Giải 1 bài hình học hay và khó lớp 9
Lời bàn: đây là bài hình được tôi chế tác và rất thú vị. Các bạn và thầy cô xem thử liệu nó có phù hợp để là câu phân loại học sinh giỏi lớp 9 hay là quá khó không phù hợp cho học sinh lớp 9
Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại F và E, BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh AH, DE cắt CH tại K. Đường thẳng qua I vuông góc với IC cắt BE tại M. Đường thẳng qua B vuông góc với BK cắt đường trung trực của cạnh OB tại điểm N. Chứng minh: FC // MN
Hướng dẫn giải
Trên tia đối tia BA lấy điểm P sao cho . Đường thẳng qua O song song với AD cắt BN tại Q. Gọi T là trung điểm của cạnh HC, S là điểm đối xứng H qua F
Từ tứ giác MIEC nội tiếp chứng minh được:
IMC ~ EBC (g – g)
=> CEI ~ CBM (c – g – c)
Dễ thấy nên tương tự:
IMC ~ FPC (g – g)
=> CFI ~ CPM (c – g – c)
=> => MB = MP
=> Tứ giác EASK nội tiếp
=> Tứ giác TESB nội tiếp
=> Lạo có: BE _|_ AC => AK _|_ BT .
=> K là trực tâm của tam giác ABT => BK _|_ AT => AT // BQ
Dễ thấy NB = NQ và PBC ~ AHC (g – g) => PBO ~ AHT (c – g – c)
Lại có BQ // AT và AD // OQ => => tứ giác OBPQ nội tiếp
=> PB _|_ PQ => NP = NB. Mà MB = MP => BP là trung trực cạnh MN
=> BP _|_ MN hay AB _|_ MN, mà AB _|_ FC => MN // FC (đpcm)