ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Bài 1. Kết quả rút gọn của biểu thức: P =
Bài 2. Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện:
,
;
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 3. Cho x

là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0. Với a, b là các

số hữu tỉ. Tìm a và b.
Bài 4: Cho

. Tính giá trị biểu thức

Bài 5. Phương trình x+3y =200 có bao nhiêu nghiệm tự nhiên?
Bài 6. Cho góc nhọn

có

. Tính

Bài 7. Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa
một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô
còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người
Bài 8. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 6cm, AC =
cm. Tính
chu vi và diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Tam giác ABC có góc A bằng 60, AB = 4cm, AC = 5cm. Tính BC và diện tích
tam giác ABC.
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HK, HE lần lượt là các
đường cao của các tam giác vuông HAB, HAC, biết BK = 8cm; CE = 27cm. Tính BC?
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Bài 11.
a. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
b. Giải hệ phương trình:
Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh:
b. Giả sử: HK =

KC AC 2  CB 2  BA2

KB CB 2  BA2  AC 2

1
AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
3

c. Giả sử SABC = 120 cm2 và

Hãy tính diện tích tam giác ADE?

Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các biểu thức:
a.
;
b.
Hết./.

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM

Phần I. Trắc nghiệm
Bài

Bài 1

P =0

Bài 2

M=2

Nội dung

Điểm
1đ
1đ
1đ

Bài 3
Bài 4
Bài 5

1đ

A=1

1đ

67 nghiệm tự nhiên

1đ

Bài 6
Bài 7
Bài 8
Bài 9
Bài 10

529 hs.

Chu vi tam giác ABC :
36cm2 ;

(cm) ; diện tích tam giác ABC là :

; Diện tịch tam giác ABC =

=

a)
Do x, y nguyên đương nên

1đ
1đ

Ta chứng minh :

Phần II. Tự luận
Bài

1đ
1đ

Nội dung

Điểm
3đ

do đó ta có 2 trường hợp

TH1:
TH2:

Bài 11

không có nghiệm nguyên dương

b) Giải: ĐK:
Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung

Từ (3) và (2) ta có x=y=1.

1đ

Từ (4) và (2) ta có

Kết luận : Hệ có 3 nghiệm.

 ;

 ;

A

D
E

H

B

Bài 12

K

C

Sử dụng định lý pytago:
AC 2  CB 2  BA2 AK 2  KC 2  ( BK  CK )2  AB 2

CB 2  BA2  AC 2 ( BK  CK )2  BA2  ( AK  KC ) 2

=

1đ

2

2CK  2 BK .CK 2CK (CK  BK ) CK


2 BK 2  2 BK .CK 2 BK ( BK  CK ) BK

b/ Ta có: tanB =

AK
AK
; tanC =
BK
CK

Nên: tanBtanC =

AK 2
(1)
BK .CK

KC
 HKC

Mặt khác ta có: B
mà: tanHKC =
KH

Nên tanB =

1đ

KC
KB
KB.KC
 tan B.tan C 
tương tự tanC =
(2)
KH
KH
KH 2

Từ (1)(2)  tan B.tan C 

2

Theo gt: HK =

 AK 


 KH 

2

1
AK  tan B.tan C 3
3

c. Ta chứng minh được: ABC và ADE đồng dạng vậy:
(3)
Mà BÂC = 600 nên 
ABD 300  AB = 2AD (4)

S ABC  AB 


S ADE  AD 

2

1đ

Từ (3) (4) ta có:

S ABC
4  S ADE 30(cm 2 )
S ADE

a)
Bài 13

Ta có điều kiện xác định của P:
* Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki ta có:

Dấu '=' xảy ra:
Thỏa mãn điều kiện
Vậy giá trị lớn nhất của P = 15.
* Ta có

2đ

(vì

)

Do
Suy ra:

(dấu “=” xảy ra khi x =

3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 9.
b.

1,0