CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ
A. LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:
- Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên
2. Tính chất:

- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy
thừa chẵn
- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
- Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.

B. LUYỆN TẬP :
Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho số
( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2).
Chứng minh rằng A là số chính phương
HD:
Ta có:

Bài 2: Chứng minh rằng số
của 1 số tự nhiên
HD:

, là số chính phương
có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương

Đặt
Ta có:

Bài 3 : Chứng minh rằng số
HD :
Biến đổi

là số chính phương 

khi đó A là số chính phương

Bài 4 : Chứng minh số
là số chính phương.
HD :
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

1

Biến đổi tổng

khi đó B là số chính phương

Bài 5 : Chứng minh rằng số
HD :
Biến đổi

là số chính phương.

khi đó C là số chính phương

Bài 6 : Chứng minh rằng
HD :

cũng là số chính phương

Vậy A là số chính phương.
Bài 7 : Chứng minh rằng
HD :

Bài 8 : Cho
HD:

cũng là số chính phương.

(2008 chữ số 1) và

Chứng minh rằng:

, Vậy B là số chính phương
( 2007 chữ số 0).

là số tự nhiên.

Ta có:

Vậy

là 1 số tự nhiên

Bài 1 : Cho
HD:

, Chứng minh rằng 

là số chính phương.

Ta có:
, Vậy

là số chính phương.

Bài 1: Cho số nguyên dương n và các số
và
Chứng minh rằng:
là số chính phương.
HD:

.

Ta có:
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

2

Bài 1: Cho:
Chứng minh
HD:
Ta có:

Vậy
( 2m chữ số 1);
(m + 1 chữ số 1);
là số chính phương

là số chính phương.
(m chữ số 6) .

và

và

. Vậy

là số chính phương.

Khi đó :
Mà

Bài 9 : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; …. Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số
48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
HD :
Xét số tổng quát :

Mà
phương

có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính

Bài 1: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn:
Chứng minh rằng
là số chính phương.
HD:
Ta có:
Gọi d là

(*)
với

, Thì:
,

Mà :
Do đó :
Vậy

, mà
, Từ (*) ta được :
là số chính phương.

là số chính phương

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

3

Bài 1: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn :
Chứng minh :

đều là các số chính phương.

Bài 1: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của
HD:

CMR :

không là số chính phương.

Giả sử:

là số chính phương. Đặt:

(1)

Theo bài ra ta có:

Do

Thay vào (1) ta được :

là các số chính phương, nên

là số chính phương.

Mặt khác:
Vậy

.

không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử)
không là số chính phương.

Bài 1: Chứng minh:

là số chính phương

Bài 10 : Chứng minh rằng :
HD :

thì

là số chính phương.

Ta có :

chính phương.

là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 nên

là số

Bài 11 : Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.
HD:
Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là:
Xét tích:
Dễ dàng nhận thấy:
Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :

Vậy P không thể là số chính phương.

là số chính phương.

HD :
Ta có :

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

4

Đặt

Khi đó :

. Vậy A là số chính phương.
Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.
HD :
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là :

. Ta có :

, Đặt
Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính
phương.
HD :
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là
Xét
Nhận thấy

nhưng không chia hết cho 25 vì

Bài 1: Chứng minh rằng:
HD:

không có tận cùng là 3 hoặc 8

thì

không thể là số chính phương.

Giả sử:

phải là số chính phương.
Ta lại có:
chính phương.

, Do

không phải là số

Vậy
không thể là số chính phương.
Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương
HD :
Gọi
Xét
Như vậy
Vậy

chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không có số dư là 2,
không là 1 số chính phương

Bài 17 : Chứng minh rằng:
HD:

, không phải là số chính phương

Ta có:
Vì

không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương

Bài 18 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số
chính phương
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

5

HD :
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên
Giả sử

và p không chia hết cho 4

(1)

là số chính phương. Đặt

Vì p chẵn nên p+1 lẻ=>

lẻ => m lẻ

Đặt
mâu thuẫn với ( 1)
Vậy p+1 không thể là số chính phương
Lại có :
là 1 số chia hết cho 3 =>
( Vô lý)
Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số chính phương
Bài 19 : Cho
. Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp
không có số nào là số chính phương.
HD :
Ta có :
Thấy
Và
chính phương
Và

=>
không là số chính phương
là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2N không là số
lẻ nên không chia hết cho 4

không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương.
Bài 20 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp
không có số nào là số chính
phương, trong đó :
HD :
Ta thấy :

không là số chính phương
không là số chính phương

Giả sử :
lẻ
Vô lý
Vậy ta có đpcm
Bài 21 : Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị là 6,
Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1 số chính phương.
HD :
Theo tính chất : ' Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là
1 số lẻ, vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1 ;3 ;5 ;7 ;9 khi đó tổng của
chúng là :
1+3+5+7+9=25 là 1 số chính phương
Bài 22 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn :
Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:

Tương tự :

là số chính phương

và

Khi đó :
Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương

,

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

6

Bài 23 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn:
là bình phương của 1 số hữu tỉ
HD:
Ta có:

, Chứng minh rằng

Bài 1: Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và
.
Chứng minh rằng một trong ba số a,b,c là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 1: Cho đa thức bậc ba
HD:

với hệ số

Chứng minh rằng:

là 1 số nguyên dương và

là hợp số

Ta có:
Theo đề bài ta có:

,

Và :
. Vì a nguyên dương nên:
Vậy

,

là hợp số.

Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của
hai số chính phương.
HD :
Giả sử:
Ta có:

và

, ĐPCM.
Bài 1: Cho
.
Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho
p.
Bài 1: Với

là số nguyên dương , đặt:

, Với

Chứng minh:
. Tìm số n để
là số chính phương.
Bài 1: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì 5n + 3
không phải là số nguyên tố.
Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a

c thỏa mãn:

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

7

Chứng minh rằng :

không thể là một số nguyên tố

Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3. Số

(n là số tự nhiên) là số nguyên tố hay hợp số.

Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1 chữ số 1
có dạng như sau: 10101; 101010101; …..; 1010……101; ….. (n nguyên dương)
Chứng minh các số trên đều là hợp số.
4

n

Bài 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n + 4 là hợp số.
Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số.

Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai
Chứng minh rằng
là hợp số

có hai nghiệm nguyên dương.

Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số:
là hợp số với mọi số nguyên dương k.
Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết
ta luôn có chữ số hàng chục là một số lẻ.

dưới dạng thập phân thì

Bài 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn
chia hết cho 5.

là các số nguyên tố thì k

Bài 1: Chứng minh rằng:
âm

và

không thể là số chính phương, với mọi p, q là các số nguyên không

Bài 1: Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình:
Chứng minh

.

là bình phương của một số hữu tỉ.

Bài 1: Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn:
Chứng minh
Bài 1: Chứng minh rằng nếu ba số a, a + k và a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho
6
Bài 1: Chứng minh số
Bài 1: Cho

là số chẵn.

là số nguyên tố . Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố .

Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2.
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
Bài 1: Cho a + 1 và 2a + 1 (a  N) đồng thời là hai số chính phương.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
Bài 1:Cho hai số A = (20182017 + 20172017)2018 ; B = (20182018 + 20172018)2017
Chứng minh rằng: A > B.
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

8

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

9

Dạng 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng
và
đều là các số chính phương.
HD :
Ta có :
, tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được :
25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n bằng 12 ;24 ;40 ;60 ;84
Thay n vào
ta được các giá trị lần lượt là : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153
Và thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40
Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + 26 và n - 11 đều là lập phương của 1 số nguyên
dương.
HD:
Giả sử:

với

Lấy (1) –(2) theo vế ta được:
Mà

và

nên ta có:

Bài 1 : Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

và

đều là các số chính phương.

HD:
Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho:
Vì

Nên:
TH1:

là hai số có cùng tính chẵn lẻ và

hoặc:

(loại)

Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương.
HD:
Giả sử

và

Suy ra:
Khi đó:
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để :

, Vì

và

là hai số chính phương.

Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho:
Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để

là bình phương của số tự nhiên.
là số chính phương

Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để n2 + 2010 là số chính phương.
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

10

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho

là số chính phương.

HD:
Ta có:

là số chính phương nên A có dạng :

, Vì
Vậy với

.

thì A là số chính phương.

Bài 1: Tìm các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương.
Bài 1: Tìm số tự nhiên a sao cho :

có giá trị là số chính phương

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho

là một số chính phương.

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sau cho:

là một số chính phương

là số chính phương.

Bài 1:Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho:

là số chính phương?

Bài 1: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để

là số chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để :

là số chính phương

Bài 3 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m ; n) sao cho
HD :
Ta có :
TH1 :
TH2 :

và

lẻ. Giả sử :
do
do

Vậy có 5 cặp số nguyên dương tìm được :
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n sao cho
HD:

là số chính phương

Đặt
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

11

Nhận xét:

nên ta có các TH sau:

TH1:

Vậy số tự nhiên cần tìm là 4

Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho:
HD:

là số chính phương.

Đặt
Nhận xét:

và chúng là các số dương nên ta có:

Bài 6 : Tìm số tự nhiên n sao cho 13n +3 là số chính phương.
HD:
Đặt
mà 13 là số nguyên tố nên

hoặc

=>

Khi đó:
Vậy với

thì 13n+3 là số chính phương

Bài 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho
HD:

là số chính phương.

Đặt
Nhận thấy
và chúng là những số lẻ nên ta có các TH
Xét các Th ta có các giá trị của n là: 1588; 316; 43; 28
Bài 8 : Tìm a để
HD:

là số chính phương

Làm tương tự như trên ta có:
Bài 9 : Tìm a để
HD:

là số chính phương

Làm tương tự ta có
Bài 10 : Tìm a để
là số chính phương
HD :
Làm tương tự như các bài trên ta có :
Bài 11 : Tìm số tự nhiên n để :
HD :

là số chính phương

Làm tương tự như trên ta có :
Bài 12 : Tìm số tự nhiên n sao cho :
HD :

là số chính phương.

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

12

Làm tương tự như trên ta có :
Bài 13 : Tìm số tự nhiên n sao cho
Bài 14 : Tìm số tự nhiên n để

là số chính phương
là số chính phương

Bài 15 : Tìm số tự nhiên n để
HD :

là số chính phương

Đặt
Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn
(1)
Mặt khác :
=> 2 số m+n và m-n cùng tính chẵn lẻ

(2)

Như vậy m+n và m-n là hai số chẵn=>
nhưng 2006 không chia hết cho 4
Dẫn đến mâu thuẫn, vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn
Bài 16 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để :
HD :
Đặt

là số chính phương

, Vì

chia 3 dư 1

chia 3 dư 1=> n chẵn
TH1: Nếu n=0=>
TH2: Nếu
Vì số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Vậy n=0 là số cần tìm
Bài 17 : Tìm tất các các số nguyên n để :
HD :

vô lý

là số chính phương

Đặt
hoặc :
Khi

hoặc

không phải là số chính phương

Với

và

Ta có :

, lúc đó :

Bài 18 : Tìm các số nguyên dương n sao cho số
tổng các bình phương của hai số nguyên dương.
HD :
Giả sử :

với

Dễ thấy:
Đặt

có thể viết dưới dạng

chẵn
. có:
thay vào ta lại có tiếp:
, Vô lý vậy không tồn tại n thỏa mãn.

Bài 19 : Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho
HD:

là số chính phương.

