Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2019 –
2020
Môn: Toán 9
Ngày 10/6/2020
(Thời gian: 120 phút – không kể
giao đề)

Bài 1 (4 điểm). Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện

a) Cho

, hãy tìm b, c.

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì

.

Bài 2 (3 điểm). Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện

. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3 (4 điểm). Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, AB lần lượt lấy
các điểm M, N sao cho
a) Chứng minh MN vuông góc với BC.
b) Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính góc BIC.
Bài 4 (3 điểm). Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và

. Chứng

minh rằng nếu phương trình
và phương trình
có
đúng một nghiệm chung thì các nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa
mãn phương trình

.

Bài 5 (4 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại
có đường cao AH.
Đường tròn tâm H bán kính HA cắt cạnh AC tại D. Đường thẳng qua D vuông
góc với AC cắt BC tại E.
a) Chứng minh
.
b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn (H) tại K, L. Chứng
minh CK, CL là các tiếp tuyến của (H).
Bài 6 (2 điểm). Gọi S là tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có
giá trị không quá 2020. Chứng minh rằng trong S có hai số mà tổng của
chúng bằng 2021 .
-----  HẾT  ----Sir 1

Toán Thầy Tuấn

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1 (4 điểm). Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện

a) Cho

(*)
, hãy tìm b, c.

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì
Giải

a) Thay

vào

.

, ta có hệ:

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì
*

(vô lý)

*

(vô lý)

*

.

.

Bài 2 (3 điểm). Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện

. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải

a)

Đẳng thức xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của

.
là

.

Bài 3 (4 điểm). Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, AB lần lượt lấy
các điểm M, N sao cho
a) Chứng minh MN vuông góc với BC.
Sir 3

Toán Thầy Tuấn

b) Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính góc BIC.
Giải
là hình chiếu của N trên BC.

a) Gọi
Ta có
Suy ra

.

trùng

đpcm.

b)Ta có:
nội tiếp.

Bài 4 (3 điểm). Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và

. Chứng

minh rằng nếu phương trình
và phương trình
có
đúng một nghiệm chung thì các nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa
mãn phương trình

.
Giải

Gọi
Ta có

là nghiệm chung của hai phương trình.
và

Suy ra

do
(do

)

Suy ra a, b là nghiệm của phương trình

.

Bài 5 (4 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại
có đường cao AH.
Đường tròn tâm H bán kính HA cắt cạnh AC tại D. Đường thẳng qua D vuông
góc với AC cắt BC tại E.
a) Chứng minh
.
b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn (H) tại K, L. Chứng
minh CK, CL là các tiếp tuyến của (H).
Giải
a/ Chứng minh BH=HE.
Kẻ HM vuông góc với
.
Ta có

và

.

b/ Chứng minh CK, CL là các tiếp tuyến của

.
Sir 4

Toán Thầy Tuấn

Ta có

là tiếp tuyến của

.

Tương tự CL cũng là tiếp tuyến của

.

Bài 6 (2 điểm). Gọi S là tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có
giá trị không quá 2020. Chứng minh rằng trong S có hai số mà tổng của
chúng bằng 2021 .
Giải
Xét tập hợp
gồm tất cả các số dạng
với
.
Do đó
cũng có 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020
.
Từ đó tập
có 2022 số nguyên dương có giá trị không quá 2020 .
Nên tồn tại hai số
sao cho
bằng do 2021 là số lẻ).

hay

(

không thể

-----  HẾT  -----

Sir 5