PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2019-2020
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (6,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính: A =
2) Tìm x; y; z biết :

và x – 2y + z = 40.

3) Tìm x biết:
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Số 20222023 có là số chính phương không ? Vì sao?
2) Chứng minh rằng ba đơn thức

không thể cùng có giá trị âm.

Câu 3. (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy +2 y = 0.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Câu 4. (5,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM
(D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I.
Chứng minh rằng:
a)

và BH = AI.

b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trên đoạn BD lấy
điểm E sao cho
. Chứng minh
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và
,
,
.
Chứng minh rằng đa thức
có giá trị không lớn hơn 2.
-----------------------------Hết-----------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.......................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)......................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)......................................................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu
Câu 1
1
(2 điểm)

MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn có 04 trang

Phương pháp-Kết quả
+ Biến đổi:

-1
=

-1

Điểm
(6 điểm)
1
0,75

=0
KL: Vậy A=0
2
(2 điểm)

Đặt :

0,25
=> x=2k, y=k, z=5k

0,5

Ta có : x – 2y + z = 40.
=> 2k-2k+5k=40
=> 5k=40

0,5

=>k=8
+Với k=8 thì  x=2.8=16 ; y=8 ; z=5.8=40
KL :..............
3
(2 điểm)

Vậy

2
(2 điểm)

0,25
0,75

hoặc
hoặc x=3
Câu 2
1
( 2 điểm)

0,75

20222023= 20222022.2022 =(20221011)2.2022
Vì (20221011)2 là số chính phương nên để 20222023 là số chính phương thì
2022 là số chính phương
Ta thấy 2022 chi hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên
2022 không phải là số chính phương.
Vậy 20222023 không phải là số chính phương
Giả sử cả 3 đơn thức cùng có giá trị âm
tích của 3 đơn thức có giá trị âm
(1)
Mặt khác:

1
0,25
(4 điểm)
0, 5
0, 5
0,5
0,5
0,5
0,5

Vì x10y10

0

nên

0,

Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2)

không thể cùng có giá trị âm.

Ta có:
x - 2xy + 2y = 0.
x(1 – 2y) + 2y = 0
(2 y-1) + x(1 – 2y) = -1
(x-1)(1 – 2y) = -1
Ta có: -1 = 1.(-1 )
Ta có bảng:

x-1
1 – 2y
x
y
Abccjh

1
-1
2
1

-1
1
0
0

Ta có .

(4điểm)
0,5

0,25

0,5
. Dấu bằng xảy ra khi a=0;

. Dấu bằng xảy ra khi
Do đó M=
Vì

0,5

0,75

Vậy (x;y) {(2;1);(0;0)}
2
(2điểm)

0,5

điều giả sử sai.

Vậy ba đơn thức
Câu 3
1
(2điểm)

(2)

0,25
0,25

;

Nên M

1

Dấu bằng xảy ra

0,25

Vậy GTNN của M=2026 tại x=5

0,25

Câu 4

( 5 điểm)
A

I

D
B

M

C

H

1.a
* Chứng minh:
(1.5 điểm) + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)

0,25

+ Lập luận được:

0,25

+ Tính ra được

=>

0,25

* Chứng minh: BH = AI.
+ Chỉ ra:
(cùng phụ
)
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
b) Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được
+ Chứng minh được AM = MC

1.b
(1.5 điểm) + Chứng minh được
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI
+ Do HAM = ICM =>
=>
)
+ Lập luận được:
(**)
Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
2
A
( 2,0
điểm)

0,25
0, 5
0,25
0,25

(*)
(do

0,25
0,25
0,25
0,25

F
G

D

E
H
B

C

Kẻ AF và CG cùng vuông góc với BD, CH AE
Ta có: ABF = CAH (ch-gn)
AF = CH
Ta có: ADF = CDG (ch-gn)
AF = CG
CH=CG

0,5

Chứng minh

CEH=

CEG

Mà
Hay

(góc ngoài tam giác)
(vì

nên

(1)

ABC cân tại A
Cộng vế với vế của đẳng thức (1) và (2)

(2)
(đpcm)

Câu 5
(1,0 điểm) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử 2 số cùng dấu đó là
x và y. Ta xét 2 trường hợp sau:
-TH1: x 0; y 0
=> z = - x - y 0
+) Vì
,
,
=>
=>
=>
+)
và z 0 =>

0,5

0,5
0,5
(1,0 đ)

0,5

-TH2: x 0; y 0
=> z = - x - y 0
+) Vì
,
,
0,5
=>
=>
=>
+)
và z 0 =>
KL: Vậy
có giá trị không lớn hơn 2
Điểm toàn bài
(20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp
logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang
điểm tương ứng.
- Với Câu 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.