở mẫu số của biểu thức A =

1
2 + 2− 3

Câu 2.

[9d1383](hsg9_2023-2024 Buôn Mê Thuật) Cho biểu thức:






 5
1
1
M =
+
với x > 0
2
2
 2 x −1  x +1
  2 x +1
 1+ 
 
1 + 
3
3






Rút gọn biểu thức M và tìm tất cả các số tự nhiên

x để giá trị biểu thức

15 3
− là số nguyên
4M 2

tố.
Câu 3.

[9d1384](hsg9_2023-2024 Bình Dương) Cho biểu thức A = 3 1 +

Câu 4.

minh rằng A là một số nguyên.
[9d1385](hsg9_2023-2024 Bình Phước)

84 3
84
+ 1−
. Chứng
9
9

 2x + 4
  x x +8

x
−
− x.
 .
 x x −8 x + 2 x + 4   4+ 2 x


1. Cho biểu thức: P = 
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của

P.

P khi

x = 7 + 4

(

2. Tính a + b biết a + a 2 + 2024
Câu 5.

3

.

)(b +

)

b 2 + 2024 = 2024 .

[9d1386](hsg9_2023-2024 Bình Thuận) Cho biểu thức:

(

)−

3 x + x −1
A=

x+ x −2

x +1
x +2
−
, với x ≥ 0 , x ≠ 1 .
x +2
x −1

Câu 6.

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm các số nguyên x để A có giá trị nguyên.
[9d1387](hsg9_2023-2024 Bắc Giang) Rút gọn biểu thức

Câu 7.

x − 4 x 1− 3 x + x
x −1
+ 2
+
, với x > 0 .
x x +1
x + x
x x −x+ x
[9d1388](hsg9_2023-2024 Bắc Kạn) Cho biểu thức
P=

A=

2 x − 16
−
x−6 x +8

x + 4 2 x +1
−
( x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 16 ) .
x −2 4− x

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 1

VŨ NGỌC THÀNH

Câu 8.

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các giá trị nguyên của
[9d1389](hsg9_2023-2024 Bắc Ninh)
1) Rút gọn biểu thức P =

x để giá trị của A

là một số nguyên.

a + b −1
a− b
b
b 
+
+

 ,(a, b > 0; a ≠ b) .
a + ab
2 ab  a − ab a + ab 
2

2) Phương trình x 2 − 3 x − 5 = 0 có hai nghiệm là x1, x2 . Đặt g(x) = x − 4 . Tính giá trị của biểu
thức T = g ( x1 ) ⋅ g ( x2 ) .
Câu 9.

[9d1390](hsg9_2023-2024 Cao Bằng) Cho biểu thức P =

1

5

−

x +2

−

x −2

x − x −6 3− x

.

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P.

Câu 10. [9d1391](hsg9_2023-2024 Cà Mau) Cho biểu thức
 x+ y
x− y
P=
+
 1 − xy
1 + xy


a) Rút gọn biểu thức

 
x + y + 2xy 
 :  1 +
 , ( x ≥ 0; y ≥ 0;xy ≠ 1) .
1 − xy 
 

P.

20242
1
3
2023
;
y
=
31
.
20232
2023
2024
Câu 11. [9d1392](hsg9_2023-2024 Cần Thơ) Cho biểu thức
2
b) Tính giá trị của P khi x = 1 + 2024 +

P=

x3 − y 3
x
y
−
−
, với y > x > 0
x− y
x+ y
y− x

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Biết ( x −1)( y −1) + 2 xy = 1 . Tính giá trị biểu thức P.
Câu 12. [9d1393](hsg9_2023-2024 Gia Lai) Rút gọn biểu thức



x−2  
x−3
P = 
 +
 1 + x − 2   1 − x − 2 1 + x − 2

(

)(

x ≠ 3; x ≠ 6 . Tìm giá trị của biểu thức

)

 
x−2 −4
2 
:
−
,

  x−2−2 x−2
x − 2 


P khi x = 4 + 2 3 −

(

với

)

x>2

và

(

)

5 +1 4 − 2 3 + 5 ⋅ 3 −1

Câu 13. [9d1394](hsg9_2023-2024 Hà Giang)

 x + 2024
x − 2024 
x
1 
−
+
1 +
 , với x > 0 và x ≠ 1 .
x
−
1
2
x
+
2
x
+
1
2
x




a) Cho biểu thức P = 

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức P tại x = 2024 + 2 2023
b) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + zx = 4 và

x2 + y2 + z2 = (x − y)2 + ( y − z)2 + (z − x)2 . Tính giá trị của biểu thức T

= x+ y+z.

Câu 14. [9d1395](hsg9_2023-2024 Hà Nam) Cho biểu thức


x ≥ 0
x   1
2

.
P = 1 +
−
,với 
 : 

x
≠
1
x
+
1
x
−
1
x
x
+
x
−
x
−
1





1. Rút gọn biểu thức P.
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 2

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

5 +3

2. Tính giá trị của biểu thức P với x =

+ 27 −10 2 .

2 + 3+ 5
Câu 15. [9d1396](hsg9_2023-2024 Hà Tĩnh) Tính giá trị của biểu thức

x4 − 4x3 + x2 + 6x +12
P=
, biết x = 3 5 + 2 13 + 3 5 − 2 13 .
x2 − 2x +12
Câu 16. [9d1397](hsg9_2023-2024 Hòa Bình) Cho biểu thức:

x

P=

x −1

+

3
x +2

−

7 x −4
x+ x −2

Với x ≥ 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức P.b)Tính giá trị của P khi x = 9 − 4 5 .
c) Tính giá trị của x khi P =

1
.
2

Câu 17. [9d1398](hsg9_2023-2024 Hưng Yên) Cho biểu thức

 x +3
x +1
x +7  
x 
A = 
+
+
 : 1 −
 với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 9 .
x
−
1
3
−
x
x
−
4
x
+
3
x
+
1

 

a) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A khi x = 7 − 4 3 .

1
.
A

Câu 18. [9d1399](hsg9_2023-2024 Hải Dương)
1) Rút gọn biểu thức

P=

x − 4 ( x − 1) + x + 4 ( x − 1) 
1 
.1 −
 , với x > 1; x ≠ 2
2
−
1
x


x − 4 ( x − 1)

2) Cho các số thực x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện

Q=

x + y + z = 0. Chứng minh rằng:

6 x2
6 y2
6z2
là một số nguyên.
+
+
x2 − y2 − z 2 y2 − z 2 − x2 z 2 − x2 − y2

Câu 19. [9d1400](hsg9_2023-2024 Hải Phòng) Cho biểu thức

P=

a +1

a
a) Chứng minh P > 4.

+

a a −1

+

a2 −a a + a − 1

a− a

a −a a

với a > 0, a ≠ 1.

8
nhận giá trị nguyên.
P
Câu 20. [9d1401](hsg9_2023-2024 Hậu Giang)

b) Tìm giá trị của a để biểu thức Q =

1) Tìm điều kiện của

x để biểu thức A =
3

2

x
4
có nghĩa. Tìm x để A = .
3
x +1− x +1
2024

2) Tính giá trị của biểu thức P = (x − x −3)

với x =

( 5 + 1) 6 − 2 5

.

5 − 9−4 5
Câu 21. [9d1402](hsg9_2023-2024 Khánh Hòa)
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 3

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

1. Cho biểu thức A =

a a −b b
a
b
−
−
vơi a , b > 0 và a ≠ b .
a −b
a+ b
b− a

A
khi a = 3 8 5 − 16; b = 5 + 1 .
a+ b
2 2
2. Chúng minh rằng C = 4 x ( x + y )( x + y + z )( x + z ) + y z là một số chinh phương với x, y ,
Rút gọn và tính giá trị biểu thức B =

là các số nguyên.
Câu 22. [9d1403](hsg9_2023-2024 Kiên Giang) Cho biểu thức


2 xy
2 xy 
1
A= x+
+ x−
1 + 2 với x ≥ 0, y ≥ 1
2
2 
1+ y
1+ y 
y

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 56 + 24 5
c) Cho B = x + 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A − B .
Câu 23. [9d1404](hsg9_2023-2024 Lai châu) Cho biểu thức:

 x+4 x +4 x+ x
A = 
+
1− x
x
+
x
−
2

a) Rút gọn biểu thức

 
 : 


1
1 
−
 với x > 0; x ≠ 1 .
x +1 1− x 

A.

b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

x

để A ≥

1 + 2024
2024

.

Câu 24. [9d1410](hsg9_2023-2024 Long An) Cho biểu thức

(
A=

)

2

 x−4
x x −8
⋅ 
−
 với điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 4 .
x − 4 
x x +8  x −2
x+2

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Sau khi rút gọn biểu thức A , hãy so sánh A và A .
Câu 25. [9d1411](hsg9_2023-2024 Lào cai) Cho biểu thức:
 2
1 1
M =
+ + ⋅
 xy x y 



xy ( x + y ) − xy

, ( x > 0; y > 0)

x x+y y

a) Rút gọn
b) Biết

+ " = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 26. [9d1412](hsg9_2023-2024 Lâm Đồng)
1) Rút gọn biểu thức:

.


2 x  1
2 x
−
A =  1 −
 : 
+
x
1

 1+ x x +1+ x x +


 với x ≥ 0
x 

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên chẵn % thì n 3 + 44 n chia hết cho 48.

Câu 27. [9d1413](hsg9_2023-2024 Lạng Sơn) Cho biểu thức

 2
3
5 x −7  2 x +3
A = 
+
−
 :
x
−
2
2
x
+
1
2
x
−
3
x
−
2

 9x −18 x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A< 3.
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 4

z

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Câu 28. [9d1414](hsg9_2023-2024 Nam Định)

x4 + 4x3 −12x2 + 8x + 1
a) Cho x = 3 − 2 2 + 9 − 4 2 . Tính giá trị của biểu thức T =
.
x2 + 4x − 13
b) Cho &, (, ) là các sổ thực dương thoá măn & + ( + ) = 5 và √& + √( + √) = 3.
c− b

Chứng minh rằng

a+2

(

)

a− c

+

bc − 1

b+2

(

)

a− b

+

ac − 1

c+2

(

)

2

=

b− a

ab − 1

.

Câu 29. [9d1415](hsg9_2023-2024 Ninh Bình) Cho biểu thức
9
P = 2 a + 6 2 a − 9 + 2b − 6 2b − 9 , trong đó a, b là các số thực thỏa mãn a ≥ ; b ≥ 9 .
2
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi a =

1
13 + 2 3 ; b = 8 + 2 3
2

(

)

Câu 30. [9d1416](hsg9_2023-2024 Ninh Thuận) Cho A =

x

(

x+4 x−4 +

x−4 x−4

2

) vớ i x > 4 .

x − 8 x + 16

a) Rút gọn A . Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 31. [9d1417](hsg9_2023-2024 Phú Yên) Cho các biểu thức

A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
;
1+ 2
2+ 3
3+ 4
8+ 9

B=

1
1
1
1
+
+ + ... + ;
1
2
3
8

C = 1 + 2 + 3 +... + 8 .
a) Tính giá trị của biểu thức A .
b) So sánh giá trị các biểu thức A, B và C .
Câu 32. [9d1418](hsg9_2023-2024 Quảng Bình)
a) Rút gọn biểu thức P =

x + x +1
1
1
−
+
với x ≥ 0; x ≠ 1
x + x − 2 1− x
x +2

b) Tính giá trị biểu thức Q = 28 + 12 5 + 28 − 12 5 + 2 43 − 30 2
Câu 33. [9d1419](hsg9_2023-2024 Quảng nam) Cho biểu thức
A=

2x − 8 x + 3
x+

x − 2 x +1

+

x −6

x −2

Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các số nguyên
Câu 34.

−

2 x

, với x > 4 .

x +3

x thỏa mãn A ≥ x − x .
12

[9d1420](hsg9_2023-2024 Quảng Ninh)
5

4

3

2

a) Cho biểu thức P = x − 2x − 7 x − 2x + 4x + 15. Tính giá trị biểu thức P khi x =

−7

.

9+4 2
b) Cho ba số a , b , c thỏa mãn abc = 1 và a −

1
1
1
+ b − + c − = 0.
a
b
c

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 5

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Chứng minh ( a − 1)( b − 1)( c − 1) = 0 .
Câu 35. [9d1421](hsg9_2023-2024 Quảng Trị) Cho biểu thức
P=

2 2 x − 2 x ( x − 1) − 1 + 2 x + 2 x − 1 + 1
x x −1

1
vớ i x > 1 .
x −1

:

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả các giá trị của

x sao cho P

nhận giá trị nguyên.

Câu 36. [9d1422](hsg9_2023-2024 Sóc Trăng) Cho biểu thức

A=

x+4 x+3 +7 − x−4 x+3 +7

, với x ≥ 1.

x + 2x −1 + x − 2x −1
a) Rút gọn biểu thức

A.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = A + x.
Câu 37. [9d1423](hsg9_2023-2024 Sơn la (2) )

1

1

1

T = ( x2 − x − 2)

2023

1

1

1

1

1

a) Rút gọn biểu thức: P = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
1 2
2 3
20232 20242
3 ( x 2 + 5 x − 1)
24 ( x 2 + 3 x − 1)
b) Cho 0 < x < 2 thỏa mãn:
+ 23 =
. Tính giá trị của biểu thức:
x2 + x − 1
x2 + 2x − 1

+

1

( x2 − x )

2024

.

Câu 38. [9d1424](hsg9_2023-2024 Sơn la)

1

1

1

T = ( x2 − x − 2)

2023

1

a) Rút gọn biểu thức: P = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
1 2
2 3
20232 20242
3 ( x 2 + 5 x − 1)
24 ( x 2 + 3 x − 1)
b) Cho 0 < x < 2 thỏa mãn:
+ 23 =
. Tính giá trị của biểu thức:
x2 + x − 1
x2 + 2x − 1

+

1

( x2 − x )

2024

.

Câu 39. [9d1425](hsg9_2023-2024 Thanh Hóa)
1. Cho biểu thức:



A=  2 −



2 xy + 1
1 + xy

+

xy + x 
2 x   xy − x
−
 : 
 .(với x > 0, y > 0, xy ≠ 1 ).
xy −1 
1 − xy 1 − xy   xy +1
1

+

Rút gọn biểu thức A.
2. Cho a là số thực thỏa mãn: a 3 − a − 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:

B = a 2a6 − 4a4 + 4a2 + 3a − 2a2 + 3a + 2
Câu 40. [9d1426](hsg9_2023-2024 Thái Bình)
1. Cho các số thực dương a , b thỏa mãn: b ( a +1) = 1− a

1 + b2
1 + a2
+b
+
Tinh giá trị cùa biểu thức: P = a
1 + a2
1 + b2
2. Chứng minh: B = 1 + 20232 +

(1 + a )(1 + b )
2

2

4

20232 2023
+
là số tự nhiên.
20242 2024

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 6

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

2 x + 3 x x − 1 x2 + x
Câu 41. [9d1427](hsg9_2023-2024 Thái Nguyên) Cho biểu thức P =
.
+
−
x
x− x x x +x
Rút gọn P và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Câu 42. [9d1428](hsg9_2023-2024 Thừa Thiên Huế)
a) Rút gọn biểu thức P =

x +1
2x +1
1
+
+
với x ≥ 0; x ≠ 1 .
x x −1 x + x +1 1− x

b) Cho a,b,c là các số thực sao cho a + b + c = 2 và
Tính giá trị biểu thức Q =

a
b
c
+
+
=1.
b+c c+a a+b

1
1
1
.
+
+
b+c c+a a+b

Câu 43. [9d1429](hsg9_2023-2024 Tiền Giang)
x +1
x+2
x +1
−
−
x −1 x x −1 x + x +1

1) Cho biểu thức: P =

( x > 0; x ≠ 1) .

a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

2
+
P

x.

2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn a + b + c = 11 và

1 1 1
+ + = 1.
a b c

Tính giá trị của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + 2 abc .
Câu 44. [9d1430](hsg9_2023-2024 Tuyên Quang)
a) Cho số thực x > 1 . Rút gọn biểu thức P =

x + x +1
1
x
+
+
x+ x −2
x −1 x + 2 x

a2 − 2a + 3 b2 − 2b + 3
+
≥4 2
b) Cho hai số thực a , b > 1 . Chứng minh rằng
b −1
a −1
Câu 45. [9d1431](hsg9_2023-2024 Vĩnh Long)

2 10 + 30 − 2 2 − 6

a) Rút gọn biểu thức A =

2

:

2 10 − 2 2
 x + y
x − y
b) Cho biểu thức P = 
+
 1 − xy
1 + xy


.

3 −1

 
x + y + 2xy 
 : 1 +
.
 
1
−
xy


2

Rút gọn biểu thức P và tính giá trị của P với x =

.

2+ 3

Câu 46. [9d1432](hsg9_2023-2024 Vĩnh Phúc) Cho biểu thức
3  
x −6
x −2

P = 1 −
+
+
 ⋅ 
 1+ x   x − 5 x + 6 3 − x

x −3.

x − 2 

a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 47. [9d1433](hsg9_2023-2024 Vũng tàu)
1. Rút gọn biểu thức : P =

1
x +1
:
vói 0 < x ≠ 1.
x − x x x +x+ x
2

2. Tinh giá trị biểu thức : A = x 3 − 3 x 2 + 2035 với x = 1 − 3
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

9 + 77 3 9 − 77
.
−
2
2
Trang 7

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Câu 48. [9d1434](hsg9_2023-2024 Yên Bái) Cho x = 6 − 4 2 − 11 − 6 2 . Tính giá trị của biểu thức
A = x3 − x2 + x −1
Câu 49. [9d1435](hsg9_2023-2024 Điện Biên)

3 x + 5 x − 11
x −2
2
−
+
−1
x+ x −2
x −1
x +2
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

1) Cho biểu thức P =

(

2) Cho các số thực x, y thỏa mãn x − x 2 + 5

)( y −

)

y 2 + 5 = 5 . Tính giá trị của biểu thức

A = x2023 + y2023
Câu 50. [9d1436](hsg9_2023-2024 Đà Nẵng) Tính A = 6 − 20 + 5 + 24 − 7 + 40
Câu 51. [9d1437](hsg9_2023-2024 Đăck Lăk) Tính giá trị của biểu thức
A = x 2 − 2 x + 23 , với x =

3+

5+ 2 3 +

3−

5+2 3

Câu 52. [9d1438](hsg9_2023-2024 Đồng Tháp) Cho biểu thức

 x−2 x
2 
P = 
+
 ⋅
 x − x −2 x+ x 

(

)

x +1 với x > 0 và x ≠ 4 .

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả các số chính phương

x để P

là số nguyên.

Câu 53. [9d1439](hsg9_2023-2024 Quảng Ngãi)


x − 1 với
1) Cho biểu thức: A =  x + 3 x − 3 − 1  :
x ≥ 0; x ≠ 1 .
 x x +1

x
x
x
+
1
−
+
1


Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên.

2) Cho ba số dương

x, y , z thỏa mãn xy + yz + zx = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x2
y2
z2
+
+
y+z z+x x+y



a

+
Câu 54. [9d1440](hsg9_2023-2024 Đà Nẵng) Cho biểu thức P = 
 a +1

a −1  
1 
 .1 +


a 
a

a để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P .
b) Tìm tất cả các giá trị thực của a để P nhận giá trị nguyên dương.
a) Tìm điều kiện của

Câu 55. [9d1441](hsg9_2023-2024 Bến Tre)
a) Cho x+ 5 =−2 . Tính giá trị của biểu thức A = 7 ( x 2 + 4 x )
b) Rút gọn biểu thức B =

2024

− 6 ( x2 + 4x )

2023

+ 2023 .

x2 − x
2 x + x 2( x − 1)
−
+
với x > 0, x ≠ 1 .
x + x +1
x
x −1

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 8

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Hàm số

2

Chuyên đề
Link tra cứu lời giải

Phần mềm xếp TKB mạnh nhất VN

Câu 56. [9d1442](hsg9_2023-2024 Bắc Giang)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng

d : y = (m − 1) x + m − 2(m ≠ 1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d tạo với
hai truc tọạ độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Câu 57. [9d1443](hsg9_2023-2024 Bắc Kạn)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hàm số y =

m2 +

(

)

5 − 3 m − 15
2

m − 8m + 3

x + 2024.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến.

Câu 58. [9d1444](hsg9_2023-2024 Bến Tre)

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

( d1 ) : y = x + 3 , ( d2 ) : y = −2 x + m2 + m − 18

với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để

hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 0 .

Câu 59. [9d1445](hsg9_2023-2024

Cao

Bằng)

Cho

hàm

số

bậc

nhất

y= x +3

và

y = −2x + m 2 + m − 18 ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hai hàm số
trên cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Câu 60. [9d1446](hsg9_2023-2024 Hà Tĩnh) Cho đường thẳng ( d ) : y = ( m − 1) x + 3 . Tìm tất cả các giá
trị của m để đường thẳng ( d ) cắt trục Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác
AOB vuông cân.

Câu 61. [9d1447](hsg9_2023-2024 Hòa Bình) Cho đường thẳng (d): mx + ( 2m − 3) y = 6 ( m là tham số).
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng(d) luôn đi qua với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ điểm A(2;-3) đến đường thẳng (d) lớn nhất.
Câu 62. [9d1448](hsg9_2023-2024 Sơn la) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho điểm A(1,3)
, parabol ( P ) và đường thẳng ( d ) có phương trình lần lượt là: y = x2 ( p) và y = ax + 3 − a (d ).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a đường thẳng ( d ) luôn cắt parabol ( P ) tại hai điểm
phân biệt. Giả sử B và

C là hai giao điểm của ( d ) và ( P ). Tìm a để AB = 2 AC.

b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của B, C . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

P=

( x1 + 1)( x2 + 1)
.
x12 + x22 + x1 + x2

Câu 63. [9d1449](hsg9_2023-2024 Thái Bình) Trên truc toa dô Oxy cho điểm hai điểm A ( −1;1) ,

B ( −5; −3) và đường thẳng (d): y = ax + b
a) Tinh diện tích tam giác OAB .
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 9

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

b) Tìm a và b biết đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc đường tròn tâm
O ( 0;0 ) bán kính R = 4 2 .
Câu 64. [9d1450](hsg9_2023-2024 Vĩnh Phúc) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , các đường thẳng

y = 2, y = 6, y = mx − 2 ( m ≠ 0 ) và trục tung cắt nhau, phần chung giữa chúng tạo thành một hình
thang. Tìm m để diện tích hình thang đó bằng 4 đơn vị diện tích.
Câu 65. [9d1451](hsg9_2023-2024 Đăck Lăk)
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng

( d ) : y = ( m − 2) x + m + 1, (

m là tham số) và Parabol ( P ) : y =

1 2
x . Chứng minh rằng với mọi
2

số thực m đường thẳng ( d ) luôn cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt.
Câu 66. [9d1452](hsg9_2023-2024 Yên Bái) Cho đường thẳng (d) : y = (m 2 − 5m + 8)x − m + 2 với m là
tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai
điểm A và B sao cho OB = 4OA
Câu 67. [9d1453](hsg9_2023-2024 Điện Biên) Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường
thẳng (d): y=mx+2m+2 (m khác 0) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 68. [9d1454](hsg9_2023-2024 Đồng Tháp) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

1
x − 3 cắt hai trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B .
2
a) Tìm tọa độ của A, B .

(d ) : y =

b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M ( 2; −2 ) và cắt đoạn thẳng OA tại C sao cho
diện tích tam giác AMC bằng 5 .
Câu 69. [9d1455](hsg9_2023-2024 Đà Nẵng)
Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng
y = mx − 2m + 4 ( d ) , với m là tham số và O là gốc tọa độ.
a) Tìm tọa độ điểm A cố định mà đường thẳng ( d ) luôn đi qua với mọi m .
b) Với mỗi giá trị của m , gọi R là bán kính của đường tròn tâm O tiếp xúc ( d ) . Tìm m để bán
kính R lớn nhất.
Câu 70. [9d1456](hsg9_2023-2024 Buôn Mê Thuật)

( d ) : y = 2 ( m −1) x − m + 3 . Tìm

Cho Parabol

( P ) : y = x2

và đường thẳng

m để ( d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A và

B cách đều trục Oy . Khi đó tính độ dài đường trung tuyến OM của tam giác OAB .

Câu 71. [9d1457](hsg9_2023-2024 Cà Mau)

y = mx +

Cho Parabol

1

( P ) : y = 2 x2

và đường thẳng

( d) :

1
2

a) Chứng minh rằng ( d ) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m .

( P ) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
c) Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng ( d ) và Parabol ( P ) , tìm tập hợp các trung điểm
b) Chứng minh rằng ( d ) luôn cắt

C của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 10

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Câu 72. [9d1458](hsg9_2023-2024 Tây Ninh)

( P ) : y = x2
( d ) : y = 2 ( m − 3) x − m + 5 . Tìm các giá trị nguyên của tham số m để ( P )

và đường thẳng

Cho parabol

cắt ( d ) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tọa độ của A, B là các số nguyên.
Câu 73. [9d1459](hsg9_2023-2024 Tiền Giang) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y = x 2
và đường thẳng ( d ) : y = 2x + 3 .
1. Vẽ đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ tọa độ Oxy.
2. Gọi A,B là giao điểm của ( P ) và ( d ) . Điểm M là một điểm thay đổi trên ( P ) và có hoành độ
là m ( −1 < m < m ) . Tìm m để tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Câu 74. [9d1460](hsg9_2023-2024 Sơn la)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho điểm A(1,3) ,
2

parabol ( P ) và đường thẳng ( d ) . có phương trình lần lượt là: y = x ( p) và y = ax + 3 − a (d ).
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a đường thẳng ( d ) luôn cắt parabol ( P ) tại hai điểm
phân biệt. Giả sử B và

C là hai giao điểm của ( d ) và ( P ). Tìm a để AB = 2 AC.

b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của B, C . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

P=

( x1 + 1)( x2 + 1)
.
x12 + x22 + x1 + x2

Câu 75. [9d1461](hsg9_2023-2024 An Giang) Cho hai hàm số : y = x 2 và y = 3ax − a 2 ( a là tham số
khác 0) . chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số luôn cắt nhau tại hai điểm gọi hai điểm đã cho
là ( x1 ; y1 ) , ( x 2 ; y 2 ) . Tìm các giá trị của a để y1 + y 2 = 28

Câu 76. [9d1462](hsg9_2023-2024 Kon Tum)
2
1) Tính giá trị biểu thức A = a − 4a + 4 , với a = 2 − 3.

2) Đồ thị d của hàm số y = x − 2 cắt trục Oy tại điểm A và cắt đường thẳng d1 : y = 2 x − 5
tại điểm B. Tính diện tích tam giác OAB và khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB (với
O ( 0;0 ) là gốc tọa độ).
Câu 77. [9d1463](hsg9_2023-2024 Hưng Yên) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M ( 3;5 ) . L ậ p
ph ươ ng trình đường thẳng d đi qua M và cắt các tia Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam
giác OAB bằng 30 .

Câu 78. [9d1464](hsg9_2023-2024 Bình Phước)

2
Cho Parabol ( P) : y = x

và đường thẳng

(d ) : y = mx + 4 (với m là tham số).
a) Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt .
b) Gọi x1 , x2 là hoành độ giao điểm của ( P ) và ( d ) . Tìm m để T =

2mx1 − x1 x2 + 2mx2 + 3
x12 + x2 2

nhận giá trị nguyên.

Câu 79. [9d1465](hsg9_2023-2024 Hà Nam) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho Parabol

( P ) : y = 12 x 2

và đường thẳng ( d ) : y = 6mx − m 2 + 4 −

12
, với m ≠ 0 là tham số. Tìm các
m2

giá trị của m để ( d ) và ( P ) có các điểm chung lần lượt có hoành độ x1 , x2 sao cho x13 + x23

đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 11

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Phương trình

3

Chuyên đề
Link tra cứu lời giải

Phần mềm xếp TKB mạnh nhất VN

Câu 80. [9d1466](hsg9_2023-2024 Bình Định)
1) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a 2021 + b2021 = a 2022 + b2022 = a 2023 + b2023 .
Tính tổng S = a 2024 + b 2024 .
2) Cho phương trình: x 2 − ( 2m + 5) x + 3m + 4 = 0 ( m là tham số ) . Tìm tất cả số nguyên m để
phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Câu 81. [9d1467](hsg9_2023-2024 An Giang) Cho a, b,c là các số nguyên thỏa mãn :

a b
c
+ 2 + 3 =x
x x
x

1+ 5
. Tính giá trị biểu thức B = 2a + b + c
2
Câu 82. [9d1468](hsg9_2023-2024 Hà Giang) Cho phương trình x 2 − 2mx − m − 4 = 0 (với m là tham
số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá trị của m . Tìm
với x =

2

2

m để biểu thức P = x1 + x2 − 6 x1 x2 + 2024 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 83. [9d1469](hsg9_2023-2024

Hải

Phòng)

phương

Cho

trình

x 2 + 2 (m − 2) x + m 2 − 2m + 4 = 0 (với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn

30
15
1
−
= .
2
m
x + x 2 x 1x 2
2
1

Câu 84. [9d1470](hsg9_2023-2024 Lạng Sơn) Cho phương trình: x 2 + 2 ( m − 2 ) x − 3 − m = 0 với m là
tham số.
a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b) Tính giá trị P =

5 x1 (1 − 2 x2 )
.
10 − x2

Câu 85. [9d1471](hsg9_2023-2024 Thái Nguyên) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x 2 − ( 2m − 1) x + m 2 + m − 3 = 0

có

hai

nghiệm

phân

biệt

x1 , x2

thoả

mãn

x1 ( x1 − 1) + x2 ( x2 − 1) = 18 .
Câu 86. [9d1472](hsg9_2023-2024 Tuyên Quang) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x 2 − ( 2m − 3) x + m2 − 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 6.
Câu 87. [9d1473](hsg9_2023-2024 Thừa Thiên Huế) Xác định tất cả các cặp số (a;b) với a,b nguyên
dương sao cho phương trình ax 2 − bx + 2a + 3 = 0 (với x là ẩn số) có hai nghiệm dương phân biệt.

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 12

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Câu 88. [9d1474](hsg9_2023-2024 Đăck Lăk) Cho các số thực a, b, c thoả mãn a ≠ 0 và
2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x1 − x2 .
Câu 89. [9d1475](hsg9_2023-2024 HCM)
Cho hai phương trình x 2 − bx + c = 0 (1) và x 2 − b 2 x + c 2 = 0 ( 2 ) ( b, c ∈ ℤ ) với x1 , x2 là hai
nghiệm của phương trình (1) và x3 , x4 là hai nghiệm của phương trình (2) thảo mãn

x3 − x1 = x4 − x2 = 1 .Tính giá trị biểu thức b, c .
Câu 90. [9d1476](hsg9_2023-2024 Kiên Giang) Cho phương trình x 2 − 4 x − m 2 − 3m = 0 (m là tham
số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m. Xác định m để

x1 − 3 x2 = 8 .
Câu 91. [9d1477](hsg9_2023-2024 Vĩnh Long)
Cho phương trình x 2 − 2(2m + 1)x + 4m 2 + 4m − 3 = 0. ( x là ẩn số, m là tham số) (*). Tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 (x 1 < x 2 ) thỏa x 1 = 2 x 2 .
Câu 92. [9d1478](hsg9_2023-2024 An Giang) Cho m,n lần lượt là hai nghiệm của phương trình

x2 − x − 2024 = 0 . Tính giá trị của biểu thức : S = n 3 + m 2 − 2024n
Câu 93. [9d1479](hsg9_2023-2024 Vũng tàu) Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình
x 2 + (m + 1) x + 2m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
:

x12 + 2024 − x1 = x2 + x22 + 2024 .

Câu 94. [9d1480](hsg9_2023-2024 Quảng nam) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương

b sao cho nghiệm của phương trình bậc hai x 2 − bx + bp = 0 là số nguyên.
Câu 95. [9d1481](hsg9_2023-2024 Hà Nội )
a) Giải phương trình 7x + 3 = ( 2x + 3) x + 3 .
b) Cho ba số thực x, y, z thoả mãn xy + yz + xz = 0 và x + 2y + 3z = 0 . Tính giá trị biểu thức
P = x 2 + y2 + z 2 .
Câu 96. [9d1482](hsg9_2023-2024 Buôn Mê Thuật) Giải phương trình:
x2 + x + 4 − ( 2 + x ) x2 − x + 4 = 0

Câu 97. [9d1483](hsg9_2023-2024 Bình Dương) Giải phương trình

x − 2 x −1 = x −1 −1

Câu 98. [9d1485](hsg9_2023-2024 Bạc Liêu) Giải phương trình: x 2 − 6 x + 4 = 7 x − 4 .
Câu 99. [9d1486](hsg9_2023-2024 Bắc Ninh) Giải phương trình:
Câu 100. [9d1487](hsg9_2023-2024 Cà Mau) Giải phương trình:

( x + 5)

2

3 x − 5 + 7 − 3 x = 9 x 2 − 36 x + 38 .

− 3 ( 4x + 7 ) = 32 + x 2 − 2x + 2 .

Câu 101. [9d1488](hsg9_2023-2024 HCM) Giải các phương trình sau :
a) 2 x + 1 = 3 x − 2
2
b) x + 4 = 4 x + 2 x + 3
Câu 102. [9d1489](hsg9_2023-2024 Hà Nam) Giải phương trình:

21( x 3 + x 2 + x ) = 4 7 ( x 2 + 1) x 4 + 1.
Câu 103. [9d1490](hsg9_2023-2024 Hải Dương) Giải phương trình:
2 x 2 + 4 x + 4 = ( 2 x + 3) x 2 + x + 2
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 13

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

Câu 104. [9d1491](hsg9_2023-2024 Kiên Giang) Giải phương trình x − 2 x − 1 = 2 .
Câu 105. [9d1492](hsg9_2023-2024 Kon Tum)
1) Giải phương trình 4 x + 3 = ( x + 2 ) 2 x + 3.
2) Cho biểu thức A =

x −2
, x ≥ 0. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của biểu thức
x +1

A là số nguyên.
Câu 106. [9d1493](hsg9_2023-2024 Quảng Ninh) Giải phương trình x 2 − 3x + 2 = 4 x − 2 .
Câu 107. [9d1494](hsg9_2023-2024 Quảng Trị)
1) Giải phương trình

(

x +1 − 2 4 − x

)

2 x 2 + 18 − 5 x + 15 = 0 .

2) Cho các số thực a , b, c khác 0 thoả mãn a + b + c − 2024 + 2024 ( ab + bc + ca ) − abc = 0 .
Tính giá trị của biểu thức P =

1
a

2023

+

1
b

2023

+

1
c

2023

.

3

Câu 108. [9d1495](hsg9_2023-2024 Thanh Hóa) Giải phương trình:

x3 + 5 x 2 − 1 =

5x2 − 2
.
6

Câu 109. [9d1496](hsg9_2023-2024 Vĩnh Long) Giải phương trình 2 2x − 1 + x + 3 − 5x + 11 = 0.
Câu 110. [9d1497](hsg9_2023-2024 Vũng tàu) Giải phương trình : (2 x − 3) x + 2 = x 2 − 2 x + 2 .
Câu 111. [9d1498](hsg9_2023-2024 Phú Thọ) Giải phương trình x 2 + 5 x + 1 = 4 x ( x + 1)
Câu 112. [9d1499](hsg9_2023-2024 Điện Biên) Giải phương trình

x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5

Câu 113. [9d1500](hsg9_2023-2024 Bến Tre) Giải phương trình sau: 2 ( x 2 + 4 x − 5 ) + x 2 + 4 x + 7 = 0
Câu 114. [9d1501](hsg9_2023-2024 Cần Thơ)
a) Giải phương trình: x 2 + x − 2 x 2 x + 3 + 14 = 4 7 − x
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: x 2 − (m 2 + 2m − 1) x + (m + 1)2 − 3 = 0 có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12 + x2 + 2 = 0
Câu 115. [9d1502](hsg9_2023-2024 Gia Lai) Giải phương trình

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 .

Câu 116. [9d1503](hsg9_2023-2024 Hậu Giang) Giải phương trình x 2 + 2 3 x − 2 + 2 = 5 x.
Câu 117. [9d1504](hsg9_2023-2024 Khánh Hòa) Giải phương trình ( x + 4 ) x 2 + 7 = x 2 + 4 x + 7 .
Câu 118. [9d1505](hsg9_2023-2024 Long An) Giải phương trình:

x + 2 + 5 − x + ( x + 2)(5 − x) = 4 .

Câu 119. [9d1506](hsg9_2023-2024 Nam Định) Giải phương trình

√10 − 5 + √5 / + 5 = 3√ / + 2 .
Câu 120. [9d1507](hsg9_2023-2024 Nghệ An bảng A) Giải phương trình
4 ( x − 1)

2

x + 1 − 4 ( x − 1) x 2 − 1 = ( x 2 + 2 )( x 2 − 2x ) .

Câu 121. [9d1508](hsg9_2023-2024 Quảng Bình) Giải phương trình
Câu 122. [9d1509](hsg9_2023-2024 Quảng nam) Giải phương trình

x − 3 + 5 − x = 2 x2 − 7 x − 2
3x
= x + 4 (1).
3x + 1 + 1

Câu 123. [9d1510](hsg9_2023-2024 Quảng Ngãi)
1) Giải phương trình : x 2 − 3 = 2 2 x + 3
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 14

VŨ NGỌC THÀNH

PHÂN LOẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 – NĂM 2023-2024

 xy + x + 2 y = 14

2) Giải hệ phương trình: 

3
2
 x + 6 x + 12 x − y = −7

Câu 124. [9d1511](hsg9_2023-2024 Tây Ninh) Giải phương trình 3 3 x + 6 − x + 2 = 4 .
Câu 125. [9d1512](hsg9_2023-2024 Yên Bái) Giải phương trình (3 x + 1) x 2 + 3 = 3 x 2 + 2 x + 3
Câu 126. [9d1513](hsg9_2023-2024 Hưng Yên) Giải phương trình

3 x − 1 − x + 3 + 3 x2 + 2 x − 3 = 5x − 3 .
Câu 127. [9d1514](hsg9_2023-2024 Nghệ An bảng B) Giải phương trình

3x +1 − 6 − x + 3x 2 − 35x + 97 = 0.
Câu 128. [9d1515](hsg9_2023-2024 Thái Bình) Giải phương trình: 4 x 2 + 3x + 2 = 3 x 3 + 3x 2 + 3 x + 2
Câu 129. [9d1516](hsg9_2023-2024 Tiền Giang) Giải phương trình

(

)(

)

1 + x + 1 − x 1 + 1 − x 2 = 4.

Câu 130. [9d1517](hsg9_2023-2024 Vĩnh Phúc) Giải phương trình x 2 − 6 x + 2 = 2 ( 2 − x ) 2 x − 1 .
Câu 131. [9d151...