Trong mặt phẳng cho điểm cố định S, kẻ hai đường thẳng song song cố định d và d’ nằm cùng một phía với điểm S. Một cát tuyến di động qua S cắt d và d’ lần lượt tại M và M’. Chứng minh rằng các tiếp điểm T và T’ của các tiếp tuyến vẽ từ S đến đường tròn đường kính MM’ nằm trên các đường thẳng cố định,
Gợi ý:
/
Gọi O là tâm đường tròn đường kính MM’ và A, B là giao của d, d’ với đường thẳng kẻ qua S vuông góc với d; K là trung điểm AB. Dễ thấy d//d’//OK và K cố định.
SM/SM’ = SA/SB = k không đổi => SM = k(SM + 2OT) => SM = 2kOT/(1 – k) => SO = SM + OT = OT.(1 + k)/(1 – k) => sinOST = OT/SO = (1 – k)/(1 + k) = không đổi => góc OST không đổi. Lại có 5 điểm S, T, O, T’, K cùng thuộc một đường tròn và cung OT, OT’ bằng nhau nên góc OKT = OKT’ = OST = không đổi. Thêm nữa K là điểm cố định suy ra các đường thẳng KT, KT’ cố định . Đpcm.