PHÒNG GD &ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS ĐỒNG CƯƠNG

ĐỀ KHẢO SÁT THÁNG 11 CỦA LỚP 9A2.
MÔN. TOÁN 9
(Thời gian: 90 phút)

I. TRẮC NGHIỆM (2,0 ĐIỂM).
Viết vào bài thi chữ cái A, B, C hoặc D đứng trước đáp án đúng.
Câu 1. Biểu thức √ 5−3 x xác định khi và chỉ khi:
5

5
5
5
B. x > 3 .
C. x ≤ 3 .
D. x < 3 .
Câu 2. Hàm số bậc nhất y = (1 – m)x + 2m – 3 (với m là tham số, m≠ 1) tạo với trục Ox
một góc nhọn khi:

A. x ≥ 3 .

A. m < 1.

3

C. m> 2 .

B. m > 1.

3

D. m< 2 .

Câu 3. ∆ ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC = 10cm. Cạnh AB=5cm, thì độ dài
đường cao AH là:
A. 4cm

B. 4 √3 cm

C. 5 √ 3cm

5 3
D. √ cm.
2

Câu 4. Cho đường tròn (O; 8cm) và khoảng cách từ O đến dây AB là 6cm. Khi đó độ dài
dây AB bằng:
A. 2 √ 7 cm.

B. 4 √ 7 cm

C. √ 7cm.

D. 20cm.

II. TỰ LUẬN (8,0 ĐIỂM).
Câu 5 (1,0 điểm). a) Rút gọn biểu thức: A=√140−( √ 5− √ 7 )2
1

b) Giải phương trình: 2 √ x−1−√ 4 x −4+ 3=0

√ x − 10 √ x − 5
Câu 6 (1,5 điểm). Cho biểu thức: A=
(với x ≥ 0 ; x ≠ 25)
√ x−5 x−25 √ x+5
1
b) Tìm x để A< 3

a) Rút gọn biểu thức A.

{ ax−2 y=a

Câu 7 (1,5 điểm). Cho hệ phương trình −2 x + y =a+1
a) Giải hệ phương trình khi a = 2.
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất x – y = 1
Câu 8 (1,0 điểm). Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m, nếu tăng chiều dài thêm
3m, tăng chiều rộng thêm 5 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 m 2. Tính chiều dài
và chiều rộng ban đầu của mảnh đất.
Câu 9 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn ( O , R) có đường kính AB . Dựng dây AC = R và
tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn . Tia phân giác của góc BAC cắt OC tại M , cắt tia Bx
tại P và cắt nửa đường tròn tâm O tại Q
a) CMR: BP2 = PA . PQ
b) CMR: 4 điểm B,P, M, O cùng thuộc đường tròn tìm tâm
c) Đường thẳng AC cắt tia Bx tại K . Chứng minh: KP = 2 BP
1

------------------HẾT--------------ĐÁP ÁN + THANG ĐIỂM
I. TRẮC NGHIỆM (2,0 ĐIỂM).
Câu
1
2
3
Đáp án
C
A
D
Điểm
0,5
0,5
0,5
II. TỰ LUẬN (8,0 ĐIỂM).
Câu

5
(1,0đ)

a

b

6
(1,5 đ)

a

2

A=√140−( √ 5− √7 )
¿ 2 √ 35−5+2 √ 35−7
¿ 4 √35−12
Vậy A=4 √35−12

Nội dung

4
B
0,5
Điểm

0,5

ĐK: x ≥ 1

1
√ x−1−√ 4 x −4+ 3=0
2
1
↔ √ x−1−2 √ x−1+3=0
2
−3
↔
√ x −1+ 3=0
2
↔ √ x−1=2
↔ x−1=4
↔ x=5 (TM)

0,5

Vậy tập nghệm của phương trình là S = {5}
Với x ≥ 0 ; x ≠ 25, ta có:

√ x − 10 √ x − 5
√ x−5 x−25 √ x+5
x
10 √ x
5
¿ √ −
−
√ x−5 ( √ x−5 ) ( √ x+ 5 ) √ x +5
A=

¿

√ x ( √ x +5 )−10 √ x −5 ( √ x−5 )
( √ x−5 )( √ x +5 )

¿

x+5 √ x−10 √ x −5 √ x +25
( √ x−5 ) ( √ x+5 )

¿

x−10 √ x +25
( √ x−5 ) ( √ x +5 )

0,25

0,25

2

( √ x−5 )
√ x−5
¿
=
( √ x−5 ) ( √ x +5 ) √ x+ 5

0,25

√ x−5
Vậy A=
(với x ≥ 0 ; x ≠ 25)
√ x +5
b

1
x−5 1
↔√
<
3
√ x +5 3
x−5 1
↔√
− <0
√ x +5 3
A<

2

0,25

3 √ x−15− √ x−5
<0
3 ( √ x+5 )
2 x −20
↔ √
< 0 (Vì x ≥ 0=¿ √ x +5> 0)
3 ( √ x+ 5 )
=> 2 √ x−20<0
↔ 2 √ x <20
↔ x<10 0
x≥0
0≤ x <100
x
Kết hợp: ≠ 25 =¿ x ≠ 25
x<100
1
0 ≤ x <100
Vậy x ≠25 thì A< 3
a x−2 y=a
−2 x + y =a+1
↔