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

13

Gỉả sử:
với

khi đó ta có:
và

Thử lại ta thấy
Bài 20 : Tìm các số tự nhiên n để
HD:

là số nguyên tố

Ta có:

Để

là số nguyên tố thì

Thử lại với

là số nguyên tố

Bài 21 : Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng
chữ số.
HD:
Ta thấy n=1 thỏa mãn:
Với
ta có:
TH1: Nếu n lẻ thì:
TH2: Nếu

. trong đó

, biết p có không nhiều hơn 19

và
với

t lẻ. Khi đó;

TH3: Nếu
thì
Thử và nhận thấy n=2, n=4, n=8 thỏa mãn.
Bài 22 : Tìm các cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau :
HD :
Ta có :
và
Vô lý, Vậy không tồn tại p và q thỏa mãn.

và

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của

là một số chính phương.

HD:

a. Vì p là số nguyên tố nên

có các ước tự nhiên là:

Giả sử:
( 1)

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

14

Mặt khác:
(2)
Từ (1) và (2)
Do đó
Vì

Bài 1: Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương của tổng 4 số còn lại

Bài 2: Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương
của chúng.
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố x để tổng các ước tự nhiên của

là một số chính phương.

Bài 5: Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 2016) sao cho xy+x và
xy+y là bình phương của hai số nguyên dương khác nhau

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố n để:

là một số chính phương.

Bài 1: Cho một số tự nhiên có 4 chữ số abcd. Biết rằng a, b,c,d là 4 chữ số liên tiếp từ nhỏ đến lớn. Biết
bacd là một số chính phương. Tìm abcd
Bài 2: Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phương và nếu ta
thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương.

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

15

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

16

Dạng 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Tìm số tự nhiên có 9 chữ số:
HD:

trong đó

và đồng thời A viết được dưới dạng

với

và
là bốn số nguyên tố.

Ta có:

Như vậy

phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 13

Do

=>
Vậy
hoặc
Bài 2 : Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng
nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị
vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương
HD:
Gọi

là số phải tìm, a, b, c, d

Với

, ta có :

Do đó :
Nên

hoặc :

hoặc 

Vậy
Bài 3 : Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn: Tích của hai số bất kỳ trong ba số ấy cộng
với 1 chia hết cho số còn lại.
HD:
Gọi ba số càn tìm là:
Ta có:
và
Nhân theo vế ta được :

, giả sử :
và

, Như vậy

,
(1)

TH1 : Nếu
Từ đó ta tìm được a=7, b=3
TH2 : Nếu
Xét
Xét

là số lẻ. Từ (1) =>

hoặc
dư 1
làm tương tự như trên, ta thấy không có bộ ba số nào thỏa mãn:

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

(loại)

17

Vậy bộ ba số cần tìm là: 7; 3; 2

Bài 4 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B
HD :
Gọi

, Khi đó :

Khi đó ta có :

( 1)

Nhận xét thấy tích

là hai số nguyên dương

Và
nên
Vậy hai số
Bài 5 : Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số
sau một đơn vị
HD :
Đặt

, ta có :

với

Suy ra :

hoặc

Mà

, lại do :

Bài 6 : Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
HD :
Gọi số chính phương phải tìm là :
Ta có :

(1)

Nhân xét thấy :
Mà
Thay vào (1) ta được :
là số chính phương
Bằng phép thử a từ 1 đến 9 ta thấy có a = 7 là thỏa mãn => b=4
Vậy số cần tìm là 7744
Bài 7 : Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương
HD :
Gọi số chính phương đó là :
Vì

cũng là một số chính phương.

Ta có :

mà y là số chính phương nên y =16

Bài 8 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó
có tổng các chữ số là một số chính phương.
HD :
Gọi số phải tìm là :

với

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

18

Vì

là số chính phương nên

mà d là số nguyên tố nên

Đặt
với k là 1 số có hai chữ số mà
có tận cùng là 5
=> k có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của k là một số chính phương = > k=45
Vậy

Bài 9 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu bình phương của số đó và số bởi hai chữ số của số đó
nhưng viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
HD :
Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là :
Số viết theo thứ tự ngược lại là :
, Vì
Khi đó :
phương do đó :

, để

là số chính phương thì

phải là số chính

hoặc

TH1 : Nếu
TH2 :
( loại)
Bài 10 : Cho một số chính phương có 4 chữ số, Nếu thâm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính
phương, Tìm số chính phương ban đầu.
HD :
Số cần tìm là 1156
Bài 11 : Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
HD :
Gọi số phải tìm là
Theo bài ra ta có :
a+b là một số chính phương

Khi đó

là một lập phương và

Đặt
Vì

hoặc

TH1 :

là số chính phương

TH2 :
không là số chính phương ( loại)
Bài 12 : Tìm ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 có 4 chữ số giống nhau.
HD :
Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là :
Ta có :

với a lẻ và

Vì
và
lẻ nên
=> a=5 => n=21
Bài 13 : Tìm số có hai chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com
19

HD :

chữ số của số đó.
Gọi số cần tìm là :
Theo bài ra ta có :
, lại có

và

nguyên tố cùng nhau do đó :

, Vậy số càn tìm có thể là 48 hoặc 37.

Bài 14 : Số 1997 được viết dưới dạng tổng của n số hợp số với nhau, nhưng không viết được tổng của
n+1 số hợp số với nhau, hỏi n bằng bao nhiêu ?
HD :
Nhận thấy 4 là hợp số nhỏ nhất mà
,
Gọi n là số hợp số có tổng bằng 1997, n nhỏ nhất
Lại có : 1997= 4+4+4+…+4+9 ( có 447 số 4), Vậy n= 448
Bài 15 : Phân tích số 2000 thành tổng các bình phương của 3 số nguyên dương
HD :
Ta phải tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn :
Chú ý : Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ dư 0 hoặc 1
Mà :

là số chẵn, Đặt

Tương tự :
Không mất tính tỏng quát ta giả sử :
=>
Với

, mà

Mà 19 chia 4 dư 3, nên không tồn tại

chẵn =>

, với

thỏa mãn :

Với
Với

, lập luận giống như

Với
Với

không thỏa mãn 

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

20

Dạng 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng nếu:
và
, Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40
HD:
Do
là số chính phương lẻ nên
chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn
Do
là số chính phương lẻ nên
chia cho 8 dư 1, suy ra
(1)
Do
và
đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,
do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4
Mà
=>

, Do đó
và

và

khi chia cho 5 đều dư 1

(2)

Từ (1) và (2) =>
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho
bội số của 24.
HD :
Đặt

và

đều là các số chính phương thì n là

, khi đó m là số lẻ
=> n là số chẵn => n+1 lẻ => k lẻ

Đặt

(1)

Mặt khác

. Mặt khác

Nên đề

và

chia cho 3 dư 0 hoặc 1

và

Hay

(2) . Mà

Bài 3 : Chứng minh rằng:
HD:

chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

Vì
là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho
2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3
Bài 4 : Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
Vì

(đpcm)

Bài 5: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dương đều có:
HD:
Ta có:

Chia hết cho 7

Chia hết cho 13. Mà
đpcm.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng
chia hết cho 3
HD :
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

21

Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có :
Ta có :
Vì

, Do vậy

Bài 7: Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:
Ta có:
Bài 8: Chứng minh rằng:
HD:

chia hết cho 100

Ta có:
Vì
Vậy

, có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10
chia hết cho 100

Bài 9: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng
HD:
Ta có:

, Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên :

Khi đó:

Vì

và

, mà

Nên
Bài 10 : Chứng minh rằng không thể có các số nguyên lẻ :

thỏa mãn đẳng thức:

HD:
Nhận xét: Nếu a là số nguyên lẻ thì

chia cho 4 dư 1

Giả sử
Áp dụng nhận xét trên vào bài toán ta có: Nếu

.
đều là các số nguyên lẻ thì:
(1)

