Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006 –
2007
Môn: Toán 9
(Thời gian: 120 phút – không kể giao
đề)

Bài 1.(3đ) Thu gọn các biểu thức:
a)
b)
c)

.

Bài 3.(4đ)
1. Chứng minh
2. Cho
Chứng minh:
.
Dấu bằng xảy ra khi x,y,z bằng bao nhiêu?
Bài 3.(4đ) Giải hệ phương trình và phương trình:

a)

b)

Bài 4.(2đ) Cho phương trình :
có các hệ số a,b,c là các số
nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy
không thể là số hữu tỉ.
Bài 5.(4đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một
điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O), (M khác A và B). Vẽ đường tròn
tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường
tròn tâm M lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh ba điểm M,C,D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O)
tại M.
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh

Sir 1

Toán Thầy Tuấn

Bài 6.(4đ) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có
. Đường
tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN vuông
góc OC và

.
-----  HẾT  -----

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.(3đ) Thu gọn các biểu thức:
a)
c)

b)
.
Lời giải

a)
b)

c)

Bài 3.(4đ)
1. Chứng minh
2. Cho
Chứng minh:
.
Dấu bằng xảy ra khi x,y,z bằng bao nhiêu?
Lời giải
1)
(luôn đúng)
Vậy

Sir 3

Toán Thầy Tuấn

2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số dương (1,1,1) và
ta được:

Bài 3.(4đ) Giải hệ phương trình và phương trình:

a)

b)
Lời giải

a)
Cộng hai vế của 3 phương trình ta được:

Lấy (4) trừ (1), ta được:
Lấy (4) trừ (2), ta được:

Lấy (4) trừ (3), ta được:

b)

ĐK:

Sir 4

Toán Thầy Tuấn

Vậy

.

Bài 4.(2đ) Cho phương trình :
có các hệ số a,b,c là các số
nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy
không thể là số hữu tỉ.
Lời giải
Do a, b, c là 3 số nguyên lẻ nên ta đặt:

với

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì:
chính phương lẻ (do b lẻ và 4ac là số chẵn).

phải là số

điều này vô lí vì vế trái là số chia hết cho 8
còn vế phải không chia hết cho 8.
Bài 5.(4đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Gọi M là một
điểm chuyển động trên nửa đường tròn (O), (M khác A và B). Vẽ đường tròn
tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường
tròn tâm M lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh ba điểm M,C,D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O)
tại M.
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh
Lời giải
a) Chứng minh ba điểm M,C,D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O)
tại M.
* Ta có
Mà

và

(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
(góc nội tiếp chắn nửa (O))

D
M

C

Sir 5

Toán Thầy Tuấn

* Ta có:

thẳng hàng.
và

(t/c tiếp tuyến)

ACDB là hình thang vuông.
Mà M là trung điểm của CD (M là tâm)
Và O là trung điểm của AB (O là tâm)
là đường trung bình của hình thang ACDB.
tại
Vậy CD là tiếp tuyến cua (O). Hay C, M, D nằm trên tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Tính tích số AC.BD theo CD.
* Ta có:

(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
(không đổi)

và
Lại có:

D
M

(vì

C

là bán kính của (M))

K
A

H

O

B

c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh
* Xét

và

, ta có:

chung.

Bài 6.(4đ) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có
. Đường
tròn đường kính AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN vuông
góc OC và

.
Lời giải

* Kẻ tiếp tuyến Cx của (O) tại C.
(1)
Sir 6

Toán Thầy Tuấn

* Ta có:

(cùng chắn cung BC của (O))

và

( do tứ giác

A

nội tiếp)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

M

(2)

O

Từ (1) và (2) suy ra:
* Xét

và

, ta có:

B

C

N

chung.
x

(cmt)

(3)
* Ta có

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vuông tại N.
(4)

Từ (3) và (4) suy ra:

-----  HẾT  -----

Sir 7