CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình bậc nhất một ẩn:

Bài 1: Xét xem

có là nghiệm của phương trình hay không?

a)

;

c)
e)

;
;

g)
Bài 2: Xét xem

b)

;

d)

;

f)

;

h)

;

có là nghiệm của phương trình hay không?

a)

;

c)

b)
;

e)

;
d)

;

f)

Bài 3: Tìm giá trị k sao cho phương trình có nghiệm
a)

;

;

c)

;

;
;

được chỉ ra:

b)

;

d)

;

VẤN ĐỀ II. Số nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:

 Phương trình

 Phương trình

vô nghiệm 
có vô số nghiệm 

Bài 1. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:
a)

b)

c)

d)

Bài 2. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có vô số nghiệm:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 3. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nhiều hơn một nghiệm:
a)

b)

c)

d)

e)

f)
VẤN ĐỀ III. Chứng minh hai phương trình tương đương

Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.
 Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.
 Hai qui tắc biến đổi phương trình:
– Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi
dấu hạng tử đó.
– Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Bài 1. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
a)
c)

và

b)

và

d)

và
và

Bài 2. Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
a)

và

b)

c)

và

d)

e)

và

f)

và

và
và

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phương trình bậc nhất một ẩn:
Định nghĩa: PT bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là hai số tùy ý và a ≠ 0.
Phương pháp giải:
- Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:
+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí và đổi dấu
hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một
phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất
x = - \f(b,a
- Phương trình ax + b = 0 được giải như sau:
ax + b = 0

 ax = - b
 x = \f(-b,a

Tập nghiệm S = \f(-b,a
Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 3x - 9 = 0
+ Chuyển - 9 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta được
+ Nhân cả 2 vế với \f(1,3 , ta được

3x = 9
3x . \f(1,3 = 9. \f(1,3



x=3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
b) - 7x + 15 = 0
 - 7x = -15


x = \f(-15,-7
x = \f(15,7

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \f(15,7

VẤN ĐỀ I. Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất
Phương pháp chung:
- Quy đồng mẫu hai vế
- Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
- Thu gọn về dạng ax + b = 0 và giải.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2x - ( 5 - 3x ) = 3 ( x + 2 )

b)

\f(

+ x = 1 + \f(3-5x,2
 2x - 5 + 3x = 3x + 6

 \f(5x-2+3x,3 = \f(2+3-5x,2

 2x + 3x - 3x = 6 + 5

 \f(5x-2+3x,3 . 6 = \f(2+3-5x,2 . 6

 2x = 11

 2. ( 8x - 2 ) = 3. ( 5 - 5x )



 16x - 4 = 15 - 15x

x = \f(11,2

5x-2,3

 16x + 15x = 15 + 4
 11 
S  
2
Phương trình có tập nghiệm

 31x = 19
 x = \f(19,31
Phương trình có tập nghiệm S = \f(19,31

Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0
+ Dạng 1:

0x = 0

+ Dạng 2:

Phương trình có vô số nghiệm

0x = c ( c ≠ 0 )

Phương trình vô nghiệm
S=

S=R
Ví dụ: Giải phương trình:
a) 2( x + 3 ) = 2( x - 4 ) + 14

b) 2( x - \f(1,2 ) + 4(1 - \f(1,2 x) = 1

 2x + 6 = 2x - 8 + 14

 2x - 1 + 4 - 2x = 1

 2x - 2x = -8 + 14 - 6

 2x - 2x = 1 + 1 - 4

 0x = 0

 0x = -2

Phương trình có vô số nghiệm

Phương trình vô nghiệm

S=R

S=

Sai lầm của học sinh giáo viên cần sửa:
Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng 0x = -2  x = \f(-2,0 = 0
Nâng cao: Giải và biện luận phương trình:
\f(

mx+5,10 + \f(x+m,4 = \f(m,20 ( 1)

Giải:
PT ( 1 )  \f(

mx+5,10 . 20 + \f(x+m,4 . 20 = \f(m,20 . 20

 2( mx + 5 ) + 5 ( x + m ) = m
 2mx + 10 + 5x + 5m = m
 ( 2m + 5)x = m - 5m -10

 ( 2m + 5) x = -2( 2m +5 )
+ Nếu 2m + 5 ≠ 0  m ≠ \f(-5,2 , phương trình có nghiệm x = -2
+ Nếu 2m + 5 = 0  m = \f(-5,2 , phương trình có dạng 0x = 0 hay phương trình có vô số nghiệm.
Kết luận:

