Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2009 – 2010
Môn: Toán 9
(Thời gian: 120 phút – không kể giao đề)

Bài 1.(4đ) Thu gọn các biểu thức
a)

.

b)

với

.

Bài 2.(4đ) Cho phương trình
a) Định m đề phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có nghiệm.
Bài 3.(3đ) Giải các phương trình sau:
a)

.

b)

.

Bài 4.(2đ)
a) Cmr không có số nguyên x, y, z nào thỏa mãn:
b) Cho x, y, z

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Bài 5.(4đ) Cho
cân tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính R với
.
Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A;R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng HM cắt đường
tròn (A;R) tại điểm thứ nhì là N.
a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A).

Bài 6.(3đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại I. Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác
EFGH ngoại tiếp một đường tròn.
-----  HẾT  -----

Sir 1

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.(4đ) Thu gọn các biểu thức
Lời giải
a)

.

b)

với

.

Bài 2.(4đ) Cho phương trình
Lời giải
a) Định m đề phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Để pt có hai nghiệm trái dấu thì
hoặc
b) Định m để phương trình có nghiệm.
✔ TH1:
Ta có pt:
✔ TH2:

(N)

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

Pt có nghiệm khi

Vậy với

(vì
thì pt có nghiệm.

)

Bài 3.(3đ)
Lời giải
a)

. Đk:

Vậy nghiệm của pt là:

b)
. Đk:
.
Áp dụng bđt Cauchy cho hai số không âm ta có:
.
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy pt đã cho vô nghiệm.
Bài 4.(2đ)

(vô nghiệm).

Lời giải
a) Cmr không có số nguyên x, y, z nào thỏa mãn:
*
*

.

là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1.
,
chia cho 8 dư 2 hoặc dư 0 (tùy z chẵn hay lẻ)
chia cho 8 dư 5 hoặc dư 7.
Sir 3

Toán Thầy Tuấn

Do đó hai vế không thể bằng nhau. Vây không tồn tại số nguyên x, y, z thỏa ycbt.
b) Cho x, y, z

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Áp dụng bđt Cauchy cho hai số dương

và

ta được:

Tương tự:

(vì

)

Vậy
Bài 5.(4đ) Cho
cân tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính R với
.
Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A;R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng HM cắt đường
tròn (A;R) tại điểm thứ nhì là N.
Lời giải
a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
* Ta có:

cân tại A (

)

A

(1)
* Ta có:

M

(BM là tiếp tuyến)

(AH là đường cao)
Tứ giác AMBH nội tiếp.

N

(cùng chắn cung AH) (2)
Mà

(vì

Từ (1), (2), (3) suy ra
* Xét
và

cân)

(3)

B

H

C

có:

Sir 4

Toán Thầy Tuấn

(cmt)
(cmt)
(g.g)
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A).
* Xét tứ giác ANHC, có:
nội tiếp.

(cmt)

(cùng chắn cung AC)
tại N thuộc (A,R)
là tiếp tuyến của (A,R).
Bài 6.(3đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại I. Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác
EFGH ngoại tiếp một đường tròn.
Lời giải
✔ TH1: Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABCD nằm trong tứ giác ABCD.
Vẽ

tại M,

tại N,

tại P,

tại Q.

A

Tứ giác AEIH có
Nên tứ giác AEIH nội tiếp.

.

Q

E

F
O

.

Nên tứ giác EBFI nội tiếp
Mà
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của
đường tròn (O))

M

H
P

Tứ giác EBFI có

B

D

G

N

C

Do vậy
Suy ra
Chứng minh tương tự cũng có:
Vậy

. Do đó I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác EFGH.

✔ TH2: Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABCD nằm ngoài tứ giác ABCD hoặc nằm trên một
cạnh của tứ giác ABCD thì EFGH không phải tứ giác lồi, nên bài toán không có lời giải.

Sir 5

Toán Thầy Tuấn

F
A
D

H E

B

A≡H

B≡F

E
I

G

C

D

G O

C

-----  HẾT  -----

Sir 6