MÃ KÍ HIỆU
…………………………..
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN
Năm 2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).
a) Cho
. Tính giá trị biểu thức:
.
b) Cho phương trình
.
Tìm
để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
,
thỏa mãn:
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình
.
b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm).
a) Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện
.
Chứng minh rằng
.
b) Tìm các số nguyên
thỏa mãn

Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, M là trung điểm củ
a AO. Kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại M. Trên d lấy điểm K bất kỳ, KA, KB lần lượt cắt (O) tại I, C. Trên cung nhỏ IC của (O) lấy điểm N bất kỳ. Đường thẳng KN cắt AB tại S, cắt (O) tại P (P khác N) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KIC tại J. Chứng minh:
a) Chứng minh
KJI

KSA
b) Chứng minh KN.KP = KJ.KS.
c) Gọi H là giao của AC và KM. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AKH luôn đi qua một điểm cố định khi K thay đổi trên d.
Câu 5 (1,0 điểm).
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.

------------Hết----------




MÃ KÍ HIỆU
………………………

HƯỚNG DẪN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN
Năm 2021
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu
Đáp án
Điểm

1
(2 điểm)

a. (1,0 điểm)


 Ta có:


0,25




.
0,25


Từ đó ta suy ra
.
0,25




0,25


b. (1,0 điểm)


 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện:


(*)
Với
theo Vi-et ta có:

0,25


Ta có
(1)


0,25



. Đặt
do


Ta có (1) trở thành
( do
)
0,25


Với
ta có
thỏa mãn (*)
Vậy m=-2 là giá trị cần tìm.
0,25

2
(2 điểm)
a. (1,0 điểm)


Điều kiện

Ta viết lại phương trình thành
.
0,25


Đặt
thì phương trình có dạng


0,25


Nếu
ta có:
.
0,25


Nếu

phương trình vô nghiệm.
0,25


b. (1,0 điểm)


Vì
không là nghiệm của hệ nên ta đặt
. Khi đó hệ thành:


0,25



.
0,25


Với
.
0,25


Với
.
Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm:



0,25

3
(2 điểm)

a. (1 điểm)


Gọi P là biểu thức vế trái của bất đẳng thức.
Ta viết lại P dưới dạng

.
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

.
0,5


Suy ra
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
0,5


b. (1,0 điểm)




0,25


Ta thấy
chia hết cho 3

chia hết cho 2 hay y lẻ
Mặt khác
Do đó

0,25


Khi đó phương trình (*) trở thành

Do đó x1= 2; x2 = - 4
0,25


Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x; y) là
(2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1)
0,25

4
(3 điểm)

a. (1,0 điểm)






Ta có
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI)
0,25


Mà AICB là tứ giác nội