TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
∫dx = x + C
(1)

∫kdx = kx + C

∫xndx =

(2)

+C

(3)

∫(ax + b)ndx =

+C

(4)

∫

dx = ln |x| + C

(5)

∫

dx = (1/a) ln|ax + b| + C

(6)

∫

+C

(7)

∫

+C

(8)

∫sin xdx = –cos x + C (9)

∫sin(ax + b)dx = – cos(ax + b) + C (10)

∫cos xdx = sin x + C (11)

∫cos(ax + b)dx =

∫

= tan x + C

(13)

∫

∫

= –cot x + C (15)

∫

∫exdx = ex + C
∫axdx = ax/ln a + C

(17)
(19)

sin(ax + b) + C
+C

(12)
(14)

+C

∫eax + b dx = (1/a)eax + b + C

(16)
(18)

TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ ĐẶC BIỆT

Dạng 1. Nếu f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên R thì
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên R thì

với b > 0

Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên [0, 1] thì
Câu 1. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. Tính I = F(2) – F(1)
A. 6
B. 12
C. 3
D. 4
Câu 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f '(x) = 3x² – 6x. Tính I = f(2) – f(0)
A. I = –2
B. I = 4
C. I = 8
D. I = –4
Câu 3. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin (x/2). Tính F(2023π) – F(–2π)
A. 2
B. 2023
C. 4048
D. –2
Câu 4. Cho hàm số F(x) có đạo hàm F'(x) = cos x. Biết F(2022π) – F(a) = 1/2. Giá trị của a có thể là
A. a = –π/3
B. a = –π/6
C. a = π/6
D. a = π/3
Câu 5. Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x. Biết F(b) – F(a) = 1. Chọn hệ thức đúng
A. a² = b² + 1
B. a² = –b² – 1
C. a² = 1 – b²
D. a² = b² – 1
Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ.
y
f '(x)
O
–2

x

1
4

Biết diện tích hình phẳng tạo bởi y = f '(x) với trục Ox có hai phần; phần S 1 trên [–2; 1] và phần S2 trên [1;
4] có diện tích lần lượt là 3 và 5. Tính giá trị của biểu thức f(–2) – f(4)
A. 4
B. 2
C. 8
D. 15
Câu 7. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = 3x, y = 0, x = 0, x = 1
A. 1
B. 3
C. 3/2
D. 4
Câu 8. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x ln (x² + 1). Nếu F(0) = 0 thì F(e) thuộc khoảng
A. (1; 5)
B. (5; 10)
C. (10; 15)
D. (15; 20)

Câu 9. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 3x; y = 0; x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox
A. V = 12π
B. V = 24π
C. V = 36π
D. V = 6π
Câu 10. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (0; +∞) thỏa mãn f(3) = 3 và x f '(2x) – f(2x) = x³ với mọi số thực
x > 0. Khi đó I =

có giá trị là

A. I = 51

B. I = 65

Câu 11. Cho tích phân I =
A. 0

C. I = 67

D. I = 73

= a + b ln 2 + c ln 3; với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc là
B. 2

Câu 12. Cho tích phân I =

C. –1

D. –2

= ln a. Giá trị a là

A. 0
B. 2/3
C. 2
D. 4/3
Câu 13. Cho F(x) có đạo hàm F'(x) = x ln x và F(1) = 0. Biết F(e) = ae² + be + c với a, b, c là các số hữu tỉ.
Tính 2a – 2c
A. 1
B. –1
C. 3
D. –3
Câu 14. Cho hàm số y = F(x) có F(2) – F(0) = 1. Giá trị của biểu thức I =
A. 2

B. –2

C. 1

là
D. –1

Câu 15. Tính tích phân I =
A. I = (1 – 2203)/203 B. I = 203(2203 – 1) C. I = (2203 – 1)/203 D. (2203 + 1)/203
Câu 16. Cho dòng điện xoay chiều i = 2cos (100πt) (A) chạy qua điện trở R = 1 (Ω). Biết công suất tỏa nhiệt
trên điện trở là P = i²R. Công của dòng điện trong một chu kì là
A. 0,04 J
B. 0,08 J
C. 0,01 J
D. 0,02 J
Câu 17. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + x202) sin x. Tính F(π) – F(–π)
A. 2π
B. 4π
C. 2π + π203
D. 4π + 2π203
Câu 18. Cho hai số thực a, b thỏa mãn 2a + 3b = 8 và
ab

A. P = 2
B. P = –2
Câu 19. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi y =
khi quay hình (H) quanh trục Ox
A. V = 54π
B. V = 27π

= 6. Tính giá trị của biểu thức P =

C. P = –4
D. P = 4
; y = 0. Tính thể tích hình khối tròn xoay tạo thành
C. V = 18π

D. V = 36π

C. I = 10–6

D. I = 2.10–6

Câu 20. Tính tích phân I =
A. I = 1/1000

B. I = 1/500

Câu 21. Tính I =
A. 2023e – 2023
B. 2023e
C. 4046e – 2023
D. 2023
Câu 22. Biết đồ thị hàm số bậc ba f(x) = ax³ + bx² + cx – 2 và parabol g(x) = dx² + ex + 4 cắt nhau tại 3 dpb
có hoành độ là –3; –1; 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó
A. 12
B. 8
C. 16
D. 20
Câu 23. Tính tích phân I =
A. 10100/99 – 1098

