Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 2
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Phương trình đường thẳng
a. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ 

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu 

và giá của 

song song hoặc

trùng với ∆.
Vectơ 

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu 

và 

vuông góc với vectơ chỉ

phương của ∆.
Chú ý:
 Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến 

 thì ∆ sẽ nhận 

 hoặc 

 là

một vectơ chỉ phương.
 Nếu 

là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì 

cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

 Nếu 

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì 

cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

b. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng

, ta gọi:

(với

)

là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm
Chú ý: Cho

, có vectơ chỉ phương 

.

một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 1

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

c. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng

, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

không đồng thời bằng

, với

và

.

Chú ý:
 Mỗi phương trình
có vectơ pháp tuyến 

(

và

không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng

.

 Khi cho phương trình đường thẳng

, ta hiểu

và

không đồng thời bằng 0.

Nhận xét:
 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm

có dạng:
(với

 Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại
dạng:

).
( ,

khác 0) thì phương trình ∆ có

(1).

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.
d. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất
và có hệ số góc

là một đường thẳng

đi qua điểm

là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến 

và có

. Ta có thể viết:

Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất
phương trình tổng quát là
Ngược lại, cho đường thẳng

. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.
có phương trình tổng quát

với

và

đều khác 0, khi

đó ta có thể viết:
Như vậy

là đồ thị của hàm bậc nhất

với hệ số góc 

 và tung độ gốc

.

Chú ý:

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 2

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

 Nếu
Khi đó

và

thì phương trình tổng quát

trở thành 

.

trở thành 

.

là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm 

.
 Nếu
Khi đó

và

thì phương trình tổng quát

là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm 

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng

.

không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng
và đường thẳng

có vectơ pháp tuyến 
có vectơ pháp tuyến 

Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của
– Nếu 

và 

cùng phương thì

và

.

và ∆2 như sau:

song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm

tùy ý trên

.
 Nếu

thì

≡

.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 3

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

 Nếu

– Nếu 

thì

và 

 //

.

không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm

nghiệm của hệ phương trình: 

với

là

.

Chú ý:
a) Nếu 

thì 

, suy ra

b) Để xét hai vectơ 

và 

.

cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức

:
 Nếu

thì hai vectơ cùng phương.

 Nếu

thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số

đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

 Nếu 

thì hai vectơ cùng phương.

 Nếu 

thì hai vectơ không cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng
a. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 4

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

 Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường
thẳng ∆1 và ∆2.
 Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90°.
Ta quy ước: Nếu ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0°.
Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là 

hoặc

.

b. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Đường thẳng ∆1:
là 

,

và ∆2:

có vectơ pháp tuyến lần lượt

.

Ta có công thức: 

Nhận xét: Nếu ∆1, ∆2 có vectơ chỉ phương 

thì 

.

Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc.
Do đó:
 Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình

và

thì ta có:
.

 Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình

và

thì ta có:
.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình
. Khoảng cách từ điểm

và điểm

đến đường thẳng ∆, kí hiệu là

, được tính bởi công

thức: 
.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 5

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

PHẦN 1
TỰ LUẬN

DẠNG 1
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Nhận biết VTCP, VTPT một đường thẳng
 Phương trình dạng

có VTPT

 Phương trình dạng
VTCP là

với

.

đều là phương trình của đường thẳng

có một

.

 Đường thẳng đi qua 2 điểm
 Nếu đường thẳng

thì nhận

có

làm VTCP.

là một VTPT thì một VTCP của

là

(hoặc

).
 Nếu đường thẳng

có

là một VTCP thì một VTPT của

là

(hoặc

).
Chú ý:
 Nếu

là một VTCP của đường thẳng  thì

cũng là một VTCP của đường thẳng .

 Nếu

là một VTPT của đường thẳng  thì

cũng là một VTPT của đường thẳng .

 Nếu

là một VTPT của đường thẳng  thì

hoặc

cũng là một

VTCP của đường thẳng  và ngược lại.
2. Để viết phương trình của đường thẳng  ta có 3 hướng
Hướng 1: Nếu bài toán cho một điểm
VTCP

  và một VTPT

của  ) thì PTTQ của :

( hoặc PTTS của :

Hướng 2: Nếu bài toán cho không cho điểm
của  (hoặc một VTCP

của  (hoặc một
)

  mà chỉ cho một VTPT

của  ) thì PTTQ của :

. Sau đó dựa vào giả thiết

bài toán ta tìm c.
Hướng 3: Nếu bài toán cho một điểm

  và không cho VTPT thì ta gọi VTPT

, Sau đó dựa vào giả thiết bài toán ta tìm 1 phương trình chứa a, b để giải.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 6

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Hiện tại mình chia sẻ các tài liệu file WORD dành cho giáo viên, gia sư không có điều

kiện biên soạn để phục vụ giảng dạy. Tài liệu chính chủ do mình biên soạn từ cơ bản đến nâng
cao, phù hợp cho tất cả các trường trên cả nước.
Bộ tài liệu lớp 10 có lời giải chi tiết, dùng giảng dạy và học tập ( Bộ này soạn theo chương
trình mới cho 3 bộ sách Chân trời sáng tạo, Cánh diều và Kết nối trí thức)
Thầy cô muốn có file word thì liên hệ facebook: https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Hoặc: 0978 333 093
Ngoài ra còn có lớp 8 (ba bộ),lớp 9, lớp 11(ba bộ), lớp 12 và 38 chuyên đề ôn thi 12
Bài 1.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

đi qua

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng

đi qua

và có vectơ pháp tuyến
và có vectơ chỉ phương

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng
Lời giải
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

đi qua

b) Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua

và có vectơ pháp tuyến

và có vectơ chỉ phương

là

là

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng

Bài 2.

đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương

Viết phương trình tham số của đường thẳng

a) đường thẳng

qua

b) đường thẳng

qua hai điểm

c) đường thẳng

qua

và có VTCP

là

biết :
.

.
và song song với trục

d) của đường thẳng  qua

và song song với đường thẳng

.

e) đường thẳng  là trung trực của đoạn thẳng AB . Biết A 3;1 và B  3;5 .
Lời giải
a) đường thẳng

qua

và có VTCP

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

.

Trang 7

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Đường thẳng
b) đường thẳng

qua

và có VTCP

có PTTS là

qua hai điểm

.

Ta có
Vậy

là một VTCP của đường thẳng
đi qua

và có VTCP

nên có PTTS

Lưu ý. Ta hoàn toàn có thể dùng
c) đường thẳng

qua

Ta thấy trục hoành
hoành

.

.

làm VTCP của đường thẳng

.

và song song với trục
có VTCP chính là vec tơ đơn vị

nên cũng nhận

. Vì đường thẳng

làm VTCP. Suy ra phương trình tham số của

song song với trục
là

Nhận xét. Hai đường thẳng song song có cùng VTCP.
d) của đường thẳng  qua

và song song với đường thẳng

.



Ta thấy đường thẳng d có một VTCP là u 3;  5  , vì đường thẳng  / /d nên  cũng nhận u 3;  5 
làm VTCP. Vậy PTTS của  là
e) đường thẳng  là trung trực của đoạn thẳng AB . Biết A 3;1 và B  3;5 .
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra I 0;3 .
Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua
là

nên có một VTCP

.

Vậy PTTS của
Bài 3.

và có một VTPT là

là

.

Cho hai đường thẳng

và

a) Lập phương trình tổng quát của
b) Lập phương trình tham số của
Lời giải
a) Lập phương trình tổng quát của
Đường thẳng

đi qua điểm

, có vectơ chỉ phương

Khi đó phương trình tổng quát của
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

nên

có vectơ pháp tuyến là

là:
Trang 8

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

b) Lập phương trình tham số của
Đường thẳng

đi qua điểm

, có vectơ pháp tuyến là

Khi đó phương trình tham số của
Bài 4.

Cho đường thẳng

nên

có vectơ chỉ phương

là:
. Viết PTTS của đường thẳng.
Lời giải

Cách 1.
Để tìm một điểm mà ĐT đi qua ta cho
Cho

thế vào PT đt

một giá trị bất kỳ tính

ta được.

suy ra VTCP

vậy đt

. Vậy PTTS của

là

hoặc ngược lại.
đi qua điểm

. Và có VTPT

.

Cách 2.
Từ PTTQ

Đặt

ta thu được PTTS là

Bài 5.

Cho đường thẳng

. Viết PTTQ của đường thẳng.
Lời giải

Cách 1.
Từ phương trình tham số ta thấy

đi qua

và có

suy ra VTPT là

, PTTQ là

.
Cách 2.
.
Bài 6.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác

có

và

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ
Lời giải

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 9

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ
Đường cao kẻ từ

đi qua

và nhận

là vectơ pháp tuyến có phương trình là

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ
Gọi

là trung điểm của

thì

Đường trung tuyến kẻ từ

nhận

và đi qua

Bài 7.

.
là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là

nên có phương trình là:

Cho tam giác

của tam giác

.

có

. Viết phương trình tổng quát của đường cao

.
Lời giải

Gọi

là đường cao của tam giác.
đi qua

Bài 8.

và nhận

Cho tam giác

làm VTPT

với

.

. Phương trình tham số của đường trung bình

lần lượt là trung điểm của

và

là:

Lời giải
Ta có:

Bài 9.

.

đi qua

và nhận

Phương trình đường thẳng đi qua điểm

làm

và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao

cho M là trung điểm của AB là:
Lời giải
Gọi

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 10

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Ta có

là trung điểm

Suy ra

.

Bài 10.

Cho ba điểm

điểm

.

. Viết phương trình đường thẳng đi qua

và cách đều hai

Lời giải
Gọi

là đường thẳng đi qua

TH1:

đi qua trung điểm của

thẳng

. Khi đó

TH2:

và cách đều
.

. Khi đó ta có các trường hợp sau
là trung điểm của

.

là VTCP của đường

.

song song với

, khi đó

nhận

làm VTCP, phương trình đường thẳng

.
Bài 11.

Đường thẳng

, với

một tam giác có diện tích bằng

,

. Tính

, đi qua điểm

và tạo với các tia

,

.
Lời giải

đi qua điểm
Đường thẳng

Từ

.
tạo với các tia

;

tam giác có diện tích bằng

;

(nhận) hoặc

(Loại)

.
Bài 12.
trình cạnh

Cho tam giác

biết trực tâm

và phương trình cạnh

. Phương trình cạnh

, phương

là

Lời giải

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 11

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Phương trình

.

Phương trình

.

Ta có

.

Suy ra phương trình đường thẳng

có

.
.

Ta có điểm

là giao điểm của hai đường thẳng

và

phương trình

, suy ra tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

.

Ta lại có

.

Suy ra phương trình đường thẳng

có

.
.

Ta có điểm

là giao điểm của hai đường thẳng

và

phương trình

, suy ra tọa độ điểm

là nghiệm của hệ

.

Ta có

.

Phương trình cạnh

có

.

.
Vậy

.

Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
và điểm
,

lần lượt tại hai điểm

, cho hai đường thẳng

.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
,

sao cho

là trung điểm

và cắt hai đường thẳng

.

Lời giải
Ta có
Vì

.
. Vì

là trung điểm của đoạn

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 12

.
Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Mặt khác
Đường thẳng

có pt là:

.

Bài 14. Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm

và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B

sao cho tam giác OAB vuông cân.
Lời giải
Phương trình đoạn chắn
Do

vuông cân tại

TH1:

mà

Vậy
TH2:

mà

Vậy
Bài 15. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là:
. Phương trình đường cao CH của tam giác ABC
là:
Lời giải
Ta có

là nghiệm của hệ phương trình

Ta có

mà

Suy ra

.

Bài 16. Cho tam giác

biết trực tâm

và phương trình cạnh

trình cạnh

. Phương trình cạnh

, phương

là

Lời giải
Ta có
Ta có
Mà

suy ra

Có
Phương trình

nhận

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

là VTPT và qua
Trang 13

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Suy ra
Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc
trình:
thẳng

, cho hai đường thẳng

và

. Hãy viết phương trình đường thẳng

lần lượt có phương

đối xứng với

qua đường

.
Lời giải

Gọi

. Khi đó tọa độ điểm

Chọn
Suy ra

. Gọi

đi qua

có dạng

là nghiệm của hệ phương trình

và vuông góc với

.

.

Vì
Gọi

Gọi

. Khi đó tọa độ điểm

là điểm đối xứng của

Vậy đường thẳng

qua

là nghiệm của hệ phương trình

. Khi đó

chính là đường thẳng

là trung điểm của

, ta có

.
Bài 18.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

đường cao

, cho

và

có đỉnh

và phương trình hai

. Viết phương trình cạnh

.

Lời giải
Gọi

là trực tâm của tam giác

. Khi đó tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương

trình

Phương trình cạnh
nên
Vì
Ta có

đi qua

có dạng

và vuông góc với
.

nên
nên tọa độ điểm

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Do đó

.

là nghiệm của hệ phương trình
Trang 14

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Phương trình cạnh

đi qua điểm

nhận

làm véctơ pháp tuyến

Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc
và hai đường phân giác trong của hai góc
. Viết phương trình cạnh

, cho

có điểm

lần lượt có phương trình
.
Lời giải

A

B'

C'
H

K

B

+) Gọi

C

M

N

là hình chiếu của điểm

lên

Ta có

Gọi
Khi đó
+) Gọi

là điểm đối xứng của

qua

.

là trung điểm của
là hình chiếu của điểm

lên

Ta có

Gọi
Khi đó

là điểm đối xứng của

qua

.

là trung điểm của

Phương trình đường thẳng

chính là phương trình đường thẳng

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 15

.
Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

đường thẳng

:

Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ
trong góc

, cho tam giác

có phương trình

bằng

và đỉnh

vuông tại

, có đỉnh

. Viết phương trình đường thẳng

, phân giác

, biết diện tích tam giác

có hoành độ dương.
Lời giải

Cách 1:

D
d

B
A

C
Gọi

là điểm đối xứng của

suy ra tọa độ điểm

qua đường thẳng

là nghiệm của

hệ phương trình
Điểm

thuộc đường tròn đường kính

nên tọa độ điểm

thỏa mãn

với

suy ra điểm

Ta có
thuộc đường thẳng

suy ra tọa độ

thỏa mãn

hoặc
Do

là phân giác trong góc

Do đó, đường thẳng

, nên

và

cùng hướng, suy ra

có phương trình:

Cách 2:

d

B
45
45
C
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 16

A
Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Gọi đường thẳng

đi qua điểm

có véctơ pháp tuyến

Vì

Với

suy đường thẳng

Với

suy đường thẳng

nên tọa độ điểm
Gọi điểm
Ta có

( loại vì

)

.

thỏa mãn

với

suy ra điểm

.
vuông tại

nên

Lại có

.
hoặc

Do

là phân giác trong góc

Do đó, đường thẳng

, nên hai điểm

và

nằm khác phía đối với đường thẳng

có phương trình:

Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc
và cạnh huyền

, suy ra

có phương trình:

, cho

vuông cân tại

. Viết phương trình hai cạnh góc vuông

và
Lời giải
Gọi
đi qua

là hình chiếu của
và vuông góc với

Vì

nên

.
có dạng

nên

Khi đó tọa độ điểm

Vì

lên

vuông cân tại

là nghiệm của hệ phương trình

nên

thuộc đường tròn

ngoại tiếp

có tâm

và

bán kính

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 17

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Phương trình đường tròn

Tọa độ điểm

:

là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra 2 điểm

hoặc

Vậy phương trình hai cạnh

và

là
;

Hoặc

.

;

.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 22.Lập PTTQ, PTTS, PTCT (nếu có) của đường thẳng

trong các trường hợp sau:

a) đường thẳng

đi qua điểm M(3; –1) và có VTCP

b) đường thẳng

đi qua điểm gốc toạ độ O và có VTPT

c) đường thẳng

đi qua điểm M(2; –4) và có hệ số góc k = 1.

d) đường thẳng

đi qua hai điểm A(3; 5), B(3; 8).

e) đường thẳng

đi qua

và cắt trục tung tại -2.

f) đường thẳng

cắt trục Ox tại

và cắt Oy tại 3.

g) đường thẳng

đi qua

và có VTCP

.
.

với điểm

thỏa

và

.
Bài 23.Viết PTTQ, PTTS của các đường thẳng

:

a) đi qua điểm M(2; 3) và song song đường thẳng

.

b) đi qua điểm M(1; - 3) và vuông góc với đường thẳng
c) biết

.

là đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(0; –1), B(2; –3).

Bài 24.Viết PTTQ, PTTS của các đường thẳng
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

:
Trang 18

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

a) đi qua điểm M(–1; 2) và song song trục Ox.

b) đi qua điểm M(2; 1) và vuông góc với đường thẳng

.

c) đi qua điểm M(2; –3) và song song đường thẳng

.

d) đi qua điểm M(4; 3) và vuông góc với trục Oy.
e) biết

là đường trung trực của đoạn thẳng OB với B(1; –3) và O là gốc toạ độ.

Bài 25.Cho đường thẳng

:

a) có PTTQ là

. Viết PTTS, PTCT (nếu có) của đường thẳng

b) có PTTS là

. Viết PTTQ, PTCT (nếu có) của đường thẳng

.
.

Bài 26.Cho tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm
.
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b) Viết phương trình các trung trực của tam giác ABC.
Bài 27.Viết phương trình đường thẳng
a) đi qua điểm M(–3; –2) và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với:
b) đi qua điểm M(1; –2) và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S = 3.
Bài 28.Cho tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm
.
a) Tìm toạ độ 3 đỉnh của tam giác ABC .
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 29.Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác:
.
a) Viết phương trình đường cao của tam giác hạ từ đỉnh A.
b) Viết phương trình trung trực của cạnh AB.
Bài 30.Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình

, đỉnh C(4; –1).

Viết phương trình hai cạnh còn lại.
Bài 31.Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh

và phương trình hai đường trung tuyến

.
a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC.
Bài 32.Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 19

và toạ độ
Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

trung điểm của cạnh BC là điểm

. Viết phương trình của cạnh BC.

Bài 33.Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh
và một trung tuyến

, phương trình một đường cao
.

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác đó.
b) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC.
Bài 34.Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 =
0 và AC: 2x + 5y + 3 = 0.
a) Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC.
b) Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 35.Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết C(4; 3) và đường phân giác trong, trung tuyến kẻ
từ A lần lượt có phương trình x + 2y - 5 = 0 và 4x + 13y - 10 = 0.
Bài 36.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

, cho điểm

cạnh của nó có phương trình

. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông.

Bài 37.Trong mặt phẳng toạ độ
đường thẳng

là tâm của một hình vuông, một trong các

cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC, phương trình
, đỉnh

, đỉnh A nằm trên đường thẳng

. Xác

định toạ độ các đỉnh còn lại của hình vuông đó.
Bài 38.Trong mặt phẳng toạ độ
trình

cho hình vuông có đỉnh

và một đường chéo có phương

. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.

Bài 39.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB nằm trên đường thẳng:
, đường chéo BD nằm trên đường thẳng:
điểm

và đường chéo AC đi qua

. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Bài 40.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB chứa điểm
Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E có tọa độ

. Điểm F thuộc đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng AB, biết F là trung điểm cạnh CD.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 20

.

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

DẠNG 2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng

có vectơ pháp tuyến 

và đường thẳng

có vectơ pháp tuyến 

Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của
– Nếu 

và 

cùng phương thì

và

.

và ∆2 như sau:

song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm

tùy ý trên

.
 Nếu

thì

≡

 Nếu

thì

 //

– Nếu 

và 

.

.

không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm

nghiệm của hệ phương trình: 

với

là

.

Chú ý:
a) Nếu 

thì 

, suy ra

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

.

Trang 21

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

b) Để xét hai vectơ 

và 

cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức

:
 Nếu

thì hai vectơ cùng phương.

 Nếu

thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số

đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

 Nếu 

thì hai vectơ cùng phương.

 Nếu 

thì hai vectơ không cùng phương.

Ngoài ra, để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta có thể làm một trong cách sau
Cách 1: Cho hai đường thẳng 1:

và 2:

 1  2 

(nếu

)

 1 // 2 

(nếu

)

 1 cắt 2 

(nếu

.

)

Cách 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng dựa vào toạ độ giao điểm của 1 và 2 . Toạ độ giao điểm
của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

(1)

 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm
 1 // 2  hệ (1) vô nghiệm
 1  2  hệ (1) có vô số nghiệm
2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng :

và hai điểm

 .

M, N nằm cùng phía đối với  

.

 M, N nằm khác phía đối với  

.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 22

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Hiện tại mình chia sẻ các tài liệu file WORD dành cho giáo viên, gia sư không có điều

kiện biên soạn để phục vụ giảng dạy. Tài liệu chính chủ do mình biên soạn từ cơ bản đến nâng
cao, phù hợp cho tất cả các trường trên cả nước.
Bộ tài liệu lớp 10 có lời giải chi tiết, dùng giảng dạy và học tập ( Bộ này soạn theo chương
trình mới cho 3 bộ sách Chân trời sáng tạo, Cánh diều và Kết nối trí thức)
Thầy cô muốn có file word thì liên hệ facebook: https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Hoặc: 0978 333 093
Ngoài ra còn có lớp 8 (ba bộ),lớp 9, lớp 11(ba bộ), lớp 12 và 38 chuyên đề ôn thi 12
Bài 1.

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a)

và

b)

.

và

c)

.

và

.
Lời giải

a) Xét hệ phương trình
Vậy

và

có vô số nghiệm

trùng nhau.

b) Xét hệ phương trình
Vậy

và

vô nghiệm

song song.

c) Xét hệ phương trình

Vậy
Bài 2.

và

. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

cắt nhau tại

.

Cho hai đường thẳng

và

. Tìm

để

.

Lời giải
Ta có
Bài 3.

.
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

và

.

Lời giải
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:
. Vậy toạ độ giao điểm là
https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 23

.
Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Bài 4.
Tìm

Cho ba đường thẳng

và

.

để ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải

giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:
. Vậy toạ độ giao điểm là
Để ba đường thẳng đồng quy thì

phải đi qua

.
suy ra:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ giao điểm của
chúng:
a)
c)

và

b)

và

và

d)

và

Bài 6. Xét số giao điểm các cặp đường thẳng sau:
a)

và

b)

Bài 7. Cho hai đường thẳng

và
. Tìm m để hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 8. Cho hai đường thẳng

. Tìm m để hai đường thẳng

cắt nhau.
Bài 9. Cho hai đường thẳng

. Tìm

m để hai đường thẳng song song.
Bài 10.Tìm m để ba đường thẳng sau:
đồng qui.
Bài 11.Tìm m để ba đường thẳng sau:
cắt nhau tại một điểm.
Bài 12.Viết phương trình đường thẳng d :
a) đi qua điểm

và qua giao điểm của hai đường thẳng

b) đi qua giao điểm của hai đường thẳng
đường thẳng

.
và song song với

.

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 24

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

c) đi qua giao điểm của hai đường thẳng
thẳng

;

và vuông góc với đường

.

Bài 13.Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh:
.
a) Tìm toạ độ 3 đỉnh của tam giác ABC .
b) Tìm toạ trực tâm của tam giác ABC .

DẠNG 3
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 có VTCP

) và 2 có VTCP

).

Khi đó:
Chú ý:
 Cho hai đường thẳng 1:

có VTPT

và 2:

có VTPT

.

Khi đó:

1  2 

.

Cho 1:

, 2:

thì:

+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.
2. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1:
đường

phân

giác

của

và 2:
các

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

góc

tạo

Trang 25

bởi

cắt nhau. Phương trình các
hai

đường

thẳng

1

và

2

là:

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Bài 1.

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a)

và

b)

.

và

(

là các tham số).
Lời giải

a) Đường thẳng
Đường thẳng
Gọi

có vectơ pháp tuyến

.

có vectơ pháp tuyến

.

là góc giữa 2 đường thẳng

và

. Ta có

.
Do đó, góc giữa 2 đường thẳng
b) Đường thẳng
Đường thẳng
Gọi

và

là

.

có vectơ chỉ phương

nên có vectơ pháp tuyến

có vectơ chỉ phương

là góc giữa 2 đường thẳng

nên có vectơ pháp tuyến

và

.
.

. Ta có
.

Do đó, góc giữa 2 đường thẳng
Bài 2.

và

là

.

Cho hai đường thẳng song

thẳng song song và cách đều

và

và

Phương trình đường

là
Lời giải

Gọi là

đường thẳng song song và cách đều

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

và

.

Trang 26

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

Suy ra phương trình

có dạng:

Mặt khác:
Bài 3.

Đường thẳng

đi qua giao điểm của hai đường thẳng

đồng thời tạo với đường thẳng

một góc

và

có phương trình:

Lời giải

Ta có

gọi

.

Khi đó

Bài 4.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng

tại

. Phương trình đường thẳng đi qua

tại

có phương trình dạng

và

cắt

tại

. Tính

và

cắt nhau
sao cho tam giác

cân

.

Lời giải

Đường thẳng
Gọi

có véc tơ pháp tuyến lần lượt là

.

là đường thẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến là

Góc giữa 2 đường thẳng

và

.

xác định bởi:
.

.
Vì

cắt

tại

và

tạo thành tam giác

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Trang 27

cân tại

nên

Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093

Hình học 10 - Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Tự luận và trắc nghiệm có lời giải Chân Trời Sáng Tạo

.
+

: chọn

: phương trình đường thẳng là:
.

+

: chọn

: phương trình đường thẳng là:
. Do đó

.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng

và

:

a)

b)

c)
Bài 2. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3).
Bài 3. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với
.
Bài 4. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với:
a)

.

b)

.

Bài 5. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng  một góc , với:
a)

b)

Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình
. Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có
Bài 7. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là

.
.

...