SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI
THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN
(Đề gồm có 1 trang)
Thời gian làm bài :150 phút


Câu 1: (2.0 điểm )
Cho biểu thức :

1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm các giá trị của x để

Câu 2 (2,0 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2
và đường thẳng (d):
y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm)
1/ Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2/ Giải hệ phương trình:

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.
1/ Chứng minh rằng: MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
a)
không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC
Câu 5 (1.0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thoả mãn :
. Chứng minh rằng :


---------- Hết ----------

Họ tên thí sinh …………………………………………….. Số báo danh: …………………………

Chữ ký giám thị 1: ………………………………… Chữ ký giám thị 2: ……………………
Bài giải
Câu 1: (2.0 điểm )
Cho biểu thức :

1/ Rút gọn biểu thức A.

(ĐK: x ( 0, x ( 4, x ( 9 )
A = … =

2/ Tìm các giá trị của x để



Kết hợp với ĐK (

Câu 2 (2,0 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2
và đường thẳng (d): y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2)
M ((P) ( … ( a = 2 ( y = 2x2
M ( (d) ( … ( b = 1 ( y = x + 1
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 1 ( 2x2 - x - 1 = 0




Câu 3 (2.0 điểm)
1/ Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
(

2/ Giải hệ phương trình:
(ĐK: x ( 1; y ( 1)
(2) ( x + y = xy (3)
Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có:


Thay (3) vào ta có: x + y = 4 kết hợp với (3) có hệ:

Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: X2 - 4x + 4 = 0
( x = 2; y = 2

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.


1/ Chứng minh rằng: MO = MA
(A1 = (O1 và (A1 = (A2 ( (A2 = (O1 ( (MAO cân ( MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng