SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin.)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Hướng dẫn gồm 5 trang)
I. Hướng dẫn chung
1) Đáp án trong Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước chính của lời giải. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) phải đảm bảo không làm thay đổi tổng số điểm của mỗi câu, mỗi ý trong hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không được làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1 (2,0 điểm).

a) Đặt . Chứng minh:


+ Ta có

0,25

+ Có
0,25

+ Có
0,25

(đpcm)
0,25

b) Cho . Tính giá trị của biểu thức .



0,25


0,25


0,25


0,25
Câu 2 (2,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho ba đường thẳng và . Tìm a để ba đường thẳng đồng quy.


Gọi cắt tại  là nghiệm của hệ PT :

0,25

Để , , đồng quy tại một điểm 

0,25



0,25



Vậy với thì , , đồng quy tại một điểm
0,25

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình thoả mãn .


Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2016
0,25


0,25


0,25

Vậy nghiệm (x;y;z) của phương trình là (15; 13; 8)
0,25
Câu 3 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình


Hệ
0,25

Ta có:
0,25

Mặt khác: - 2 (x - 1)2 - 1 ≤ - 1 y3 ≤ - 1 y ≤ - 1 (2)
0,25

Từ (1) và (2) y = - 1 nên x = 1. Thử lại thì thỏa mãn.
Vậy x = 1 và y = -1 là các số cần tìm.
0,25

b) Giải phương trình


Đk: x ≥ - 1
Đặt
0,25

Ta có: a2 – b2 = 3;
0,25

Thay vào phương trình đã cho ta được:
(a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
0,25

nên
Vậy phương trình có nghiệm
0,25
Câu 4 (0,5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 1 cm, . Tính thể tích của hình tạo được khi cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh BC.










Tính được đường cao AH của tam giác ABC bằng cm và BC = 2 cm
0,25

Thể tích của khối tròn xoay là:



0,25
Câu 5 (2,5 điểm).

Cho hai đường tròn và
cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến
chung gần B của hai đường tròn
lần lượt tiếp xúc với và
tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng
song song với CD,
lần lượt cắt và
tại M và N. Các đường thẳng
CM và DN cắt nhau tại E. Gọi P là giao của BC
với MN, Q là giao điểm của BD với MN.


a) Chứng minh đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD


Do MN//CD nên
Mặt khác (cùng chắn )  hay DC là phân giác của
0,25

Tương tự, CD cũng là phân giác của
0,25

Suy ra ACD = ECD (g.c.g)  DA = DE  DAE cân tại D  AE  CD
0,25

b)


- Ta có CD là trung trực AE và CD // MN nên CD là đường trung bình tam giác MNE
0,25

- Lại có: CD // PQ
0,25


0,25

c) Tam giác EPQ là tam giác cân.


Do PQ//CD nên AE  PQ (*)
Gọi I là giao điểm của AB và CD
Xét có: góc chung , (do cùng chắn )
Suy ra đồng dạng với (g.g) 
0,25

Tương tự:
Suy ra
0,25

Do CD // PQ, theo định lý Talet, ta có:  AQ = AP (**)
0,25

Từ (*) và (**) suy ra AE là trung trực của PQ và EPQ là tam giác cân tại E.
0,25
Câu 6 (1,0 điểm).

Trong hình vuông cạnh 10 cm, người ta đặt ngẫu nhiên 8 đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng có độ dài 2cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm nằm trên 2 đoạn thẳng khác nhau trong 8 đoạn thẳng đó mà khoảng cách của chúng không vượt quá cm


Với mỗi đoạn thẳng và hình vuông đã cho, xét các hình bao như hình vẽ

Tổng diện tích của 8 hình bao đoạn thẳng là (cm2)
Diện tích hình bao hình vuông là (cm2)
0,5

Do mà các hình bao đoạn thẳng nằm hoàn toàn trong hình bao hình vuông nên tồn tại 2 đoạn thẳng có hình bao giao nhau.
Gọi I là điểm thuộc phần giao đó suy ra trên tồn tại 2 điểm E, F thuộc 2 đoạn thẳng sao cho . Khi đó . (điều phải chứng minh)
0,5

------------ HẾT ------------