B. 10100/99 + 1098

C. 1099/98 – 1097

D. 1099/98 + 1097

Câu 24. Cho hàm số F(x) = 2ex + x² là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính I =

A. e² + 2
B. e² + 6
C. 2e² + 6
D. 2e² + 2
x
Câu 25. Gọi D là hình phẳng giới hạn bới các đường y = e , y = 0, x = 0 và x = 1. Thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng
A. V = e²/2
B. V = πe²/2
C. V = π(e² – 1)/2
D. V = π(e² + 1)/2
Câu 26. Biết
A. 5

= 5. Tính
B. 6

Câu 27. Cho
A. 4

C. 3

D. 4

. Tính giá trị của biểu thức
B. 7

C. 3

D. 5

Câu 28. Cho F(x) = sin² x là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Câu 29. Cho hàm số y = g(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn f(0) = 3 và (2x + 3)g'(x) + 2g(x)
= 4x – 3x² với mọi số thực x. Tính f(2)
A. 1
B. 9/7
C. 1/5
D. 1/7
Câu 30. Cho F(x) = x²ex là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính tích phân I =
A. 4e – 1
B. 2e²
C. 4e²
D. 2e – 1
Câu 31. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x² – 2 và y = 3x – 2 là
A. 9/2
B. 3/2
C. 9/4
D. 13/4
Câu 32. Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) = x² + a (a là tham số thực dương) và y =
g(x) = 3x/2. Biết hai đồ thị hàm số cắt nhau như hình vẽ với diện tích S 1 = S2. Giá f(x)
trị của a thuộc khoảng nào sau đây?
A. (1/2; 9/16)
S1
B. (2/5; 9/20)
C. (9/20; 1/2)
D. (0; 2/5)
g(x)
Câu 33. Cho hai hàm số sinh (x) = (e x – e–x)/2 và cosh (x) = (ex + e–x)/2. Cho tích
phân I =

S2
x

, nếu đặt x = sinh (t) thì I = a sinh–1(1) + b sinh (2 sinh–1(1)) với a, b là các số hữu tỉ.

Giá trị a + 2b là
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Câu 34. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của f '(x) cắt trục hoành tại 3 điểm
có hoành độ lần lượt là –1; 1; 3 như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi f '(x) và trục hoành được tính bằng
A. S = f(1) – f(–1) – f(3)
–1
B. S = f(–1) + f(3) – f(1)
C. S = 2f(1) – f(–1) – f(3)
D. S = f(–1) + f(3) – 2f(1)
f '(x)

y

1

3
x

Câu 35. Cho hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(3) – F(–2) = 10. Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm
số g(x) = f(3 – 5x). Tính giá trị của biểu thức I = G(1) – G(0)
A. 2
B. –2
C. 50
D. –10
Câu 36. Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) = 2x² + a (a là tham số thực dương) và y =
g(x) = 3x cắt nhau như hình vẽ. Biết S 1, S2 là diện tích các vùng gạch sọc và gạch f(x)
chéo. Nếu S1 = S2 thì giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây?
S2
A. (4/5; 9/10)
S1
B. (0; 4/5)
x
C. (1; 9/8)
g(x)
D. (9/10; 1)

Câu 37. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn [f '(x)]² + f(x) f ″(x) = x³ – 2x với mọi số thực x.
Biết f(0) = f '(0) = 2. Tính giá trị của biểu thức T = [f(2)]²
A. 4/15
B. 160/15
C. 268/15
D. 134/15
Câu 38. Cho đường thẳng y = x và parabol y = x²/2 + a (a là tham số thực
dương) cắt nhau như hình vẽ. Các vùng gạch dọc và gạch chéo có cùng diện f(x)
tích. Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây?
A. (3/7; 1/2)
S2
S1
B. (0; 1/3)
C. (1/3; 2/5)
x
D. (2/5; 3/7)
g(x)
Câu 39. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v = −5t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2 m.
B. 2,0 m.
C. 10 m.
D. 20 m.
Câu 40. Tìm m sao cho đường thẳng d: y = 3x + m cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt và diện tích
hình phẳng tạo bởi hai đồ thị là S = 1/6.
A. m = 2
B. m = 4
C. m = 0
D. m = –2
Câu 41. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A 1, A2, B1, B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để
sơn phần elip nằm giữa hai đường thẳng MQ và NP là 200 000 đồng/m²; chi phí phần còn lại là 100 000
đồng/m². Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới
B1
M
N
đây, biết A1A2 = 8m, B1B2 = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có
MQ = 3 m.
A1
A2
A. 7 322 000 đồng
B. 7 213 000 đồng
C. 5 526 000 đồng
P
Q
B2
D. 5 782 000 đồng
Câu 42. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h)
v
I
phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên.
9
Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ
thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật
chuyển động trong 4 giờ đó.
A. 26,5 km
B. 28,5 km
0
C. 27 km
t
2 3 4
D. 24 km
Câu 43. ột vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ huộc thời gian t
(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi
bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và
trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian 2 giờ còn lại đồ thị là
một đoạn thẳng song song với trục hoành. Quãng đường s mà vật di chuyển được
trong 3 giờ đó có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 23,25 km
B. 21,58 km
C. 15,50 km
D. 13,83 km

9

v

I

4
0

1

2

3

t