7
(1,5 đ)

a

{

{

{

0,5

{

Với a = 2, hệ phương trình đã cho trở thành hệ phương trình:

y=2 ↔ x− y=1 ↔ x− y=1
{−22 x−2
x + y =2+ 1 {−2 x+ y=3 { −x=4
↔ {−4− y=1 ↔ { y=−5
x =−4
x=−4

b

Vậy với a = 2, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
(x; y) = (-4; -5)

0,75

y=a ↔
ax−2 y=a
{−2ax−2
{
x + y =a+1
−4 x +2 y=2 a+2
↔ −2 x + y =a+1 (*)
{(a−4) x=3 a+2

Đề hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
<=> phương trình (a−4 ) x=3 a+2 có nghiệm duy nhất
<=> a−4 ≠0 ↔ a ≠ 4
Vậy a ≠ 4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

{

−2 x + y=a+ 1
↔
3 a+2 ↔
(*)
x=
a−4

↔

{

{
{

−2 ( 3 a+2 )
+ y=a+1
a−4
3 a+2
x=
a−4

2
2 ( 3 a+ 2 )
a +3 a
y=
a−4 ↔
a−4
3 a+2
3 a+2
x=
x=
a−4
a−4

y =a+1+

Ta có: x – y = 1
2

3 a+ 2 a +3 a
↔
−
=1
a−4
a−4
2
↔ 3 a+2−a −3 a=a−4
2
↔ a +a−6=0
2
↔ a +3 a−2 a−6=0
↔ a( a+3)−2(a+ 3)=0
↔(a+ 3)( a−2)=0
a+3=0
a=−3
=> a−2=0 ↔ a=2 (TM a ≠ 4 )

[

[

Vậy a = - 3; a = 2 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy
3

0,75

nhất thỏa mãn x – y = 1.
Nửa chu vi của hình chữ nhật là 80:2 = 40m.
Gọi Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x(m) (ĐK: 0 < x
< 40).
=> Chiều rộng của hình chữ nhật là 40 – x (m).
Khi đó diện tích của hình chữ nhật là x(40 - x) (m2)
Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5 m thì diện
tích của mảnh đất tăng thêm 195 m2, ta có phương trình:
(x + 3)(40 – x +5) = x(40 - x) + 195
<=> (x + 3)(45 – x) = x(40 - x) + 195
<=> 45x – x2 + 135 – 3x = 40x – x2 + 195
<=> 2x = 60
<=> x = 30 (TM)
Vậy mảnh đát hình chữ nhật ban đầu có chiều dài 30m và chiều
rộng 40 – 30 = 10m.

8
(1,0 đ)

9
(3,0 đ)

a

b

BP2 = PA . PQ
0
Ta có: ^
AQB=90 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))
=> BQ ⊥ AP tại Q
=> BQ là đường cao của ∆ ABP
Mà Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B
=> ∆ ABP vuông tại B
=> BP2 = PQ . PA (Hệ thức giữa cạnh và đường cao)
hay BP2 = PA . PQ
4 điểm B,P, M, O cùng thuộc đường tròn tìm tâm
Gọi I là trung điểm của OP
Xét ∆ AOC có AO = AC = CO = R
^
=> ∆ AOC là tam giác đều có AM là phân giác của CAB
=> AM là đường cao của ∆ AOC
=> AM ⊥ CO tại M
4

0,25

0,25

0,25
0,25

1,0

0
^
=> OMP=90
=> ∆ OMP vuông tại M có MI là đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền OP
=> IM = IO = IP (1)
∆ OBP vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền OP
=> IB = IO = IP (2)
Từ (1) và (2) => IM = IO = IB = IP

1,0

OP

c

=> 4 điểm cùng nằm trên đường tròn (I; 2 )
Vì ∆ AOC là tam giác đều
0
0
^
=> OAC=60
=> ^
BAK =60 (O ∈ AB; C ∈ AK)
0
=> ^
AKB=30 (∆ ABK vuông tại B)
0
=> ^
AKP=30
^
Mà AM là phân giác của CAB
^
=> AP là phân giác của CAB
0
=> ^
KAP=30
0
Xét ∆ AKP có ^
AKP=^
KAP=30
=> ∆ AKP cân tại P
=> AP = PK (3)
0
Xét ∆ APB vuông tại B có ^
PAB=30
=> ∆ APB là nửa của tam giác đều
1
=> BP= 2 AP => AP = 2BP (4)

Từ (3) và (4) => PK = 2BP (ĐPCM)

5

1,0