SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KỲ THI HSG QUỐC GIA
NĂM HỌC 2022 - 2023

Đề chính thức
Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên: TRƢƠNG QUANG AN
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 0353276871.
Bài 1 (5,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dƣơng thỏa abc=1.Tìm min của
P

a3
b3
c3


b2  1 c 2  1 a 2  1

Bài 2 (5,0 điểm). Xét hàm f : (0; )  (0; ) thỏa
f (3 f ( x)  3 y)  f (3x  y)  2 y, x, y  0

a.Chứng minh f ( x)  x, x  0 , f ( x) đồng biến
b.Tìm tất cả hàm thỏa đề bài
Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cố định, BC cố định và điểm A
thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Lấy điểm X
trên đƣờng thẳng AC và điểm Y trên đƣờng thẳng AB sao cho BX, CY vuông góc
BC, đƣờng tròn (AXY) cắt (O) tại L khác A. a) Gọi AD là đƣờng kính của (O).
Chứng minh rằng đƣờng thẳng DL luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi.
b) Gọi P, Q lần lƣợt là giao điểm thứ hai của BX, CY với đƣờng tròn(AXY).
Chứng minh rằng giao điểm của PQ và tiếp tuyến tại A của đƣờng tròn (AXY)
luôn nằm trên một đƣờng cố định.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của đƣờng tròn (AXY), tiếp tuyến tại L của
(O) và đƣờng thẳng BC đồng quy.
Bài 3 (5,0 điểm). Số nguyên N gọi là tốt nếu tồn tại các số nguyên x,y sao cho
N  x2  3 y 2

a.Chứng minh với số N tốt , nếu N chẵn thì

N
là tốt
4

b.Chứng minh với số N tốt ,nếu N chia hết cho 37 thì

N
là tốt
37

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Vũng tàu

KỲ THI HSG QUỐC GIA
NĂM HỌC 2022 - 2023

Đề chính thức
Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên: TRƢƠNG QUANG AN
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 0353276871.
2
2

x  y  x  y  y 1  x
Bài 1 (3,0 điểm).Giải hệ  2
( x, y  )
3 4y 8
2
x

11
y

32

3


u1  2023


Bài 2 (2,0 điểm). Cho dãy số (un ) xác định bởi: 
.
2022un3  2022un
u


n

*
n

1

2022un2  un  2022

1 n ui2
Tìm nlim
.

2
 2n  1
i 1 1  ui

Bài 3 (5,0 điểm). Cho đƣờng tròn (O) và hai điểm A, B cố định nằm trên đƣờng
tròn (O) sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Xét một điểm C trên đƣờng
tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi ( O1 ) là đƣờng tròn đi qua A
và tiếp xúc với BC tại C; ( O2 ) là đƣờng tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai
đƣờng tròn ( O1 ) và ( O2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C).
a) Tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) tại C cắt đƣờng thẳng OD tại S. Chứng minh OA
là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ADS.
b) Chứng minh đƣờng thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C di động
trên đƣờng tròn (O) (tam giác ABC không cân tại C).
Bài 4 (2,0 điểm).
a.Cho k là số nguyên dƣơng lớn hơn 1.Chứng minh 2k 1  1 không chia hết cho k.
b.Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 p  2q chia hết cho p.q.
Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các hàm f : 
x, y  , x  0

y
thỏa xf ( y)  yf ( x)  f   với
x
 

Bài 6 (2,0 điểm). Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách
chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao cho giao của hai tập hợp này là một tập
hợp có đúng một phần tử?

Bài 7 (3,0 điểm). Cho số thực dƣơng x,y,z thỏa y 2  zx, z 2  xy .Tìm min của
P

z
y
2022 z 2023

 2023
z  y y  x z  x 2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI HSG QUỐC GIA
NĂM HỌC 2022 - 2023

Đề chính thức
Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/09/2022)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên: TRƢƠNG QUANG AN
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 0353276871.
Bài 1 (4,0 điểm).Cho dãy số ( xn ) thỏa

x2  3 
x1  a  0 và ( xn 1  xn  3  1)  2 xn 1  n
  0, n  1 .Chứng minh dãy ( xn ) có giới
x

1
n



hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 2 (4,0 điểm).Tìm tất cả hàm
f :  thỏa f ( xf ( y)  f ( y)  f ( x))  y  ( y  1) f ( x), x, y 
Bài 3 (4,0 điểm).Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đƣờng tròn (O) và
ngoại tiếp đƣờng tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G.
Lấy E và F lần lƣợt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai
đƣờng thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
b) Gọi P là điểm trên đƣờng thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đƣờng thẳng
BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E
là trung điểm của IJ.
Bài 4 (4,0 điểm). Tìm tất cả các bộ số nguyên dƣơng (a; b; c) thỏa mãn: ab  1 |
(a  1)c

Bài 5 (4,0 điểm). Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ
một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt đƣợc màu
sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt
đƣợc tất cả các mặt thẻ úp xuống đƣa vào trong máy có đều là màu vàng hay
không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một
mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu
thẻ để đƣa vào cũng đƣợc.

a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt
vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là
log 2 n bƣớc.
b) Xét dãy số Fibonacci ( Fn ) với F1  1, F2  1, Fn2  Fn1  Fn , n  1. Với n  4 , giả sử
bạn A có Fn thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn
lại là các thẻ hai mặt vàng. Hỏi bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai
mặt đỏ bằng cách sử dụng máy nhiều nhất n lần hay không?

câu hàm
+) TH f là hằng, thế vào pt ta dc y(c+1) = 0 ∀y∈R nên c = -1 do đó f(x) ≡ -1 ∀x∈R
+) TH f khác hằng
P(-1,-1): f(f(-1)) = -1 (*)
P(-1,y): f(f(-1)) = y+(y+1)f(-1) (**)
từ (*),(**) => y+(y+1)f(-1) = -1
=> (y+1)(f(-1)+1) = 0 ∀y∈R
=> f(-1) = -1
ta sẽ c/m f(x) = -1 khi và chỉ khi x = -1
thật vậy, giả sử tồn tại m ≠ -1 sao cho f(m) = -1
P(x,m): f(-x-1+f(x)) = m+(m+1)f(x) (i)
P(x,-1): f(-x-1+f(x)) = -1 (ii)
từ (i),(ii) => m+(m+1)f(x) = -1
=> (m+1)(f(x)+1) = 0
mà m+1 ≠ 0 nên f(x) ≡ -1 ∀x∈R (vô lí vì f khác hằng)
nhƣ vậy điều giả sử là sai nên f(x) = -1 khi và chỉ khi x= -1
kết hợp với (ii) ta có

-x-1+f(x) = -1
=> f(x) = x ∀x∈R
thử lại thấy t/m, vậy f(x) ≡ -1 ∀x∈R hoặc f(x) = x ∀x∈R
Câu hình: a) Gốc từ đề vào 10 chuyên Toán HN 2017-2018 b) Chia nhỏ thành các
bài toán sau để giải: (1) CM: KNJ=90; (2) CM: tứ giác IHJN nt; (3) CM: tứ giác
BHCN nt => B,I,N,C,J,H đồng viên => E là trung điểm IJ (do E là tâm (BIC)).
5a)ta cứ chia 2 số thẻ bài và cho vào máy,cứ chia đôi cho đến khi tìm đƣợc thẻ 2
mặt đỏ=>cần không quá [log_2(n)](chú ý:nếu 1 nửa số thẻ không có
thẻ đỏ=>ta tiếp tục bằng các chia đôi nửa số thẻ còn lại,....)
5b)bổ đề F_[n]<=2^(n-2)(sử dụng quy nạp)
ta chứng minh tồn tại thuật toán bằng quy nạp(*)
với n=1,2;bài toán đúng
giả sử bài toán đúng đến n-1,ta cm bài toán đúng đến n
chia F_n thẻ thành 2 nhóm:
-nhóm A có F_[n-1] thẻ
-nhóm B có F_[n-2] thẻ
ta đƣa các thẻ B vào máy quét,có các TH sau:
+)Nếu tất cả các mặt thẻ đều là màu vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở nhóm A
theo giả thiết quy nạp cần không quá n-1 bƣớc
=>cần không quá n bƣớc
+)ở TH còn lại,thì ta lại lật tất cả các mặt của thẻ
nếu tất cả các mặt cũng đều không vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở đây,theo giả
thiết quy nạp cần không quá n-2 bƣớc=>cần không quá n bƣớc
nếu tất cả các mặt đều vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở nhóm A và thẻ 1 mặt

đỏ 1 mặt vàng ở nhóm B,mà F_[n-1]<=2^(n-3)=>cần không quá n-1 bƣớc
=>cần không quá n-1
nhƣ vậy,trong tất cả TH chỉ cần dùng tối đa n bƣớc
=>(*) đúng,từ đó ta có đpcm
bài hình câu b:
Gọi KI cắt đƣờng tròn tâm (E) tại N'.
Dễ thấy: (KD,BC)=-1. Lắp tâm I, kéo xuống đƣờng tròn tâm E, ta suy ra:
(N'H,BC)=-1. Mặt khác, tiếp tuyến tại B,C của (E) cắt nhau tại F, suy ra F,N',H
thẳng hàng, hay ta suy ra N trùng N'.
Nhƣ vậy, từ những điều này, ta dễ dàng suy IN vuông góc NJ.
hay E là trung điểm của IJ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Vũng tàu

KỲ THI HSG QUỐC GIA
NĂM HỌC 2022 - 2023

Đề chính thức
Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Tên: TRƢƠNG QUANG AN
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 0353276871.
Bài 1 (4,0 điểm).
a) Xét các số thực a, b, c thay đổi trên đoạn [1;2] sao cho a2  b2  c2  6 . Tìm giá trị
 bc 2
ca 2
ab 2 


  ab  bc  ca
 ab bc ca 

lớn nhất của biểu thức P  4 

b) Tồn tại hay không đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa
mãn: P(1  3 3)  2 3 3  4 và P(2  6)  3  6
Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1; un1  un 

2 n
 với
un un4

mọi n nguyên dƣơng.
Chứng minh dãy số ( yn ) với yn 

un
n

(n nguyên dƣơng) có giới hạn hữu hạn. Tìm

giới hạn đó.
Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đƣờng tròn (O). Đƣờng
tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh BC,CA,AB lần lƣợt
tại D,E,F. H là hình chiếu vuông góc của D lên EF. Tia IH cắt đƣờng
tròn (O) tại K. Đƣờng tròn ngoại tiếp hai tam giác KBF,KCE cắt nhau
tại T khác K. Gọi M là trung điểm TD. Qua M kẻ tiếp tuyến MN của đƣờng
tròn (I) (N là tiếp điểm khác D).
a) Chứng minh T,E,F thẳng hàng và đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác NBC tiếp
xúc (I).
b) AN cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác NBC ở S khác N. Hai tiếp tuyến của
đƣờng tròn (I) kẻ từ S cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác NBC lần lƣợt tại P,Q.
Chứng minh hai đƣờng thẳng PQ và BC song song với nhau.
Bài 4 (2,0 điểm). Kí hiệu + là tập hợp các số thực dƣơng. Tìm tất cả hàm
số f : +  + sao cho với mọi số thực dƣơng x,y thì f ( x  f ( y))  yf (1  xy) .
Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dƣơng a và n cùng lớn hơn 1 sao
cho a n  1 chia hết cho n a .
Bài 6 (3,0 điểm). Hình vuông DABCD có độ dài cạnh là 2023 đƣợc chia
thành 20232 ô vuông đơn vị. Ta kí hiệu (m,n) là ô ở hàng thứ m và cột thứ n. Ngƣời
ta tô tất cả các ô vuông đơn vị bởi hai màu xanh, đỏ sao cho hai ô khác nhau đối
xứng qua đƣờng thẳng AC thì đƣợc tô khác màu. Gọi S là tập hợp các bộ ba
số m,n,p đôi một khác nhau (không phân biệt thứ tự); m,n,p∈{1;2;3;...;2023} sao
cho các ô (m,n), (n,p) và (p,m) có cùng màu. Kí hiệu |S| là số phần tử tập hợp S.
a) Tồn tại hay không cách tô màu sao cho ||S|=0?

b) Chứng minh rằng: | | S | 12  22  ...  10112
Cách 1:
+ Chứng minh f(x)>1 với mọi x<1, f(x)<1 với mọi x>1
+ Chứng minh f(x)=1/x với mọi x>1
+ Chứng minh f(x)=1/x với mọi x thuộc R+
Cách 2:
+ Chứng minh đơn ánh
+ Chứng minh f(1)=1
+ Tính 2 cách được f(f(x)/y + f(y))=f(1/y+f(xy))
+ Chứng minh được f(x)=a/x + b suy ra f(x)=1/x với mọi x thuộc R+