/
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I.Địnhnghĩa
a. Tích của véc – tơ
với số thực
là một véc – tơ, kí hiệu là
, cùng hướng với véc – tơ
nếu k > 0, ngược hướng với
nếu k < 0 và có độ dài bằng

b. Quy ước: 0.
=
và k.
=

II.Tínhchất.
a)
b)

c)
d)

e)

III.Điềukiệnđể2véc–tơcùngphương
a)
cùng phương với

khi và chỉ khi có số k thỏa
Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho

/
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG1.DỰNGVÀTÍNHĐỘDÀIVÉC–TƠ
Sử dụng định nghĩa tích của một véc – tơ với một số và các quy tắc về phép toán véc – tơ để dựng véc – tơ chứa tích một véc – tơ với một số, kết hợp vớ các định lí Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng
A. Bài tập tự luận
Cho tam giác ABC cạnh a. Gọi điểm M,N lần lượt là trung điểm của BC,CA. Dựng các véc – tơ sau và tính độ dài của chúng
a)
b)

c)
d)

Lờigiải.
a) Theo quy tắc ba điểm ta có


b) Theo quy tắc trừ ta có


c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C, Điểm E là
đỉnh của hình bình hành ABEF,
Theo quy tắc hình bình hành ta có


Gọi I là hình chiếu của E lên
.
Vì



Áp dụng định lí Pitago ta có:

Suy ra

d) Lấy Lấy các điểm
sao cho

Suy ra

Do đó

Cho tam giác đều
cạnh
. Điểm
là trung điểm
. Dựng các véc-tơ sau và tính độ dài của chúng
a)
. b)
c)
d)

Lờigiải.
a) Do
nên theo quy tắc ba điểm, ta có

Vậy

/
b) Vì
nên theo quy tắc trừ,
ta có

Theo định lí Pitago ta có


Vậy

c) Gọi N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng
của A qua C và AQP N là hình bình hành.
Khi đó ta có
suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có


Gọi L là hình chiếu của A lên P N. Vì MN // AC nên
.
Xét tam giác vuông ANL ta có



Ta lại có

Tam giác ALP có

Vậy

d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho
. Gọi H là điểm thuộc tia MB sao cho
.
Khi đó

Ta có

Tam giác MKH có
.
Vậy

Cho tam giác vuông cân
với
. Dựng và tính độ dài các véc-tơ
;
.
Lờigiải.
Vẽ diểm C, D sao cho
, vẽ hình bình hành
thì


Vẽ điểm
sao cho
thì

và

B. Bài tập trắc nghiệm

/
Khẳng định nào sai?
A.

B.
và
cùng hướng khi

C.
và
cùng hướng khi

D. Hai vectơ
và
cùng phương khi có một số
để

Lờigiải
ChọnC
(Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)
Trên đường thẳng
lấy điểm
sao cho
. Điểm
được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
/
A. Hình 3 B. Hình 4 C. Hình 1 D. Hình 2
Lờigiải
ChọnA

ngược hướng với
và
.
Cho ba điểm phân biệt
. Nếu
thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.

Lờigiải
ChọnD
/
Cho tam giác
. Gọi
là trung điểm của
.Khẳng định nào sau đây đúng
A.
B.
C.
D.

Lờigiải
/
ChọnA
Vì
là trung điểm của
nên
và
cùng hướng với
do đó hai vectơ
,
bằng nhau hay
.
Cho tam giác
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
A.
B.
C.
D.

Lờigiải
ChọnB
Cho
và điểm
. Gọi
lần lượt là hai điểm thỏa mãn
và
. Khi đó:
A.
B.
C.
D.

Lờigiải
ChọnC
Ta có:
.

/