Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2008 –
2009
Môn: Toán 9
(Thời gian: 120 phút – không kể
giao đề)

Bài 1.(4đ) Thu gọn các biểu thức:

a)

.

b)

với

.

Bài 2.(4đ) Cho phương trình
a) Định
để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

.

Bài 3.(3đ) Giải các phương trình:
a)

.

b)

.

Bài 4.(3đ)
a) Với

là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số:

và

.
b) Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh :
Bài 5.(3đ) Cho hai đường tròn

và

.

cắt nhau tại 2 điểm A và B. Qua

A kẻ đường thẳng
cắt
tại M và cắt
tại N. Chứng minh đường
trung trực của đoạn MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng
thay đổi.
Bài 6.(3đ) Cho đường tròn

đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M

thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn
với C là tiếp điểm.
Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.
a) Có nhận xét gì về tứ giác OMNB ?
b) Trực tâm H của MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên
Ax?
-----  HẾT  -----

Sir 1

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.(4đ) Thu gọn các biểu thức:

a)

.

b)

với

.

với

.

Lời giải

a)

b)

Bài 2.(4đ) Cho phương trình
a) Định
để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

.

Lời giải
a) Định
để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Pt có hai nghiệm trái dấu
Xét dấu ta được:

hoặc

b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

✔ TH1:
Ta có pt:
✔ TH2: Pt có hai nghiệm trái dấu thì
✔ TH3:

hoặc

Ta có:

Pt có hai nghiệm p/b
Để pt có hai nghiệm âm:

(vì
Pt có hai nghiệm âm khi
Tổng hợp 3 TH thì pt có ít nhất một nghiệm âm nếu
Bài 3.(3đ) Giải các phương trình:
a)

.

b)

.

Lời giải
a)
Đặt

.

Ta có pt:
✔ TH1:
✔ TH2:
Vậy pt đã cho có hai nghiệm:

Sir 3

Toán Thầy Tuấn

b)

. Đk:

Đặt

.

Ta có pt:
✔ TH1:

✔ TH2:
Với

thì

, do đó pt vô nghiệm.

Vậy pt đã cho có hai nghiệm

Bài 4.(3đ)
a) Với

là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số:

và

.
b) Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh :

.

Lời giải
a) Với

là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số:

và

.
Đặt UCLN(

;

Vậy UCLN(

;

b) Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh :

.

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương ta có:

Sir 4

Toán Thầy Tuấn

Cộng theo vế các bpt trên ta có:

Bài 5.(3đ) Cho hai đường tròn

và

cắt nhau tại 2 điểm A và B. Qua

A kẻ đường thẳng
cắt
tại M và cắt
tại N. Chứng minh đường
trung trực của đoạn MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng
thay đổi.
Lời giải
N
A
d

I

M

O'

O
C

B

K

D

* Kẻ đường kính AC và AD của hai đường tròn (O) và
cố định.
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của trung trực của MN với MN và CD.
là trung điểm của MN.
* Ta có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(cùng vuông với MN)
* Xét hình thang CMND, ta có:
là trung điểm của MN.
là trung điểm của CD (cố định)
Bài 6.(3đ) Cho đường tròn

đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M

thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn
Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.

với C là tiếp điểm.

Sir 5

Toán Thầy Tuấn

a) Có nhận xét gì về tứ giác OMNB ?
b) Trực tâm H của MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên
Ax?
Lời giải
a) Có nhận xét gì về tứ giác OMNB ?
* Ta có:
(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
là trung trực của AC.
Mà

(do

- góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(cùng vuông với AC)
* Xét

(đồng vị)
và
có:

x

N

M
H

(cmt)
A

Mà

O

B

(cmt)
là hình bình hành.

b) Trực tâm H của
Ax?
* Ta có:

* Mà

C

MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên

(cùng vuông với MC)
(cùng vuông với MA)
là hình bình hành.
, nên
là hình thoi.
.

Vì A cố định, mà

cố định, nên H luôn di động trên đường tròn

.

-----  HẾT  -----

Sir 6