ĐS8. C6. B2. ÔN TẬP TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
A. kiến thức cần nhớ
1. Tính chất cơ bản của phân thức
a. Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân
thức bằng phân thức đã cho. Ta có

,

là đa thức khác đa thức 0

b. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân
thức bằng phân thức đa cho. Ta có

,

là nhân tử chung của

và

2. Quy tắc đổi dấu:
- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức
đã cho:
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Rút gọn phân thức
I. Cách giải: Ta thực hiện theo hai bước sau
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử ở hai vế
Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm
II. Bài toán
Bài 1.1: Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu
a)

b)

a)

b)
Lời giải

Nhân tử chung của cả tử và mẫu là:
a)

b)

a)

b)
1

Bài 1.2: Rút gọn phân thức:
a)

b)

a)

b)
Lời giải

a)

b)

a)

b)

Bài 1.3: Rút gọn phân thức
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)

b)

a)

b)

Bài 1.4: Rút gọn phân thức
a)

b)

a)

b)
Lời giải

a)

b)

a)

b)
2

Bài 1.5: Rút gọn phân thức
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)

b)

c)

d)

.

Bài 1.6: Rút gọn phân thức:
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)
b)

3

c)

d)

Bài 1.7: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống
a.

b.
Lời giải

a) Biến đổi được

đa thức cần tìm là

b) Biến đổi được
Bài 1.8: Tìm đa thức

đa thức cần tìm là

, biết:

a.

b.
Lời giải

a) Ta có
b) Ta có

4

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu
I. Cách giải: Ta thực hiện theo hai bước sau
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chon tử thức (hay mẫu thức) thích
hợp tùy theo yêu cầu bài toán
Bước 2: Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu bài toán
II. Bài toán
Bài 2.1: Cho phân thức
bằng nó và có tử thức là đa thức

. Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức
Lời giải

Ta có

phân thức cần tìm là

Bài 2.2: Biến đổi phân thức

thành một phân thức bằng nó và có mẫu thức là
Lời giải

Ta có

phân thức cần tìm là

Bài 2.3: Cho hai phân thức
phân thức bằng nó và có cùng tử thức

Biến đổi hai phân thức này thành cặp
Lời giải

Ta có tử thức của phân thức là

5

Bài 2.4: Biến đổi

và

thành cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức
Lời giải

Ta có cặp phân thức có cùng mẫu là
Bài 2.5: Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức
đây
a)

b)

và

và
Lời giải

a)

nên

.

b)

6

sau

Dạng 3: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau
I. Cách giải: Ta thực hiện theo hai bước sau
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử
Bước 2: Rút gọn từng phân thức từ đó suy ra điều phải chứng minh
Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

II. Bài toán
Bài 3.1: Cho cặp phân thức
thức trên bằng nhau

và

với

. Chứng tỏ cặp phân

Lời giải

Ta có
Bài 3.2: Cho hai phân thức
nhau không?

và

với

. Cặp phân thức này có bằng

Lời giải
Ta có
Bài 3.3: Chứng minh đẳng thức
a.

b.
7

Lời giải
a) Ta có
b) Ta có
Bài 3.4: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a.
b.
Lời giải
a.

b.

(đpcm)

8

Dạng 4: Tính giá trị của phân thức
I. Cách giải: Ta thực hiện theo ba bước sau
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử
Bước 2: Rút gọn từng phân thức
Bước 3: Thay giá trị của biến vào phân thức và tính
II. Bài toán
Bài 4.1: Tính giá trị của phân thức
a.

với

b.

tại
tại
Lời giải

a) Ta có
Theo đầu bài
b) Ta có
Theo đầu bài
Bài 4.2: Tính giá trị của phân thức

9

a.

tại

b.

tại
Lời giải

a)

Theo đầu bài
b) Loại trường hợp

và thay

Bài 4.3: Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
c)

với a = 12; b = -36

b)

với

với

d)

với

Lời giải
a. Ta có:

b.

với

c.

với

d.

với

e.

10

Bài 4.4: Cho

thỏa mãn 

và

. Tính
Lời giải

Ta có:
Với
Bài 4.5: Cho phân thức
a) Viết điều kiện xác định của phân thức
b) Rút gọn phân thức
c) Tính giá trị của phân thức tại
d) Tính giá trị của phân thức tại
Lời giải
a) Điều kiện xác định của phân thức là

hay

b) Ta có:
c) Vì
d) Vì

(không thỏa mãn
(không thỏa mãn

) nên tại
) nên thay

Bài 4.6: Cho phân thức
a) Tìm điều kiện xác định của phân thức
b) Rút gọn phân thức
c) Tính giá trị của phân thức tại
d) Tính giá trị của phân thức tại
Lời giải
a) Điều kiện:

hay
11

phân thức không có giá trị xác định.
vào

ta có giá trị phân thức là

b)
c) Vì

d) Vì

(thỏa mãn

) nên thay

(không thỏa mãn

vào

) nên tại

ta có giá trị của phân thức mới

giá trị phân thức không xác định.

Bài 4.7: Cho phân thức
a) Tìm điều kiện xác định của phân thức
b) Rút gọn phân thức
c) Tính giá trị của phân thức tại
d) Tính giá trị của phân thức tại
Lời giải
a) Điều kiện:
hay
hay

và

b) Ta có:
c) Vì
là:

d) Vì
định.

(thỏa mãn

(không thỏa mãn

và

) nên thay

và

) nên tại

Bài 4.8: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức

12

và

ta có giá trị của phân thức

giá trị của phân thức không xác

a)

tại

c)

;

b)

tại

tại

d)

tại

Lời giải
a) Điều kiện xác định của

Vì
Vì

(thỏa mãn
(thỏa mãn

b) Điều kiện xác định của

là

) nên thay

hay

vào biểu thức

) nên thay

vào biểu thức

ta có:
ta có:

là:

hay
hay
hay

và
và

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

c) Điều kiện xác định của

là:

hay
hay

và

13

vào

ta được:

;

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

vào

d) Ta có
Vì

với mọi

Nên

với mọi

Do đó

Thay

với mọi

vào

ta có:

.

Bài 4.9: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức
a)
b)
c)
d)

tại
tại
tại

;
tại
Lời giải

a) Điều kiện

hay

hay

Ta có:

14

ta có:

Vì

(thỏa mãn) nên thay

vào biểu thức

ta có:

b) Điều kiện:
hay
hay
hay

và
và

Ta có:
Vì

(thỏa mãn) nên thay

vào biểu thức

ta được:

c) Điều kiện:
hay
hay
hay
hay

và

.

Vì

(thỏa mãn) nên thay

vào

ta được:

Vì

(không thỏa mãn điều kiện) nên tại

d) Điều kiện:
hay
hay
hay
hay

và

15

giá trị của

không xác định.

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

vào

ta có:

.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm đa thức thích hợp điền vào các chỗ trống thỏa mãn mỗi đẳng thức sau
a)

b)
Lời giải
a) Đa thức cần tìm là
b) Đa thức cần tìm là
Bài 2: Tìm đa thức

, biết

a)

b)
Lời giải

a) Đa thức cần tìm là
b) Đa thức cần tìm là
Bài 3: Hoàn thành chuỗi đẳng thức sau
Lời giải

Ta có
Bài 4: Cho cặp phân thức

và

a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau không
b) Tìm giá trị cụ thể của

để hai phân thức bằng nhau
16

Lời giải
a) Ta có

và

Vậy hai phân thức không luôn bằng nhau
b)

Bài 5: Với giá trị

thỏa mãn

Tính giá trị của phân thức

a)

b)
Lời giải

Ta có

a)
b)

.

Bài 6: Rút gọn phân thức:

a)

b)

a)

b)

Lời giải
a)

b)

a)

b)

Bài 7: Viết điều kiện xác định cho mỗi phân thức sau:

17

a)

b)

a)

b)

Lời giải
a) Điều kiện xác định của phân thức

là

b) Điều kiện xác định của phân thức

là

c) Điều kiện xác định của phân thức

hay
là

và

d) Điều kiện xác định của phân thức

hay

là

và

và
hay

và

Bài 8: Cho phân thức
a) Viết điều kiện xác định của phân thức
b) Rút gọn phân thức
c) Tính giá trị của phân thức tại
d) Tính giá trị của phân thức tại
Lời giải
a) Điều kiện xác định của phân thức là

hay

b) Ta có:
c) Vì

d) Vì

(thỏa mãn

(không thỏa mãn

) nên thay

vào

) nên tại

ta có giá trị của phân thức là

giá trị phân thức không xác định.

Bài 9: Rút gọn phân thức
a)

b)

18

.

a)

b)
Lời giải

a)

b)

a)

b)

Bài 10: Rút gọn phân thức
a)

b)

a)

b)
Lời giải

a)

b)

a)

b)

Bài 11: Cho phân thức
a) Tìm điều kiện xác định của phân thức
b) Rút gọn phân thức
c) Tính giá trị của phân thức tại
d) Tính giá trị của phân thức tại
Lời giải
a) Điều kiện:

hay

19

b)
c) Vì

d) Vì

(thỏa mãn

) nên thay

(không thỏa mãn

vào

) nên tại

ta có giá trị của phân thức mới

giá trị phân thức không xác định.