+ Với m ≠ \f(-5,2 , tập nghiệm của phương trình là S =
+ Với m = \f(-5,2 , tập nghiệm của phương trình là S = R

Nhận xét: Phương trình (1) gọi là phương trình chứa tham số m
Sau khi thu gọn về dạng ax + b = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp:
+ Trường hợp a ≠ 0: phương trình có một nghiệm x = \f(-b,a
+ Trường hợp a = 0, ta xét tiếp: nếu b ≠ 0, phương trình vô nghiệm
Nếu b = 0, PT vô số nghiệm
BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

ĐS: a)

b)

g)

h)

c)

d)

e)

f)

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

c)

d)

e)

f) vô nghiệm

a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

c)

d)

e)

f)

e)

f)

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

ĐS: a)

b)

g)

h)

c)

d)

Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a) x tuỳ ý

b) x tuỳ ý

c) x tuỳ ý

d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vô nghiệm

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

ĐS: a)

b)

c)

d)

e)

Bài 7. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)

(HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử)

b)

(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)

c)

(HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử)

d)

(Chú ý:

e)

(HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử)

ĐS: a)

b)

c)

d)

Bài 8. Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)

b)

e)

)

.

c)

d)

e)

ĐS: a)

b)

c)

d)

e)

.

VẤN ĐỀ II. Phương trình tích
Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)...M(x) = 0
Trong đó A(x), B(x), ..., M(x) là các đa thức biến x
Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:



hoặc
Ta giải hai phương trình

và

, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) ( 3x - 2)( 4x + 5) = 0

b) 2x( x-3 ) + 5( x - 3 ) = 0

 3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

 ( x - 3 )( 2x + 5 ) = 0

+) 3x - 2 = 0  x = \f(2,3

 x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

+) 4x + 5 = 0  x = \f(-5,4

+) x - 3 = 0  x = 3

Vậy tập nghiệm của pt S = \f(2,3\f(-5,4

+) 2x + 5 = 0  x = \f(-5,2
Vậy tập nghiệm của pt S = \f(-5,2

BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

e)

f)

c)

d)

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

ĐS: a)

b)

c)

d)

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

e)

f)

c)

d)

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

e)

f)

c)

d)

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

ĐS: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Bài 7. Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ)
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

e)

f)

c)

d)

VẤN ĐỀ III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Định nghĩa:
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng:

\f(, = \f(,

Trong đó A(x); B(x); C(x); D(x) là các đa thức biến x
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.
Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định
chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải các phương trình:
a) \f(x+3,x = \f(5x+3,5x-1

(1)

+) ĐKXĐ của phương trình: x ≠ 0 và 5x -1 ≠ 0  x ≠ 0 và x ≠ \f(1,5
PT (1)

 \f(, = \f(,

 (5x - 1)( x + 3) = x( 5x -3 )
 5x2 + 14x - 3 = 5x2 + 3x
 5x2 + 14x - 5x2 - 3x = 3
 11x = 3
 x = \f(3,11
Ta thấy x = \f(3,11 thõa mãn ĐKXĐ của pt nên tập nghiệm của (1) là S = \f(3,11

b) \f(x+1,x-1 - \f(x-1,x+1 =3x( 1 - \f(x-1,x+1 )

(2)

+) ĐKXĐ của phương trình: x -1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0  x ≠1 và x ≠ -1
Quy đồng và khử mẫu ta được:
PT(2)  (x + 1)2 - (x - 1)2 = 3x( x - 1)( x+1 - x + 1 )
 x2 + 2x + 1 - x2 + 2x - 1 = 6x ( x - 1 )
 4x = 6x2 - 6x
 6x2 - 10 = 0
 2x( 3x - 5 ) = 0
 2x = 0 hoặc 3x - 5 = 0
 x = 0 hoặc x = \f(5,3
Ta thấy x = 0 và x = \f(5,3 thõa mãn ĐKXĐ của phương trình (2).
Vậy tập nghiệm của (2) là S = \f(5,3
BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

e)

f)

c)

d)

