ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021
Môn:Toán 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1 (4đ):
a) Chứng minh:
chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
b) Tìm n
để
là số chính phương

Bài 2 (2đ):
Cho biểu thức P =

Rút gọn biểu thức P
Tính giá trị biểu thức P khi

Bài 3 (3đ):
Cho x, y, z > 0
Chứng minh rằng

Tìm giá trị nhỏ nhất của A=

Bài 4 (3đ):
a ) Giải phương trình


b)Cho x,y,z
0 thỏa mãn x +y +z = 2019 và
.
Chứng minh rằng trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số bằng 2019.
Bài 5(2đ) :
Cho tam giác ABC có BC = a, các trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên BC sao cho
BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE .
Tính độ dài IK.
Bài 6 (4đ):
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AD. C/m:
a) DE = CF và DE
CF.
b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài 7 (2đ): Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng
.




ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC:2020-2021
Môn:Toán 9

NỘI DUNG
BIỂU ĐIỂM

Bài 1 (4đ):
a) Chứng minh:
chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n


Vì

Nên

b) Tìm n
để
là số chính phương
Ta có
=k2




Giải phương trình ta được n=-12, n=-3, n=13, n=4


Bài 2 (2đ):
a) Rút gọn biểu thức P
Điều kiện

P=



=

=

=

b) Tính giá trị biểu thức P khi




=



Bài 3 (3đ):
a) Chứng minh rằng

Áp dụng BĐT Côsi ta có





Cộng vế theo vế ta được

Dấu = xảy ra khi x=y=z
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A=

A=

=

=

Dấu “=” xảy ra khi


Vậy GTNN của A là 4 khi x=7; y=1

Bài 4(3đ)
a) Giải phương trình













Cho x,y,z
0 thỏa mãn x +y +z = 2019 và
.
Chứng minh rằng trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số bằng 2019.

b)












Vậy trong 3 số x, y, z có ít nhất một số bằng 2019
Bài 5(2đ)
Cho tam giác ABC có BC = a, các trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên BC sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE . Tính độ dài IK.







Giải :
Xét
AMC có DN là trung bình
DN // AM

BND có MB = MN và MI // ND

I là trung điểm của BD
Tương tự : K là trung điểm của CE
Tứ giác BCDE là hình thang có I, K là trung điểm hai đường chéo
Nên : IK =
=


Bài 6: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AD. C/m:
a) DE = CF và DE
CF.
b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.










Giải:
a/ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
AE = MF
Tam giác MDF vuông cân ở F
MF = FD
AE = FD