Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2021 – 2022
Môn: Toán 9
Ngày 30/3/2022
(Thời gian: 120 phút – không kể giao đề)

Bài 1.(3đ) Cho các số a, b thỏa mãn các điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức

.

.

Bài 2.(3đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh:

.
.

Bài 3.(3đ) Giải phương trình sau:

.

Bài 4.(5đ) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Gọi C là điểm di động trên (O) (C
khác A và B), vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt
hai đường thẳng AC, AD lần lượt tại E và F. Gọi H là trung điềm của đoạn thẳng BF; K là giao
điểm của hai đường thẳng OE và AH.
a) Chứng minh năm điểm E, C, D, F, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh điểm I luôn thuộc một
đường thằng cố định khi C di động trên đường tròn (O).
Bài 5.(3đ) Qua điềm M thuộc cạnh BC của
ta kẻ các đương thẳng song song với các
cạnh AB, AC; chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình
bình hành đó có diện tích lớn nhất.
Bài 6.(3đ) Tìm tất cả các cập số tự nhiên

với

sao cho

là ước của

.

-----  HẾT  -----

Sir 1

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.(3đ) Cho các số a, b thỏa mãn các điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức

.

.

Bài 2.(3đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh:

.
.

Bài 3.(3đ) Giải phương trình sau:

.
Giải

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

Bài 4.(5đ) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Gọi C là điểm di động trên (O) (C
khác A và B), vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt
hai đường thẳng AC, AD lần lượt tại E và F. Gọi H là trung điềm của đoạn thẳng BF; K là giao
điểm của hai đường thẳng OE và AH.
a) Chứng minh năm điểm E, C, D, F, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh điểm I luôn thuộc một
đường thằng cố định khi C di động trên đường tròn (O).
Giải

Sir 3

Toán Thầy Tuấn

Bài 5.(3đ) Qua điềm M thuộc cạnh BC của
ta kẻ các đương thẳng song song với các
cạnh AB, AC; chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình
bình hành đó có diện tích lớn nhất.
Giải

Sir 4

Toán Thầy Tuấn

Bài 6.(3đ) Tìm tất cả các cập số tự nhiên

với

sao cho

là ước của

.

Giải

-----  HẾT  -----

Sir 5