Mà
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 11 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của nó bằng 1999.
HD:
Ta thấy số
và số
luôn chia hết cho 1999
( Số A có x số 1999 và y số 3998)
Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

22

Tổng các chữ số của A là :
Khi đó ta có :
Vì
Vậy số A=19991999…199939983998…3998 thỏa mãn yêu cầu đầu bài
( số A có 60 số 1999 và 11 số 3998)
Bài 12 : Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ ta luôn chọn được 4 số sao cho tổng của chúng chia
hết cho 4
HD :
Xét 7 số tự nhiên bất kỳ :
Nhật xét : trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số có tổng chia hết cho 2
Áp dụng điều trên ta có :
Trong ba số

, giả sử :

Trong ba số

, giả sử :

Trong ba số

, giả sử :

Trong ba số

giả sử

Bài 1: Tìm các số nguyên x để

=>

.

là một số chính phương chẵn.

HD:
Đặt

Với

( không thỏa mãn)

Với

( Thỏa mãn)

Với

( Thỏa mãn)

Bài 1: Tìm số tự nhiên

sao cho

là số chính phương.

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

23

Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ

Bài 5 : Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho  tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :
HD :

Nếu
Do
Nếu
p và q còn

và p là số nguyên tố nên
và

là nguyên tố cùng nhau vì

chỉ chia hết cho các ước nguyên tố là

thì không chia hết cho p và cũng không chia hết cho q.

Gọi r là một ước chung của

và
hoặc

Nếu

là hai nghiệm của phương trình :
vô nghiệm do

Nếu 

và

là hai nghiệm của phương trình :

vô nghiệm do
Vậy bộ các số nguyên tố

cần tìm là :

Bài 1: Tìm số nguyên tố biết rằng nó vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố.
HD:
thành

Số nguyên tố cần tìm không thể là 2, do 2 là số nguyên tố nhỏ nhất nên không thể biểu diễn được

tổng của 2 số nguyên tố. Vậy số nguyên tố cần tìm là số nguyên tố lẻ (vì 2 là số nguyên tố chẵn
duy nhất)
Do đó tổng của hai số nguyên tố và hiệu của hai số nguyên tố sẽ là một số nguyên tố lẻ khi nó là
tổng của
Một số nguyên tố lẻ với 2 và là hiệu của một số nguyên tố lẻ với 2.
Gọi a là số nguyên tố cần tìm:

(b, c là hai số nguyên tố lẻ)

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

24

theo thứ tự là 3 số nguyên lẻ liên tiếp,
Mà trong ba số lẻ liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3, 3 lại là số nguyên tố bé nhất.
Nên
, Thấy:
là số nguyên tố cần tìm.
Bài 1: Tìm các số tự nhiên n để
Bài 2 : Tìm

để

là một số nguyên tố.
là số nguyên tố.

Bài 1: Tìm số tự nhiên

để:

là số nguyên tố.

Bài 1: Tìm số nguyên x, sao cho :

với p là số nguyên tố.

Bài 1: Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
HD:
Gọi a, b, c là ba số nguyên tố cần tìm ta có:
Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
Giả sử a = 5 được:

Do b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:

hoặc
Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7.

Bài 1: Tìm các số nguyên tố x, y sao cho:

Bài 1: Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
và

x− y √ 2014
y−z √2014

là số hữu tỉ

là số nguyên tố.

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

25

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho:

Bài 1 : Tìm tất cả các số nguyên tố:

Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số :

sao cho:

đều là số nguyên tố.

Bài 1: Tìm số nguyên tố biết rằng nó vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số nguyên tố
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p = a 2+b2 +c2 với a; b; c là các số nguyên dương sao cho a 4
+ b4 +c4 chia hết cho p

Bài 1:Tìm các số tự nhiên x;y; z thỏa mãn đồng thời
tố.

Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số

và x + y + z – 1 là số nguyên

đều là số nguyên tố.

Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com

26