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

c)

b)

d)

e)

f)

ĐS: a)

b)

e)

f)

c)

d) vô nghiệm

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

ĐS: a)

e) vô nghiệm

b) vô nghiệm

c)

d)

f)

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

ĐS: a)

b)

c)

III. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình
– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

d)

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào
không, rồi kết luận.
VẤN ĐỀ I. Loại so sánh
Trong đầu bài thường có các từ:
– nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, ...: tương ứng với phép toán cộng.
– ít hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, ...: tương ứng với phép toán trừ.
– gấp nhiều lần: tương ứng với phép toán nhân.
– kém nhiều lần: tương ứng với phép toán chia.

Bài 1. Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng –87.
ĐS:

.

Bài 2. Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 8. Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số và bớt mẫu số đi 3 đơn vị thì ta
được phân số bằng

. Tìm phân số đã cho.

ĐS:
Bài 3. Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư
chi cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu.
ĐS: 8; 12; 5; 20.
Bài 4. Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là
30. Tìm hai số đó.
ĐS: 24; 8.

Bài 5. Một đội công nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội sửa được
thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng

đoạn đường, ngày

đoạn được làm được trong ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội

sửa 80m còn lại. Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa.
ĐS: 360m.
Bài 6. Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân. Sau khi chuyển 10 công nhân ở phân xưởng 1 sang phân
xưởng 2 thì

số công nhân phân xưởng 1 bằng

số công nhân phân xưởng 2. Tính số công nhân của

mỗi phân xưởng lúc đầu.
ĐS: Phân xưởng 1 có 120 công nhân, phân xưởng 2 có 90 công nhân.
Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước và 1300 lít nước. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ nhất 15 lít/phút,
bể thứ hai 25 lít/phút. Hỏi sau bao lâu số nước ở bể thứ nhất bằng

số nước ở bể thứ hai?

ĐS: 40 phút.
Bài 8. Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Dung hiện nay.
ĐS: 14 tuổi.
Bài 9. Tìm một số có chữ số hàng đơn vị là 2, biết rằng nếu xoá chữ số 2 đó thì số ấy giảm đi 200.
ĐS: 222.
Bài 10.

Gia đình Đào có 4 người: bố, mẹ, bé Mai và Đào. Tuổi trung bình của cả nhà là 23. Nếu viết

thêm chữ số 0 vào bên phải tuổi bé Mai thì được tuổi của bố, tuổi của mẹ bằng

tuổi bố và gấp 3 lần

tuổi của Đào. Tìm tuổi của mỗi người trong gia đình Đào.
ĐS: Tuổi của bố, mẹ, bé Mai và Đào lần lượt là: 40, 36, 4, 12.
Bài 11.

Nhân ngày 1 tháng 6, một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. số kẹo này được chia hết

và chia đều cho mọi đội viên trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, đội trưởng đã đề xuất cách
chia như sau:
– Bạn thứ nhất nhận một viên kẹo và được lấy thêm

số kẹo còn lại.

– Sau khi bạn thứ nhất lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận 2 viên kẹo và được lấy thêm

số kẹo còn

lại.

Cứ như thế đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo và được lấy thêm

số kẹo còn lại.

Hỏi phân đội đó có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu viên kẹo.
ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo.
Bài 12.

Một người bán số sầu riêng thu hoạch được như sau:

– Lần thứ nhất bán 9 trái và

số sầu riêng còn lại.

– Lần thứ hai bán 18 trái và

số sầu riêng còn lại mới.

– Lần thứ ba bá 27 trái và

số sầu riêng còn lại mới, v.v...

Với cách đó thì bán lần sau cùng là vừa hết và số sầu riêng bán mỗi lần đều bằng nhau.
Hỏi người đó đã bán bao nhiêu lần và số sầu riêng thu hoạch được là bao nhiêu trái?
ĐS: 225 trái, bán 5 lần.
Bài 13.

Ba lớp A, B, C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 358 cuốn. Tỉ số số

cuốn sách của lớp A so với lớp B là

. Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là

. Hỏi mỗi lớp

góp được bao nhiêu cuốn sách?
ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn.
Bài 14.

Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người. Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1%. Hỏi hai năm trước

đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu?
ĐS: 600000 người.
Bài 15.

Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau. Nhưng trong học kì

1, trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51% số học sinh của
trường. Hỏi cuối học kì 1, trường có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ?
ĐS: 245 nam, 255 nữ.
VẤN ĐỀ II. Loại tìm số gồm hai, ba chữ số

 Số có hai chữ số có dạng:

. Điều kiện:

 Số có ba chữ số có dạng:

.

. Điều kiện:

.

Loại toán tìm hai số.
+ Hướng dẫn học sinh trong dạng bài này gồm các bài toán như:
- Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng.
- Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng.
- Toán tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.
+ Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau:
1.Toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số.
Bài toán 1:
Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị.
Tìm hai số đó.
Phân tích bài toán:
Có hai đại lượng tham gia vào bài toán, đó là số bé và số lớn.
Nếu gọi số bé là x thì số lớn biểu diễn bởi biểu thức nào?
Yêu cầu học sinh điền vào các ô trống còn lại ta có thương thứ nhất là
Giá trị
Số bé

x

Số lớn

x + 12

Lời giải:
Gọi số bé là x.
Số lớn là: x +12.

, thương thứ hai là

Thương

Chia số bé cho 7 ta được thương là : .
Chia số lớn cho 5 ta được thương là:
Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình:
-

=4

Giải phương trình ta được x = 28
Vậy số bé là 28.
Số lớn là: 28 +12 = 40.
Bài toán 2:
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được phân số \
f(1,2 . Tìm phân số đã cho.

Hướng dẫn hs bằng cách đặt lần lượt các câu hỏi:
- Để tìm phân số đã cho, ta phải tìm các thành phần nao? ( tử và mẫu )
- Biết tử số, có thể tìm được mẫu số và ngược lại?
- Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số mới nào ?
Như vậy, có thể chon ẩn là tử hoặc mẫu của phân số
Giải
Gọi tử của phân số đã cho là x ( x ≠ 0) thì mẫu của phân số đó là x + 2
Tăng tử thêm 2 đơn vị thì ta được tử mới là: x + 2
Tăng mẫu thêm 2 đơn vị thì được mẫu mới là: x + 3 + 2 = x +5
Theo bài ra ta có phương trình : \f(x+2,x+5 = \f(1,2
ĐKXĐ: x ≠ -5
 2( x + 2 ) = x + 5

 2x - x = 5 - 4
 x = 1 ( thõa mãn mãn điều kiện)
Vậy phân số đã cho là \f(1,1+3 = \f(1,4
Bài toán 3:
Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho
nhau thì được một số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó.
Hướng dẫn:
Chữ số hàng Chữ số hàng
chục

đơn vị

Giá trị

Số đã cho

3x

x

10.3x + x

Số mới

x

3x

10.x + 3x

Phương trình

10.3x + x -18 = 10.x + 3x

Giải:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số phải tìm là x ( x  N và 0 < x  3 )
Thì chữ số hàng chục là 3x
Số đã cho là 10.3x + x
Số mới sau khi đổi vị trí là : 10.x + 3x
Theo bài ra ta có phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x
Giải phương trình:

10.3x + x -18 = 10.x + 3x

 31x - 18 = 13x
 31x - 13x = 18
 18x = 18
 x=1
Kiểm tra thấy x = 1 thõa mãn điều kiện. Vậy số cần tìm là 13
Lưu ý: Đối với dạng toán liên quan đến số học, yêu cầu hs hiểu mối quan hệ giữa các đại lượng như hàng
chục, hàng trăm,...biểu diễn được dạng chính tắc của nó:

= 10a + b
= 100a + 10b + c
Khi đổi chỗ các chữ số, hoặc thêm bớt các chữ số, ta cũng biểu diễn tương tự

2. Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số công nhân của phân xưởng.
Bài toán 2
Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn,
thì số sách của hai thư viện bằng nhau.
Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện.
Phân tích bài toán:
Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: Thư viện 1 và thư viện 2. Nếu gọi số sách lúc đầu của thư viện 1 là
x, thì có thể biểu thị số sách của thư viện hai bởi biểu thức nào? Số sách sau khi chuyển ở thư viện 1, thư
viện 2 biểu thị như thế nào?
Số sách lúc đầu

