TÓM TẮT TOÁN 9
CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA

1) Căn bậc hai
* Căn bậc hai số học của số thực a

0 , kí hiệu

là số x

* a > 0 , có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

và -

0 mà x2 = a .

. Ta có

=a

* Căn bậc hai của 0 là 0 ;* Với a > 0 ; b > 0 ta có : a > b
*

xác định ( có nghĩa )  A

*

có nghĩa ( xác định )  B

*
*
*

;

0

*

có nghĩa ( xác định )  B > 0

và A

0

;*

( với A
( với A

);

);

( Với B
Với AB

( Với B > 0 ) ;

*

( Với A

;A≠B)

*
( Với A 0 )
2
2
2
* A - 2AB + B = ( A – B ) ; A – 2
 + B = (
( Với A
2
2
* A – B = ( A – B )( A + B ) ; A – B =
* A3 - B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) ;
* ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 ; (
)2 = A + 2B
+ B2 ( Với A
* x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 – 2x1x2 ; x13 + x32 = ( x1 + x2 )3 – 3x1x2(x1 + x2 ) .
*( x1 - x2 )2 = x12 + x22 - 2x1x2 
*

( A  0 ) ; A – 1 =

*
*
*

0)

( Với A

;A≠B)

( Với mọi số tự nhiên n )

*

(Với A

* Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ :
1) Bình phương của một tổng : ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2) Bình phương của một hiệu : ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3) Hiệu các bình phương :
A2 – B2 = ( A – B )( A + B )
1

;A≠B)

)

0)

4)Lập phương của một tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
4)Lập phương của một tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5)Lập phương của một hiệu : ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6) Tổng các lập phưong :
A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2 )
7) Hiệu các lập phưong :
A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 )
Chương 2+3 HÀM SỐ BẬC NHẤT,HỆ PT BẬC NHẤT HAI ẨN
I/ Hàm số
xác định với mọi giá trị của x
II/ Tính chất: Hàm số đồng biến trên R khi a >0 . Nghịch biến trên R khi a < 0
III/Với hai đường thẳng
(d)
và
(d') ta có:
1/ (d) và (d') song song với nhau
2/ (d) và (d') trùng nhau
3/ (d) và (d') cắt nhau
4/ (d) cắt (d') tại một điểm trên trục tung
5/Muèn t×m to¹ ®é ®iÓm chung cña ®å thÞ hµm sè y=f(x) vµ y=g(x) ta t×m nghiÖm cña hÖ ph¬ng
tr×nh:
6/Hệ phương trình tương đương :
* Hai hệ phương trình tương đương gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng một
tập nghiệm
7/Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
*(d1) cắt (d2)  Hệ (I ) có nghiệm duy nhất
*(d1) song song với (d2)  Hệ ( I ) vô nghiệm
*(d1) trùng với (d2)  Hệ ( I ) vô số nghiệm

Chương 4 HÀM SỐ y = ax2 ( a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Hàm số
- Với a >0 Hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
- Với a< 0 Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
*Đồ thị của hàm của hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 ) là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O .
* Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị .
* Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị .
2. Phương trình bậc hai
2

 = b2 – 4ac
' = b'2 – ac ( b = 2b')
 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân ' > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
biệt.
;
;
 = 0

P.trình có nghiệm kép

P.trình có nghiệm kép x1 x 2 

' = 0

b'
a

 < 0 Phương trình vô nghiệm
' < 0 Phương trình vô nghiệm
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Nếu x1 và x2 là nghiệm của Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, u.v = P,
phươngtrình
thì ta giải phương trình x2 – Sx + P = 0
( điều kiện để có u và v là S2 – 4P 0 )
Nếu tam thức bậc hai
có hai
nghiệm :
thì
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai
có hai nghiệm :
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình bậc hai
có hai nghiệm :
* Nếu a.c<0 thì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

Cách chứng minh phương trình bậc hai
1/ cm pt luôn có nghiệm ta cm
. Pt có nghiệm kép Δ' hoặc
nghiệm
Δ' hoặc
.
2/ pt có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
3./ Có hai nghiệm dương là : Δ hoặc Δ' 0 , P > 0 và S > 0 ;
4/.Có hai nghiệm âm
là : Δ hoặc Δ' 0 , P > 0 và S < 0 ;
5/Có hai nghiệm trái dấu là : Δ hoặc Δ' > 0 ; P < 0
6. pt có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

hoặc Δ' cũng được
3

. Phương trình vô

7. pt có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

hoặc Δ'cũng được

5/ pt có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi

hoặc Δ' cũng được

6/ pt có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

hoặc Δ'

cũng được

7/ pt có hai nghiệm nghịch đảo của nhau khi và chỉ khi

hoặc Δ' cũng được

8/MỞ RỘNG
8.1) Công thức tính khoảng cách d giữa hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là
d = AB =
8.2)

; *

;

(A>0;B>0)

9)VÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®êng th¼ng (D) y=mx+n vµ parabol (P) y= ax2
Hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D)vµ (P) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
f(x)= g(x)
mx+n = ax2
ax2 –mx-n=0 (I).ph¬ng tr×nh(I) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai.
+,(D) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung ph¬ng tr×nh(I).v« nghiÖm
Δ' hoặc
+,D) tiÕp xóc (P)
ph¬ng tr×nh(I).cã mét nghiÖm
Δ' hoặc
+D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph¬ng tr×nh(I).cã hai nghiÖm
Δ' hoặc
HÌNH HỌC
Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I/ Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
1) b2 = a.b' (AC2 = BC.HC)
A
c2 = a.c' (AB2 = BC.BH)
2) h2 = b'.c' (AH2 = BH.HC)
c
h
3) h.a = b.c (AH.BC = AB.AC)
B
(Đlí Py ta go)

II/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sinα=
cosα=

b'

c'

4)
5)

b

Cạnh đối
Cạnh huyền
Cạnh kề

=

AC
BC
AB

=
Cạnh huyền BC
III/ Một
số tính
chất của tỷ
Cạnh
đối AC
tanα=
=
Cho Cạnh
hai góc
và
kề nhọn
AB
Cạnh kề AB
cotα=
=
B
Cạnh đối AC

C
Cạnh huyền
số lượng giác
phụ αnhau
Cạnh kề
4

Cạnh đối

, khi đó:
A

H

a

C

sin = cos
cos = sin
VD:
Cho góc nhọn . Ta có:
sin2

+ cos2

= 1;

tan

= cot

cot

0 < sin < 1

= tan

0 < cos < 1

;

;

;

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN
1)Định nghĩa và sự xác định đường tròn:
a) Định nghĩa : Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng R là
đường tròn tâm O, bán kính R . Kí hiệu : đường tròn ( O; R ) hay đường tròn ( O ) .
b) Vị trí của một điểm đối với đường tròn :
* Điểm M nằm trên đường tròn ( O ; R )  OM = R .
* Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R )  OM > R .
* Điểm M nằm trong đường tròn ( O ; R )  OM < R .
c) So sánh độ dài dây và đường kính :
* Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn .
d) Sự xác định của đường tròn:
* Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn )
* Tâm của đường tròn ngoại tiếp t/g là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác .
2) Tính chất đối xứng của đường tròn :
M
A

B

I
O

a) Liên hệ giữa đường kính và dây cung:
*Định lí : Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó
(Đường tròn ( O ) có OM ⊥ AB tại I  I là trung điểm của AB ).
*Định lí đảo : đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không là đường
kính ) thì vuông góc với dây đó . (Đường tròn ( O ) có OM cắt AB tại I và I là
trung điểm của dây AB  OM ⊥ AB tại I )
b) Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm :

N

* Định lí : Trong một đường tròn :
B
I
A

O

C
K

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm (Đường tròn ( O )có AB = CD, OI
⊥AB tạiI, OK ⊥CD tại K  OI = OK )
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
(Đ. Tròn (O) có OI ⊥AB tại I, OK⊥CD tại K, OI = OK  AB = CD)
+ Dây lớn hơn thì gần tâm hơn ;+ Dây gần tâm hơn thì lớn hơn .

D

2)Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :
Ghi chú : d = OH là khoảng cách từ tâm đ. tròn ( O, R ) đến đ .thẳng a
O

d
a

5

*Đường thẳng và đường tròn không giao nhau :
- Số điểm chung : 0 ; - Hệ thức : d > R

H
O
D
H

*Đường thẳng và đường tròn cắt nhau :
- Số điểm chung : 0 ;
- Hệ thức : d < R
+Trường hợp này đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn ( O, R )
a

* Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc :
- Số điểm chung : 1 ;
- Hệ thức : d = R
+ Trường hợp này đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn ( O ;

O
d

R)

H

a

và H gọi là tiếp điểm

* Định lí 1:( t/c của tt ) Nếu một đ.thẳng là tiếp tuyến của đ. tròn thì nó vuông góc với b.kính đi
qua t. điểm (Nếu a là tiếp tuyến của đ. tròn tâm O và H là tiếp điểm thì a ⊥OH hay a ⊥d )
* Định lí 2 ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đưòng
tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường
tròn .
( Đường tròn ( O , R ) có OH = R và OH ⊥ a thì a là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ).
* Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) Nếu MA và MB là hai tiếp tuyến của đường
tròn (O)
( A và B là hai tiếp điểm ) thì :
+ MA = MB .
+ OM là phân giác của góc AOB
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM ⊥ AB tại I ; I là trung điểm của AB ( OM là trung trực của AB )

A

O

I

M

B

A

* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường tròn
nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác ngoại tiếp đường
tròn )

+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao
điểm các đường phân giác trong của tam giác .
O

4) Vị trí tương đối của hai đường tròn :
Ghi chú : d là khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) và
B

C

6

( I ; r ), d = OI, giả sử R > r > 0 .
* Hai đường tròn không giao nhau :
- Số điểm chung : 0 ;-Hệ thức giữa d , R , r :

O

R

E

F

r

I

I

O

O

Ở ngoài nhau : d > R + r

:d
Đựng nhau

Đặc biệt : đồng tâm ( d = 0 )
* Hai đường tròn cắt nhau : - Số điểm chung : 2
A
- Hệ thức giữa d, R, r là: R – r < d < R + r
+ Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường
O
I
nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây
B
chung
( Nếu đường tròn (O) và đường tròn (I) cắt nhau tại hai điểm A và B
thì OI ⊥ AB tại H và HA = HB )
* Hai đường tròn tiếp xúc
- Số điểm chung : 1
- Hệ thức giữa d, R, r :
Tiếp xúc ngoài : d = R + r
Tiếp xúc trong : d = R – r

O

A

A

I

I

O

+ Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đ.tr tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
Chương III :GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1/ Góc ở tâm

2/ Góc nội tiếp
C

O
H1

A

m

B

O
H2

A

m

3/ Góc tạo bởi tiếp tuyến
và dây cung
O

B

7

H3

A

B
m

4/ Góc có đỉnh ở bên trong đường
tròn
C

D

n

A

E
O
A

m

C
m

B

O

B
O

D

E

n
D
H5

B

6/ Tứ giác ABCD nội tiếp
A

5/ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

7/ Độ dài đường tròn
hay
d = 2R
8/ Độ dài cung tròn

9/ Diện tích hình tròn
10/ tích hình quạt tròn
hay

C

hay
11. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. Điểm đó gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 
12. Tính bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp , bàng tiếp đa giác
a. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh, độ dài 1 cạnh là a:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:

;

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông:

;

Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều:
b. Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh, độ dài 1 cạnh là a:
*Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều:
*Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông:

;
;

*Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác:
c.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh a,b,c
8

+)
+)

(S là diện tích tam giác)

+) Tam giác vuông tại A :

; Tam giác đều cạnh a :

d.Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
+)

(p là nửa chu vi tam giác)

+) Tam giác vuông tại A :

; Tam giác đều cạnh a :

e. Tính bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác:
+) Tam giác vuông tại A :

Hình trụ
Hình nón
Hình cầu

;

HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
Diện tích
Thể tích
Sxq = 2 rh
V = r2h
Stp = 2 rh + 2 r2
Đường sinh:
Sxq = rl
V=
Chiều cao :
Stp = rl + r2
Bán kính:
S = 4 R2

V=

9