Bài 12: Cho phân thức
a) Tìm điều kiện xác định của phân thức
b) Rút gọn phân thức
c) Tính giá trị của phân thức tại
d) Tính giá trị của phân thức tại
Lời giải
a) Điều kiện:
hay
hay

và

b) Ta có:
c) Vì
d) Vì

(không thỏa mãn
(thỏa mãn

và
và

) nên tại
) nên tại

giá trị phân thức không xác định
vào

Bài 13: Rút gọn phân thức
a)

b)
20

ta có giá trị của phân thức là:

c)

d)
Lời giải

a)

b)

c)

d)
Bài 14: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức
a)

c)

tại

tại

Lời giải
a) Điều kiện xác định của

là

hay

Hay
Hay

21

b)

tại

d)

tại

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

b) Điều kiện xác định của

vào

ta có:

là:

hay
hay
hay

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

c) Điều kiện xác định của

vào

ta được:

là:

hay
hay

và

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

vào

ta có:

d) Điều kiện
hay
hay
hay

Vì

,

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

22

,

vào

ta có:

Bài 15: Rút gọn phân thức:
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)

b)

c)

d)

23

Bài 16: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức
a)

tại

c)

b)

tại

tại

d)

;

tại

Lời giải
a) Điều kiện

hay

hay

Ta có:
Vì

(thỏa mãn) nên thay

vào biểu thức

ta có:

Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

b) Điều kiện:
hay
hay
hay

và
và

Ta có:
Vì

(không thỏa mãn) nên tại

Vì

giá trị biểu thức

(thỏa mãn) nên thay

vào

c) Điều kiện:
hay
hay
24

ta có:

không xác định.

Vì

(thỏa mãn) nên thay

vào

ta được:

d) Điều kiện:
hay
hay
hay

và

và

Vì

(không thỏa mãn điều kiện) nên tại

Vì

(thỏa mãn điều kiện) nên thay

giá trị
vào

.

25

không xác định
ta có:

Dạng 5: Bài toán tổng hợp về phân thức (tìm ĐKXĐ, rút gọn phân thức, tính giá trị phân thức,
…)
I. Phương pháp giải
1. Điều kiện xác định: Phân thức

xác định khi

2. Rút gọn biểu thức
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử
Bước 2: Chai cả tử và mẫu cho nhân tử chung
3. Tính giá trị biểu thức
Bước 1: Viết điều kiện xác định của phân thức
Bước 2: Rút gọn phân thức
Bước 3:
+ Nếu giá trị của biến thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức, ta thay giá trị của biến và phân
thức đã thu gọn ở bước 2 và tính giá trị.
+ Nếu giá trị của biến không thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức thì tại giá trị đó của biến,
giá trị phân thức xác định.
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

II. Bài toán
26

Bài 5.1: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của
b) Rút gọn
c) Tính giá trị của biểu thức

tại

d) Tính giá trị của biểu thức

tại
Lời giải

a) Biểu thức

xác định khi

hay

b) Xét
c) Với
d) Với
.

(thỏa mãn điều kiện) thì
(không thỏa mãn điều kiện) nên không tìm được giá trị của biểu thức

Bài 5.2: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của
b) Rút gọn
c) Tính giá trị của biểu thức

tại

d) Tính giá trị của biểu thức

tại
Lời giải

a) Biểu thức

xác định khi

hay

b) Xét
c) Với

(thỏa mãn điều kiện) thì

d) Với

(thỏa mãn điều kiện) thì

.

Bài 5.3: Cho biểu thức
27

tại

a) Tìm điều kiện xác định của
b) Rút gọn
c) Tính giá trị của biểu thức

tại

d) Tính giá trị của biểu thức

tại
Lời giải

a) Biểu thức

xác định khi

hay

b) Xét
c) Với

(thỏa mãn điều kiện) thì

d) Với

(không thỏa mãn điều kiện) nên không tìm được giá trị của biểu thức
.

Bài 5.4: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của
b) Rút gọn
c) Tính giá trị của biểu thức

tại

d) Tính giá trị của biểu thức

tại
Lời giải

a) Biểu thức

xác định khi

hay

b) Xét

28

tại

c) Với

(thỏa mãn điều kiện) thì

Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ
Liên hệ Zalo O988-166-193 để mua tài liệu siêu hay ạ

29