Số sách sau khi chuyển

Thư viện 1

x

x - 3000

Thư viện 2

15000 - x

(15000 - x) + 3000

Lời giải:
Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.
Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 - x (cuốn)
Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: x - 3000 (cuốn)
Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:
(15000 - x)+ 3000 = 18000-x (cuốn)
Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:
x - 3000 = 18000 - x

Giải phương trình ta được: x = 10500 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.
Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 - 10500 = 4500 cuốn.
Bài toán 3:
Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2
thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11.
Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.
Phân tích bài toán:
Có hai đối tượng tham gia trong bài toán, đó là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. Nếu gọi số công nhân của xí
nghiệp 1 là x, thì số công nhân của xí nghiệp 2 biểu diễn bằng biểu thức nào? Học sinh điền vào các ô
trống còn lại và căn cứ vào giả thiết: Số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập phương trình.
Số công nhân

Trước kia

Sau khi thêm

Xí nghiệp 1

x

x + 40

Xí nghiệp 2

+ 80

Lời giải:
Cách 1:
Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.
Số công nhân xí nghiệp II trước kia là

x (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x_+ 40 (công nhân).
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là:

x_+ 80 (công nhân).

Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân.
Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là:

.600 + 80 = 880 công nhân.

Bài toán 4:
Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và
sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.
Phân tích bài toán:
Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: người thứ nhất và người thứ hai, có 3 mốc thời gian: cách đây 10
năm, hiện nay và sau 2 năm.Từ đó hướng dẫn học sinh cách lập bảng.
Tuổi

Hiện nay

Cách đây10 năm

Sau 2 năm

Người I

x

x - 10

x+2

Người II
Nếu gọi số tuổi của người thứ nhất là x, có thể biểu thị số tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm và sau
đây 2 năm. Sau đó có thể điền nốt các số liệu còn lại vào trong bảng. Sau đó dựa vào mối quan hệ về thời
gian để lập phương trình.
Lời giải:
Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.
Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: x - 10 (tuổi).
Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là:

(tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: x + 2 (tuổi).
Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là:

(tuổi).

Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:

Giải phương trình ta được: x = 46 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi.
Số tuổi hiện nay của ngườ thứ hai là:

tuổi.

3. Dạng toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.
Bài toán 5:
Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và
mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi.
Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?
Phân tích bài toán:
Bài toán có hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và số ghế sau khi thêm. Nếu chọn số ghế lúc đầu là x, ta
có thể biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và có thể điền được vào các ô trống còn lại. Dựa vào giả thiết:
Mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta có thể lập được phương trình:

Số dãy ghế
Lúc đầu

x

Sau khi thêm

x+2

Số ghế của mỗi dãy

Lời giải:
Gọi số dãy ghế lúc đầu là x ( dãy), x nguyên dương.
Số dãy ghế sau khi thêm là: x + 2 (dãy).
Số ghế của một dãy lúc đầu là:

(ghế).

Số ghế của một dãy sau khi thêm là:

(ghế).

Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được x=10 (thỏa mãn đk)
Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:
– Tổng hai chữ số là 12
– Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36.
ĐS: 48
Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:
– Tổng hai chữ số là 10
– Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới nhỏ hơn số đó là 36.
ĐS: 73
Bài 3. Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay bên trái số đó ta được một số có 6 chữ

số. Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó thì được một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết
thêm vào bên trái số đó. Tìm số đó.
ĐS: 42857.
Bài 4. Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số ta
được một số có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó.
ĐS: 31.
Bài 5. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được
một số có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đó.
ĐS: 25.

VẤN ĐỀ III. Loại làm chung - làm riêng một việc

 Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc, biểu
thị bởi số 1.

 Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Gọi A là khối lượng công việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta có:

.

 Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.
VD 1: Hai đội công nhân làm chung 6 ngày thì xong công việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là
5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới hoàn thành công việc.
Hướng dẫn:
Hai đội làm chung trong 6 ngày xong công việc nên một ngày 2 đội làm được \f(1,6 công việc
Lập phương trình theo bảng:

Số ngày làm riêng xong
công việc
Phần công việc
làm trong 1 ngày

Đội 1

Đội 2

x ( x > 5)

x-5

Phương trình

\f(1,x + \f(1,x-5 = \f(1,6

\f(1,x

\f(1,x-5

VD 2 :Moät soá töï nhieân coù hai chöõ soá .Chöõ soá haøng ñôn vò gaáp hai laàn chöõ soá haøng chuïc .Neáu
theâm chöõ soá 1 xen vaøo giöõa hai chöõ soá aáy thì ñöôïc moät soá môùi lôùn hôn soá ban ñaàu laø
370 .Tìm soá ban ñaàu .
Soá ban ñaàu laø 48
VD 3 :Moät toå saûn xuaát theo keá hoaïch moãi ngaøy phaûi saûn suaát 50 saûn phaåm .Khi thöïc hieän ,
moãi ngaøy toå ñaõ saûn xuaát ñöôïc 57 saûn phaåm .Do ñoù toå ñaõ hoaøn thaønh tröôùc keá hoaïch 1
ngaøy vaø coøn vöôït möùc 13 saûn phaåm .Hoûi theo keá hoaïch , toå phaûi saûn xuaát bao nhieâu saûn
phaåm ?
Naêng suaát 1 ngaøy

Soá ngaøy (ngaøy)

Soá saûn phaåm (saûn

saûn phaåm /ngaøy )

phaåm )

Keá hoaïch

x

Thöïc hieän
Phöông trình :
d) Dạng toán về năng suất, tỉ số phần trăm:
VD: Một xí nghiệp hợp đồng sản xuất một số tấm len trong 20 ngày, do năng suất làm việc vượt dự tính là 20%
nên không những xí nghiệp hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 24 tấm len. Hỏi
theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt bao nhiêu tấm len?
Hướng dẫn:
Tổng sản
phẩm
Kế hoạch

x ( x > 0)

Năng suất

Phương trình

\f(x,20

\f(x,20 + \f(x,20 . \f(20,100

= \f(x+24,18
Thực tế

x + 24

\f(,18

BÀI TẬP

Bài 1. Hai người cùng làm một công việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất của người thứ nhất bằng

năng

suất của ngwòi thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm một mình cả công việc thì phải mất thời gian bao lâu?
ĐS: 40 giờ; 60 giờ.
Bài 2. Một bồn chứa có đặt hai vòi nước chảy vào và một vòi tháo nước ra.
– Bồn trống không, nếu mở riêng vòi thứ nhất thì sau 4 giờ bồn đầy nước.
– Bồn trống không, nếu mở riêng vòi thứ hai thì sau 6 giờ bồn đầy nước.
– Bồn trống không, nếu đồng thời mở cả ba vòi thì sau 7 giờ 12 phút bồn đầy nước.
Hỏi nếu bồn chứa đầy nước, mở riêng vòi tháo nước thì sau bao lâu sẽ tháo hết nước ra?
ĐS: 3 giờ 36 phút.

Bài 3. Một công nhân phải làm một số sản phẩm trong 18 ngày. Do đã vượt mức mỗi ngày 5 sản phẩm nên sau
16 ngày anh đã làm xong và làm thêm 20 sản phẩm nữa ngoài kế hoạch. Tính xem mỗi ngày anh đã làm
được bao nhiêu sản phẩm.
ĐS: 75 sản phẩm.

VẤN ĐỀ IV. Loại chuyển động đều

 Gọi d là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta có:

.

 Vận tốc xuôi dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước
 Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

Loại toán chuyển động:
Loại toán này có rất nhiều dạng, tuy nhiên có thể phân ra một số dạng thường gặp như sau:
1, Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường.
2,Toán chuyển động thường.
3,Toán chuyển động có nghỉ ngang đường.
4,Toán chuyển động ngược chiều.
5,Toán chuyển động cùng chiều.
6,Toán chuyển động một phần quãng đường.
Hướng dẫn học sinh lập bảng từng dạng:
- Nhìn chung mẫu bảng ở dạng toán chuyển động gồm 3 cột: Quãng đường, vận tốc, thời ian.
- Các trường hợp xảy ra như: Quãng đường đầu, quãng đường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn hoặc các đại
lượng tham gia chuyển động đều được ghi ở hàng ngang.
- Đa số các bài toán đều lập phương trình ở mối liên hệ thời gian.
1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường.

Bài toán 1:
Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 3h20',ô tô đi hết 2h. Vận tốc
ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h.
Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
Phân tích bài toán:
Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng,
các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn
x(x>0). Từ đó điền các ô thời gian, quãn đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã
cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường.
t(h)

v(km/h)

S(km) = v.t

x

10 x
3

x+17

2(x+17)

3h20'= 3h + 20/60h
Ca nô
=
Ô tô

h

2

Công thức lập phương trình:

Sôtô -Scanô = 10

Lời giải:
Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).
Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).
Quãng đường ca nô đi là:

(km).

Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17)(km).
Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

Sôtô -Scanô = 10

2(x+17) -

Giải phương trình ta được x = 18.(nhận).

=10

Vậy vận tốc ca nô là 18km/h.
Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35(km/h).
Bài toán 2:
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng
con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h.
Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30'?
S(km)

v(km/h)

t(h)

Lúc đi

33

x

33
x

Lúc về

33+29 = 62

x+3

62
x +3

Hướng dẫn tương tự bài 6.
- Công thức lập phương trình:

tvề - tđi =1h30' (=

).

- Phương trình là:
62
33 3
− =
x +3 x 2

2. Chuyển động thường:
Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức:

.

vxuôi = vthuyền + vnước

.

vngược = vthuyền - vnước

Bài toán 3:
Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20'.
Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.

v(km/h)

S(km)

Tàu: x

Nước: 4

t(h)

Xuôi

80

x+4

80
x +4

Ngược

80

x-4

80
x−4

Phân tích bài toán:
Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây gọi vận tốc
thực của tàu là x km/h (x>4)
Công thức lập phương trình: t xuôi + t ngược = 8h20' (8h+20/60h
Lời giải:
Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)
Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 km/h
Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x - 4 km/h
Thời gian tàu đi xuôi dòng là:

Thời gian tàu đi ngược dòng là:

Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20' =

h

h

h nên ta có phương trình:

)

Giải phương trình ta được: x1 =

(loại) ;x2 = 20 (nhận) Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h

3. Chuyển động có nghỉ ngang đường.
Học sinh cần nhớ:
.tdự định =tđi + tnghỉ
.Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi
Bài toán 4:
Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã
quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ.
Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.
Phân tích bài toán:
163km
43km
Hà nội

Lạng sơn

Vì Ôtô chuyển động trên những quãng đường khác nhau, lại có thời gian nghỉ, nên phức tạp. Giáo viên cần
vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễ tìm thấy số liệu để điền vào các ô của bảng. Giáo viên
đặt câu hỏi phát vấn học sinh: Thời gian dự định đi? Thời gian đi quãng đường đầu, quãng đường cuối?
Chú ý học sinh đổi từ số thập phân ra phân số cho tiện tính toán.

S(km)

v(km/h)

Lạng sơn- Hà nội

163

x

Sđầu

43

x

t(h)

Dừng
Scuối

40'
120

1,2x

Công thức lập phương trình: tđầu + tdừng + tcuối = tdự định
Lời giải:
Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x km/h (x>0)
Vận tốc lúc sau là 1,2 x km/h
Thời gian đi quãng đường đầu là:

h

Thời gian đi quãng đường sau là:

h

Theo bài ra ta có phương trình

Giải phương trình ta được x = 30 (tmđk)
Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.
Bài toán 5:
Một Ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 1h Ôtô bị
chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc lên 6km/h. tính vận tốc của Ôtô
lúc đầu.
S(km)

v(km/h)

t(h)

SAB

120

x

Sđầu

x

x

Nghỉ

1
10'

Ssau

120-x

x+6

Hướng dẫn tương tự bài 9.
Công thức lập phương trình: tđi + tnghỉ = tdự định
Phương trình của bài toán là:

Đáp số: 48 km.
4. Chuyển động ngược chiều:
Học sinh cần nhớ:
+ Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S
+ Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (không kể thời gian đi sớm).
Bài toán 6:
Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30' với vận
tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h.
Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?
Bài này học sinh cần lưu ý: Vì chuyển động ngược chiều đi để gặp nhau nên lập phương trình ở mố...