ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
NĂM HỌC:2016-2017
(5 điểm)         
a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 

 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 
với
là số chính phương.
 (4 điểm)         
Tam giác 
đều nội tiếp đường tròn 
,
 . Chứng minh rằng:

(3 điểm)
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình:

(3 điểm)
a) Chứng minh với mọi số
ta luôn có:

b) Cho
chứng minh rằng:


(3 điểm)    Cho tứ giác 
. Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
. Chứng minh rằng: 

(2,0 điểm)
Cho đa giác lồi có 12 cạnh
a) Tìm số đường chéo
b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?






LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
NĂM HỌC 2016-2017
Người giải đề: Triệu Tiến Tuấn
(5 điểm)
a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 

b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 
với
là số chính phương.
Lời giải
Phương trình:

Do

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

Ta có:
là số chính phương nên


Ta có:


là số chính phương.


Vậy

(4 điểm)
Tam giác 
đều nội tiếp đường tròn 
,
 . Chứng minh rằng:


Lời giải
Giả sử

Dễ thấy:
(trên
lấy
sao cho
, ta chứng minh:
)
Đặt:
. Ta có:


Kẻ

Mà





Từ

(3 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Lời giải
Phương trình:

Điều kiện:



Hệ phương trình:



Đặt
ta được:






(3 điểm)
a) Chứng minh với mọi số
ta luôn có:

b) Cho
chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có:



luôn đúng.
Ta có:


Dấu “=” không xảy ra, vậy:

(3 điểm)
Cho tứ giác 
. Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
. Chứng minh rằng: 

Lời giải
Ta có:

Gọi
là trung điểm của
, ta có : 

Suy ra:

Tương tự:







 (2 điểm)
Cho đa giác lồi có 12 cạnh
a) Tìm số đường chéo
b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?
Lời giải
Số đường chéo của đa giác là:

Nhận thấy rằng với mỗi cạnh của tam giác, ta lập được
tam giác mà mỗi tam giác thỏa mãn đề bài mà đa giác ban đầu có
cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề bài là 

Tuy nhiên nếu như tính theo cách trên thì các tam giác mà có 2 cạnh là 2 cạnh kề của đa giác đã cho được tính 2 lần
Ta có số tam giác được tính 2 lần như trên là 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề bài thực chất là: 
tam giác.