/

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
/
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Xét trong tập xác định (D):
a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với
nếu:

. Ký hiệu:

b) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B(x) với
nếu:

. Ký hiệu:

c) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x, y,…_) với

nếu

Ký hiệu:

d) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của
với

nếu

Ký hiệu:

2. Định lý về cực trị:
a) Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
3. Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu trong chuyên đề 21)
a. Bất đẳng thức Cauchy.
b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
c. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
d. Bất đẳng thức tam giác.
B. Một Số Ví Dụ
/
1. Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ 1:
a) Tìm giá trị lớn nhất của

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của

* Tìm lời giải:
Để tìm giá trị lớn nhất của A(x) ta phân tích A(x) thành một số a trừ đi bình phương một tổng (hoặc hiệu). Từ đó tìm
để

Khi ấy

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương một tổng (hoặc hiệu) trừ đi một số b. Từ đó tìm
để

Khi ấy

Giải
a)

Do
nên

Do đó

b)

Do
Nên

Do đó

c)



Do đó

/
2. Dạng đa thức một biến bậc lớn hơn hai
Ví dụ 2:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

b) Tìm giá trị lớn nhất của

* Tìm cách giải:
a) Sử dụng tách hoặc thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất hiện các bình phương một nhị thức.
b) Hoán vị và nhân từng cặp làm xuất hiện các biểu thức có phần giống nhau
rồi đặt ẩn phụ để giải.
Giải
a)



Do

Nên

b)

Đặt
ta có:

Vậy



/
3. Dạng đa thức nhiều biến bậc hai
Ví dụ 3:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

b) Tìm x, y, z để đa thức
có giá trị lớn nhất.


* Tìm cách giải:
a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số
b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức. Sử dụng hằng đẳng thức:


Giải
a)

Do
và

Nên

Do đó

b)



Do đó

4. Dạng phân thức
Ví dụ 4:

/
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải
a) Do



Vậy

b)
Do
nên

Vậy

c)

Do
nên


Vậy

5. Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức
Ví dụ 5:
a) Chứng minh giá trị lớn nhất của
là
khi và chỉ khi

b) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của
là
khi và chỉ khi

/
* Tìm cách giải:
+ Phương pháp chứng minh
(a là hằng số).
Chứng minh
và có
sao cho

+ Phương pháp chứng minh
(b là hằng số).
Chứng minh
và có
sao cho

Giải
a) Ta chứng minh
Thật vậy



Hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra

b) Ta chứng minh
Thật vậy



Hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra

6. Dạng cùng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Tìm cách giải: