CHỦ ĐỀ 5
MỘT SỐ DẠNG KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
(Phần nâng cao dành cho học sinh giỏi chuyên toán )

Bài 1. Cho các phương trình (1); (2), trong đó các hệ số đều khác . Biết là nghiệm của phương trình (2) và là nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng .
Lời giải
Áp dụng hệ thức Viet với ta có: .
Áp dụng hệ thức Viet với ta có: .
Ta có:
Kết hợp với và suy ra
Do và suy ra
Do đó .
Bài 2. Cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Chứng minh rằng .
Lời giải
Vì nên (*).
Theo hệ thức Viet, ta có: .
Khi đó (*) thành:


Mà theo giả thiết ta có và
Suy ra .
Do đó
Bài 3. Giả sử là hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm .
Lời giải
Vì nguyên dương khác nhau nên xảy ra hai trường hợp là hoặc .
Nếu suy ra .
Khi đó.
Vậy trong trường hợp này phương trình có nghiệm.
Tương tự trường hợp thì phương trình có nghiệm (đpcm).
Bài 4. Tìm các số để hai phương trình và có nghiệm chung và đồng thời có bé nhất.
Lời giải
Theo điều kiện đầu bài thì ta gọi là nghiệm chung hai phương trình, ta có:

Do đó phương trình có nghiệm (*)
Khi đó hay .
Mặt khác, ta có .
Vậy bé nhất bằng khi và chỉ khi và cùng dấu.
Với , thay vào (*) ta được: .
Phương trình trên có nghiệm kép .
Thay vào các phương trình đã cho ta được .
Vậy các cặp số sau thỏa mãn điều kiện bài toán: .
Bài 5. Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Lời giải
Từ giả thiết ta có: và .
Suy ra là nghiệm của phương trình .
Khi đó (vì ).
Bài 6. Cho là ba số khác nhau và . Chứng minh rằng nếu các phương trình và có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng là nghiệm của phương trình .
Lời giải
Giả sử là nghiệm chung, tức là
.
Vì nên .
Khi đó ta có:
Do nên .
Mặt khác theo định lý Viet, phương trình còn có nghiệm phương trình còn có nghiệm .
Theo định lý đảo của định lý Viet, hai số và là nghiệm của phương trình: hay (đpcm).
Bài 7. Cho , biết rằng phương trình vô nghiệm. chứng minh rằng phương trình vô nghiệm.
Lời giải
Vì phương trình vô nghiệm, nên suy ra hoặc
Khi đó hoặc .
Tức là phương trình vô nghiệm.
Bài 8. Cho các số sao cho các phương trình sau vô nghiệm: và . Hỏi phương trình có nghiệm hay không? Vì sao?
Lời giải
Từ giả thiết suy ra và .
Do đó . và nên .
Do vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 9. Cho . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: .
Lời giải
Nếu thì từ giả thiết ta suy ra . Do vậy phương trình có vô số nghiệm.
Dưới đây ta xét trường hợp .
Ta có: .
Do .
Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 10. Cho phương trình: (1) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: và (3).
Lời giải
Vì (1) vô nghiệm nên ta có:

Phương trình (2) có:Phương trình (3) có:
Nên (*) trong hai số luôn có một số dương và một số âm dẫn đến trong hai phương trình (2) và (3) luôn có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm.
Bài 11. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm và .
Lời giải
Hai phương trình trên lần lượt có
.
Vì là các số dương nên lần lượt cùng dấu với và .
Mặt khác ta lại có .
Dẫn đến .
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 11 file word (hơn 3000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Các bạn muốn tải đầy đủ 38 chuyên đề toán 12 ôn thi đại học file word (hơn 5500 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Bài 12. Cho các số thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :
Lời giải
Ba phương trình đã cho lần lượt có .
Do đó .
Lại có .
Suyra .
Do đó hay .
Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 13. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: (1) ; ; (3).
Lời giải
Nếu Trong ba số có một số bằng 0, chẳng hạn có nghiệm .
Ta xét là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có .
Xét tổng ta có:

Suy ra trong ba số có ít nhất một số không âm hây ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 14. Cho tam thức bậc hai trong đó là các số nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên để được .
Lời giải
Để chứng minh sự tồn tại của số ta cần chỉ ra tính chất:
Với mọi đa thức bậc 2 dạng .
Ta luôn có với mọi .
Thật vậy ta có:







Trở lại bài toán chọn ta có .
Ta suy ra số cần tìm chính là: .
Bài 15. Cho tam thức bậc hai . Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình có 4 nghiệm nếu: .
Lời giải
Ta có:

hay
Để ý rằng phương trình có và có 2 nghiệm phân biệt nên suy ra có 4 nghiệm.
Bài 16. Cho là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: (1)
Lời giải
Cách 1:
(2)
Vì nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh
Ta có:
.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Cách 2:
Gọi là vế trái của phương trình (1).
Ta có:
trong bốn số luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Bài 17. Cho a,b,c thỏa mãn:CHứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
Lời giải
Cách 1:
* Nếu có nghiệm
* Nếu ta có: có nghiệm
Cách 2: Ta có:
có nghiệm.
Cách 3: Ta có
Suy ra suy ra phương trình luôn có nghiệm.
Nhận xét:
Với cách giải thứ hai thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức: Tại sao ta xét và nhân thêm các hệ số 2 và 4. Vậy ngoài hai giá trị ta còn có những giá trị nào khác không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét . Ta cần xác định hệ số saocho:. Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương trình:. Vậy ta có:trong ba số tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm.
Cách giải thứ 3: Tại sao ta chỉ ra được . Điều này là hoàn toàn tự nhiên nếu ta cần tạo ra một tỷ lệ để tận dụng giả thiết:
Bài 18. Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: và Chứng minh rằng phương trình: (1) có nghiệm
Lời giải
Để chứng minh (1) có nghiệm , ta sẽ chỉ ra các số thực sao cho .
Vì và có giả thiết nên dẫn đến ta xét: .
Mặt khác từ:

* Xét
Nếu là đa thức không, do đó sẽ có nghiệm trong
Nếu , từ giả thiết và
* Xét ta có:có nghiệm

VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số)
Bài toán : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức với .
Phương pháp:
Gọi là một giá trị của biểu thức:
Khi đó . (*)
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu thay vào ta tìm được suy ra là một giá trị của biểu thức.
+ Nếu thì là phương trình bậc 2 ẩn .
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: .
Từ đó ta suy ra điều kiện của .
Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức.
Chú ý
 Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau:
Ta có: .
Từ đó suy ra Nếu thì luôn cùng dấu.
Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : có .”
Bài 19. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
Lời giải
Do , suy ra biểu thức luôn xác định với mọi .
Gọi là một giá trị của biểu thức khi đó ta có: . + Nếu điều đó có nghĩa là là một giá trị của biểu thức nhận được.
+ Nếu thì là một phương trình bậc 2 có .
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
Để ý rằng với mỗi giá trị hoặc thì nên
+ GTNN của là khi và chỉ khi .
+ GTLN của là khi và chỉ khi .
Bài 20. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
Lời giải
ĐKXĐ .
Ta có (1) .
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn .
Trường hợp 1: thì (*)
Trường hợp 2: phương trình (1) có nghiệm khi
(**).
Kết hợp (*) và (**) ta có .
Bài 21. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: với .
Lời giải
. Biểu thức có dạng đẳng cấp bậc 2.
Ta chia tử số và mẫu số cho ta được
đặt thì .
Ta có với mọi .
Gọi là một giá trị của biểu thức.
Khi đó ta có:
+ Nếu thì suy ra là một giá trị của biểu thức nhận được.
+ Nếu thì là một phương trình bậc 2 có
.
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
.
Từ đó ta có:
GTNN của là 1 khi và chỉ khi .
GTLN của là khi và chỉ khi .
Bài 22. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: biết
Lời giải
Nếu thì .
Xét đặt thì .
Giải tương tự như câu trên Ta có .
Suy ra :
GTNN của là đạt được khi và chỉ khi hoặc .
GTLN của là 3 đạt được khi và chỉ khi hoặc .
Bài 23. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của .
Lời giải
Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng: (*) hay (*).
Vì là các số thực thỏa mãn nên suy ra là hai nghiệm của phương trình:
(**).
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
hay .
Khi nên GTNN của là 1.
Khi suy ra GTLN của .
Bài 24. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: .
Lời giải
Thay vào ta có:

hay .
Để phương trình có nghiệm điều kiện là :

hay .
Do đó GTLN của là đạt được khi .
Bài 25. Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng: .
Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra . Ta biến đổi bất đẳng thức thành:
coi đây là hàm số bậc 2 của .
Xét ta có hệ số của là và ta có:
do .
Suy ra , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .