VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

Chuyên đề
•

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Căn bậc hai và bt liên quan

1

Tài liệu này được tham khảo từ đề học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 từ 40 tỉnh thành trong cả nước
năm học 2022-2023. Cụ thể gồm: Bà Rịa Vũng Tàu, Bình Dương, Bình Phước, Bình Định, Bắc
Giang, Bắc Kạn, Bắc Ninh, Bến Tre, Gia Lai, Hà Giang, Hà Nam, Hà Nội, Hà Tĩnh, Hòa Bình,
Hải Dương, Hải Phòng, Hậu Giang, Khánh Hòa, Kon Tum, Lai Châu, Lạng sơn, Nam Định, Nghệ
An bảng A, Nghệ An bảng B, Ninh Bình, Ninh Thuận, Phú Thọ, Quảng Bình, Quảng Ninh, Quảng
Trị, Sóc Trăng, Sơn La, Thanh Hóa, Tiền Giang, TP Hồ Chí Minh, Tuyên quang, Vĩnh Long, Vĩnh
Phúc, Yên Bái, Đắk Lắk, Đồng Tháp.

Câu 1. (hsg 9 Bà Rị
Rịa Vũng
Vũng Tàu
Tàu 20222022-2023 )
 1
  1
2 x −2
2 
1. Rút gọn biểu thức A = 
−
−
 : 
 với 0 ≤ x ≠ 1
 x +1 x x + x − x −1   x −1 x −1 

2. So sánh hai số M = 3 − 2 2 + 3 10 + 6 3 và N = 3 9 + 80 + 3 9 − 80

Lời giả
giải
 1
  1
2 x −2
2 
1. Rút gọn biểu thức A = 
−
−
 : 
 với 0 ≤ x ≠ 1
 x +1 x x + x − x −1   x −1 x −1 
 1
  1
2 x −2
2 
A = 
−
−
 : 

 x + 1 x x + x − x −1   x −1 x −1 


2 x −1   1
1
2

:
=
−
−
 x +1
x − 1 ( x − 1)   x − 1
x −1
x +1

 

 

x −1− 2 x + 2  
x +1− 2 

=
:
 x +1
x −1   x −1
x +1 

 


 

x − 2 x +1  
x −1


=
:
2

  x −1

x
+
1
x −1  
 x + 1



(

)

(

=

=

)

(

(

)(

) (

(

)(

) ( )( )
( x − 1)( x + 1)
.

(

)

2

x −1
2

(

)(

x +1

x −1
x +1

)

)(

)(

)






)

x −1

x −1

(với 0 ≤ x ≠ 1 )

2. So sánh hai số M = 3 − 2 2 + 3 10 + 6 3 và N = 3 9 + 80 + 3 9 − 80
M = 3 − 2 2 + 3 10 + 6 3

)

2

=

(

=

2 −1 +1+ 3

2 −1

+

3

(1 + 3 )

3

= 2 −1+1+ 3
= 2+ 3
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 1

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

N = 3 9 + 80 + 3 9 − 80
N3 =

(

3

9 + 80 + 3 9 − 80

)

3

N 3 = 9 + 80 + 9 − 80 + 3N
⇔ N 3 − 3N − 18 = 0
⇔ ( N − 3) ( N 2 − 3 N + 6 ) = 0
⇔ N =3

N2 = 9 = 5+ 4 = 5+ 2 4 < 5+ 2 6 + M 2 ⇔ N < M

Câu 2. (hsg 9 Bế
Bến Tre 20222022-2023 )
a) Tính giá trị biểu thức: A = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5 .
b) Rút gọn biểu thức: B =

x −5+ 2 x + 6 x +9
2022
. ( x > 0 ) và tìm x sao cho B =
.
2023
x+3 x +2

Lời giả
giải
a) A = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5 =

5+ 3+ 5− 3
− 2.
2

=

(

8 + 2 15
8 − 2 15
+
− 2. 6 − 2 5
2
2

)

5 −1 = 2 .

b) Với x > 0 , khi đó ta có:

(

x +3
x−5+2 x+6 x +9 x−5+2
=
B=
x+3 x +2
x+3 x +2
=

x + 2 x +1
=
x+3 x +2

B=

2022
⇔
2023

(
(

)

)(

2

x−5+2
=

x−5+2

x +3

x+3 x +2

=

(

x +3

)

x+3 x +2

2

x +1

x +1

)

x +2

)

=

x +1
.
x +2

x + 1 2022
=
⇔ 2023 x + 2023 = 2022 x + 4044 ⇔ x = 2021
x + 2 2023

⇔ x = 20212 ⇔ x = 4084441 (nhận).

Vậy, với x > 0 thì B =

x +1
2022
và B =
tại x = 4084441 .
2023
x +2


Câu 3. (hsg 9 Hòa Bình 2022biểu thức: P = 
2022-2023 )Cho
)

x
x  2
x−2 
+
 :  +
 (với x >
 x −1 x −1   x x x + x 

0 và x ≠ 1)
1. Rút gọn biểu thức P, từ đó tìm giá trị của x sao cho P = 4 .
2. Tính giá trị của biểu thức P khi x =

2
.
2− 3

Lời giả
giải
1)

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 2

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023


x
x  2
x−2 
P = 
+
 :  +

 x −1 x −1   x x x + x 

=

x ( x + 1) + x 2( x + 1) + x − 2
:
x( x + 1)
( x − 1)( x + 1)

=

x+2 x
2 x+x
:
( x − 1)( x + 1) x( x + 1)

=

x+2 x
x( x + 1)
=
.
( x − 1)( x + 1) 2 x + x

x
= 4 x−4 x +4=0 
x −1

P=4

(

x −2

)

2

x
x −1

=0 x =4

x = 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x = 4 thì P = 4

2) Khi x =
Thay x =

2
2(2 + 3)
=
= 4+2 3 =
2 − 3 (2 − 3)(2 + 3)

(

)

(

)

2

3 +1 .

2

3 + 1 vào biểu thức P và rút gọn ta được: P =

6+4 3
3

Câu 4. (hsg 9 Hả
Hải Phòng 20222022-2023 )
a) Rút gọn biểu thức
 a − a2 − b2 a + a2 − b2
A=
−
 a + a 2 − b 2 a − a 2 − b2


 4 a 4 − a 2b 2
(với a > b > 0 ).
:
2

b


1 3 − 6 + 6 + 6 + ... + 6
5
(trong đó biểu thức chứa căn có 2023 dấu
<
<
6
27
3 − 6 + 6 + ... + 6
căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số).

b) Chứng minh rằng

Lời giả
giải
a)

Với

ta

a > b >0
2

2

a − a − b ) − (a + a − b )
(
=
.
a
−
a
−
b
a
+
a
−
b
)(
) 4
(
2

2

2

2

2

2

2

có



 a - a 2 - b 2 a + a 2 - b 2  4 a 4 - a 2b 2
A=
:
a + a 2 - b 2 a - a 2 - b 2 
b2

2

b2
a 4 − a 2b 2

−4 a a 2 − b 2
b2
a  − 1 khi a > 0
=
.
=
−
=
b2
a  1 khi a < 0
4 a a 2 − b2

b) Đặt A =

3 − 6 + 6 + 6 + ... + 6
3 − 6 + 6 + ... + 6

và a = 6 + 6 + ... + 6 (Với 2023 dấu căn).
suy ra a 2 − 6 = 6 + 6 + ... + 6 (Với 2022 dấu căn)

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 3

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

Và A =

3− a
1
=
2
3 − ( a − 6) 3 + a

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

(1)

Ta có a < 6 + 6 + ... + 6 + 3 (Với 2023 dấu căn)

 a <3 

1
1
<
6 3+ a

( 2)

Ta có 2, 4 < 6 < a 

1
1
5
<
=
( 3)
3 + a 3 + 2, 4 27

Từ ( 2 ) và ( 3) suy ra

1
5
< A< .
6
27

Câu 5. (hsg 9 Kon Tum 2022gọn biểu thức
2022-2023 )Rút
)
 a+3 a
 a −1

A=
− 2
+ 1 − a , với a ≥ 0 và a ≠ 1 .
 a +3


 a −1 

Lời giả
giải
 a+3 a
  a −1

A=
− 2
+ 1 − a


 a +3
  a −1 
 a a +3
 a + 1 a − 1



=
− 2 
+ 1 − a
a +3
a −1







(

=

(

a −2

)(

)

(

)(

)

)

a + 2 − a = a − 4 − a = −4 .

Câu 6. (hsg 9 Lai Châu 2022biểu thức:
2022-2023 )Cho
)
1
x−3
2
x+ 2


P=
−
−
 , x ≥ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
 
x −1 − 2   2 − x
2 x − x 
 x − x −1
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 3 − 2 2 .

Lời giả
giải
1
x−3
2
x+ 2


−
−
a) Ta có: P = 



x − 1 − 2   2 − x
2 x − x 
 x − x −1


x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2 
2
x+ 2

=
−
−
 x − x +1
 2 − x
x −1 − 2
x 2− x



(

(



x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2 
2
x+ 2

=
−
−
 x − x +1
 2 − x
x −1 − 2
x 2− x



(

)






)






)
)

(

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 4

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

=

(

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

) 2 xx − 2 x− − x 2 =
(
)

2− x
x

x + x −1 − x −1 − 2 .

(

b) Với x = 3 − 2 2 =

)

2

2 −1

2 − 2 +1
= 2 +1
2 −1

= 2 −1  P =

Câu 7. (hsg 9 Lạ
biểu thức:
Lạng sơn 20222022-2023 )Cho
)

x
x − x −1  x + 3
x − 10 
P = 
−
−
 : 
 , với x > 0, x ≠ 9 .
x
−
3
x
−
3
x
x
+
1
x
−
2
x
−
3

 


a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P khi x = 7 + 4 3 .

Lời giả
giải
a) Với x > 0, x ≠ 9 , ta có:

x
x − x −1  x + 3
x − 10 
P = 
−
−
 : 

x − 3 x   x + 1 x − 2 x − 3 
 x −3


x
x − x −1
=
−
 x −3
x x −3


(

)

(

 
: x +3 −
  x +1
 

):(

x. x − x − x − 1
=
x

=

(

x −3

x − x + x +1
x

(

x −3

:

)

) (

x +3

)(

(

)(

x +1

)(

x +1

)

)

)

x − 3 − ( x − 10 )

)(

x −3

(
Vậy với x > 0, x ≠ 9 thì P =

(

x +1

x − 9 − x + 10



x −3 


x − 10

x −3

x +1

=
x

)

x +1
x

)

(

x −3

)

(
.

)(

x +1

x −3

1

)=(

)

2

x +1
x

2

.

b) x = 7 + 4 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

 x = 7+4 3 = 4+4 3 +3 =

(
P=

2

) = (2 +

x +1
x

2

(2 + 3)

2

= 2+ 3 = 2+ 3.

2

) = ( 3 + 3 ) .( 2 − 3 ) = (12 + 6 3 )( 2 − 3 ) = 6 ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 6 .
4−3
1
3
( 2 + 3 )( 2 − 3 )

3 +1

2+

Vậy P = 6 khi x = 7 + 4 3 .

Câu 8. (hsg 9 Ninh Thuậ
Thuận 20222022-2023 )
1) Tính tổng: A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22022 + 22023 .
1

2) Chứng minh rằng số: x = 3 7 + 5 2 −
3

là nghiệm của phương trình: x3 + 3x − 14 = 0 .

7+5 2

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 5

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Lời giả
giải
1) Tính tổng: A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22022 + 22023 .

A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22022 + 22023
2 A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22023 + 22024
 A = 2 A − A = ( 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22023 + 22024 ) − (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22022 + 22023 )

= 22024 − 1 .
Vậy A == 22024 − 1 .
1

2) Chứng minh rằng số: x = 3 7 + 5 2 −
3

là nghiệm của phương trình: x3 + 3x − 14 = 0

7+5 2

Ta có:
1

x = 3 7+5 2 −
3

=

3

7+5 2

(1 + 2 )

1

3

−
3

(1 + 2 )

3

= 1+ 2 −

1
1+ 2

= 1+ 2 −

2 −1
2 −1

= 1+ 2 − 2 +1 = 2

Với x = 2 thì x3 + 3x − 14 = 23 + 3.2 − 14 = 8 + 6 − 14 = 0 .
1

Vậy: x = 3 7 + 5 2 −
3

là nghiệm của phương trình: x3 + 3x − 14 = 0 .

7+5 2

Câu 9. (hsg 9 Quả
gọn biểu thức
Quảng Ninh 20222022-2023 )Rút
)
: P=

a +2
5
1
, với a ≥ 0, a ≠ 4
−
+
a +3 a+ a −6 2− a

Lời giả
giải

a) P =

a−4

(

) (
(
a − a − 12
=
=
( a + 3)( a − 2) (
a +3

)(

−

a −2

5

a +3

−

)( a − 2) ( a + 3)(
a + 3)( a − 4 )
a −4
=
a −2
a + 3)( a − 2 )
a +3

a −2

2
Câu 10. (hsg 9 Đắ
gọn biểu thức
Đắk Lắ
Lắk 20222022-2023 )Rút
)

)

12 + 24 ( 2 + 3)2 − 5 8 − 4 2
−
−
.
54 + 108
216
6−3 2

Lời giả
giải
Ta có:

(
)=2 ; (
3 (2 + 2 ) 3

2 3 2+ 2

2 12 + 24
=
54 + 108 3

2+ 3

)

216

2

−5
=

2 6 1 8−4 2 4
= ;
=
6 6 3 6−3 2 3

Do đó,

24 (
−

2 12 +
54 + 108

2+ 3

)

2

−5 8− 4 2
−
= −1
216
6−3 2

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 6

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Câu 11. (hsg9 Bình Dương
Dương 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
A=

x2 − x x + x − 1 x x −1 x + 1
+
+
với x > 0, x ≠ 1
x −x x
x− x
x

1. Chứng minh rằng : A > 4
2. Với giá trị nào của x thì biểu thức B =

6
nhận giá trị nguyên.
A

Lời giả
giải
1. Với x > 0, x ≠ 1 , ta có:

x2 − x x + x − 1 x x −1 x + 1
A=
+
+
x −x x
x− x
x

(
x(

x − 1)( x + x + 1) x + 1
)
(
=
+
+
x
x − 1)( x + 1)
x ( x − 1)
−
( x − 1)( x x + 1) + ( x + x + 1) + x + 1
=
x
x
− x ( x − 1)( x + 1)
− ( x + 1)( x − x + 1) ( x + x + 1) x + 1
=
+
+
x
x
x ( x + 1)
x −1 + x −1

x x

=

=

−x + x −1 x + x + 1 x + 1
+
+
x
x
x
x + 2 x +1
x

= x+

1

+2

x

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm
Dấu “=” xảy ra khi

x=

1
x

x,

1
x

ta được A ≥ 2 + 2 ⇔ A ≥ 4.

⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy A > 4 với x > 0, x ≠ 1 (đpcm)
2. Ta có: B =

6
6 x
=
=
A x + 2 x +1

6 x

(

)

x +1

2

Do x > 0, x ≠ 1 nên B > 0 , mà A > 4 
Ta có 0 < B <

6 6 3
3
< = B<
A 4 2
2

x + 2 x +1
3
và B ∈ ℤ nên B = 1 suy ra A = 6 
= 6  x − 4 x + 1 = 0 (1)
2
x

Đặt t = x , ta được phương trình ẩn t: t 2 − 4t + 1 = 0 (2)
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 7

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Giải phương trình (2) ta được t1 = 2 + 3 (nhận) ; t1 = 2 − 3 (nhận)
Với t1 = 2 + 3 , ta có

x = 2 + 3  x = 7 + 4 3 (nhận)

Với t2 = 2 − 3 , ta có

x = 2 − 3  x = 7 − 4 3 (nhận)

{

}

Thử lại ta thấy x ∈ 7 + 4 3; 7 − 4 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

{

}

Vậy x ∈ 7 + 4 3; 7 − 4 3 thì biểu thức B =

6
nhận giá trị nguyên.
A

Câu 12. (hsg9 Bình Phư
Phước 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
 x −3
x +2
9− x   3 x −9 
+
−
P = 
 : 1 −

x − 9 
2
−
x
3
+
x
x
+
x
−
6

 
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 − 3 − 13 − 48 .

Lời giả
giải
x ≥ 0

a) P xác định ⇔  x ≠ 4
x ≠ 9

 x −3
x +2
x −9   x −3 x 
P = 
+
+
:

x + 3 x + x − 6   x − 9 
 2− x
 x −3
x +2
x −3
x
P = 
+
+
 :
x +3
x −2 x +3
 2− x
=

x +2
x
:
=
x +3 x +3

x +2
x

(

)

b) Ta có x = 3 − 3 − 13 − 48 = 3 − 3 − 2 3 − 1 = 3 −

P=

(

)

3 −1 = 1

1+2
=3
1

Câu 13. (hsg9 Bắc Giang 20222022-2023)
2023)Rút gọn biểu thức


x
2x − x + 1 
1
x
1

P = 
−
+ + 2 với x > 0; x ≠ .
 . x x +

 2 x − 1
4x − 1  
2
4
x

Lời giả
giải
Với x > 0 và x ≠

1
, ta có:
4

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 8

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP



P= 





=
 2


=
 2


(
(

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

 
 .  x x + x  + 
2  
2 x −1 2 x + 1
2 x − 1 2 x + 1  

 
2
2x + x
2x − x +1
. x . 2 x +1 +
−
x + 1 2 x −1
2 x + 1 2 x −1   2
 

2 x −1
 . 2 x +1  x + 1 
2

x
x +1 2 x −1 



(

)

x 2 x +1

(

)(

2x − x +1

−

) (

)(

) (

)(

)

)(

)

)(

(

(

)

(

)

1

+ 2 
x

x +1 


x


)

)

x x +2
x 1
=
.
+
2
2 x
x
KL
=

Câu 14. (hsg9 Bắc Kạ
Kạn 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
 3 x + x + 14
P=
+
x
−
2
x
−
3


x +3 3 x +2
x
−
:
x +1
x −3  x + x

( x > 0, x ≠ 9 ) .

Rút gọn biểu thức P và tính giá trị của biểu thức P khi x = 13 + 6 2 + 9 + 4 2 .

Lời giả
giải
Với x > 0, x ≠ 9 . Ta có

) (
( x + 1)( x − 3)
( x − 1)(
1
x−4 x +3
P=
:
=
( x + 1)( x − 3) x + 1 ( x + 1)(
3x + x + 14 +

P=

(

x +3

)(

x −3 − 3 x +2

)(

):

x +1

x
x

).
(
x − 3)

x −3

(

)

x +1

)

x +1 = x −1

Vậy với x > 0, x ≠ 9 thì P = x − 1 .
Ta có

x = 13 + 6 2 +

(

= 13 + 6

(

(

)

2 2 +1

)

2

2 +1

)

2

2

= 13 + 6 3 + 2 2

(

)

2

= 19 + 6 2 = 3 2 + 1 .

Với x = 3 2 + 1 ta có: P = x − 1 =

(3

)

2

2 + 1 − 1 = 3 2 + 1 − 1 = 3 2.

Câu 15. (hsg9 Bắc Ninh 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
1   2x + x −1 2x x + x − x 
1
 1
P=
−
−
 với x ≥ 0 và x ≠ 1, x ≠ ⋅
 :  1 − x
4
x 
1+ x x
 1− x

Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để P =

7
⋅
3

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 9

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Lời giả
giải
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, x ≠

1
ta có
4


 
x 2 x −1 1+ x
x −1+ x   2 x −1 1+ x
P=
:
+
 x 1− x   1− x 1+ x
1+ x x − x +1

 

(
) (

(


2 x −1
P=
 x 1− x


(


2 x −1
P=
 x 1− x


(

P=

)(
)(

) (
)(
) ( )(

) 
) 

  2 x −1
x 2 x −1 
:

+
  1− x
x − x +1 
 


(
) (

) (
) (

  2 x −1 x − x + 1+ x − x
:
 
1− x x − x +1
 

(

)

)
)

)(

(

)(

)

) 



x − x +1
⋅
x

 x =3
x = 9
x − x +1 7
7


P= ⇔
= ⇔ 3x − 10 x + 3 = 0 ⇔
⇔
( thỏa mãn ).
 x=1
x = 1
3
3
x
9

3


 1
Vậy x ∈ 9;  ⋅
 9

Câu 16. (hsg9 Gia Lai 20222022-2023)
2023)
a) Chứng minh rằng:

1 1
1
1
(với k > 0 ).
+ 2+
= 1+
2
2
1 k
(k + 1)
k (k + 1)

Từ đó hãy tính giá trị biểu thức:

S=

1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
+
+
.
2
2
2
1 2 3
1 3 4
1 2022 2023
2023

b) Tìm tất cả các cặp số ( x ; y) nguyên thỏa mãn: x 2 − xy + x + y + 5 = 0 .

Lời giả
giải
a) Ta có

1 1
1
+ 2+
2
1 k
(k + 1) 2

=

k 2 (k + 1) 2 + (k + 1) 2 + k 2
k 2 (k + 1) 2

=

k 4 + 2k 3 + k 2 + k 2 + 2 k + 1 + k 2
k 2 (k + 1)2

=

k 4 + 2 k 3 + 2k 2 + k 2 + 2 k + 1
k 2 (k + 1)2

=

(k 2 + k + 1) 2 k 2 + k + 1 k ( k + 1) + 1
1
=
(đpcm).
=
= 1+
2
2
k (k + 1)
k (k + 1)
k ( k + 1)
k ( k + 1)

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 10

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

* Ta có:
1 1
1
1
1
1
+ 2+
= 1+
= 1+ −
2
2
1 k
(k + 1)
k (k + 1)
k k +1

Khi đó:

S=

1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
+
+
2
2
2
1 2 3
1 3 4
1 2022 2023
2023

= 1+

1 1
1 1
1
1
1
− + 1 + − + ... + 1 +
−
+
2 3
3 4
2022 2023 2023

= 2021 +

1
= 2021, 5 .
2

b) Ta có : x 2 − xy + x + y + 5 = 0 ⇔ y ( x − 1) = x 2 + x + 5 (*)
Với x = 1 không thỏa mãn đẳng thức (*) .
x2 + x + 5
7
Khi đó (*) ⇔ y =
⇔ y = x+2+
x −1
x −1

Vì x, y nguyên nên suy ra: ( x − 1) là ước nguyên của 7.
Suy ra: ( x − 1) ∈ {±1; ±7}
* x − 1 = 1  x = 2  y = 11 .
* x − 1 = −1  x = 0  y = −5 .
* x − 1 = 7  x = 8  y = 11 .
* x − 1 = −7  x = − 6  y = − 5 .
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa đề: (2;11), (0; −5), (8;11), ( −6; −5) .

Câu 17. (hsg9 Hà Giang 20222022-2023)
2023)
2
3  1
 1
+
−
a) Rút gọn biểu thức P = 
. Với x > 0 rút gọn và tìm giá trị lớn
.
 x +1 x − x +1 x x +1 x
nhất của biểu thức P.
b) Cho x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 . Tính giá trị của biểu thức Q = x 3 − 3 x − 17

(

)

2023

Lời giả
giải

(

)

x − x +1+ 2 x +1 − 3 1
2
3  1
 1
=
.
+
−
.
a) Ta có: P = 

x
x +1 x − x +1
 x +1 x − x +1 x x +1 x

(

=

x+ x

(

)(

)

.

x +1 x − x +1

+) Vì P =

1
x − x +1

=

)(

)

1
1
1
=
. Vậy P =
x x − x +1
x − x +1
1
2


1 3
 x −2 + 4



≤

4
. Dấu "=" xảy ra khi
3

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

x−

1
1
=0⇔ x=
2
4

Trang 11

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

Vậy: Max P =

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

4
1
khi x =
3
4

b) Từ x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5  x 3 = 18 + 3 3 9 + 4 5 9 − 4 5  3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 



(

)(

 x 3 = 18 + 3 x  x 3 − 3 x = 18 . Khi đó: Q = x 3 − 3 x − 17

(

)

2023

)

= (18 − 17 )

2023

=1

Câu 18. (hsg9 Hà Nam 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
a + 1 a a −1 a2 − a a + a − 1
P=
+
+
với a > 0,a ≠ 1.
a
a− a
a −a a
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm điều kiện của a để biểu thức Q =

8
nhận giá trị nguyên.
P

Lời giả
giải
a) Rút gọn biểu thức P.
3

P=

a +1
+
a

( a ) − 1 + (1 − a ) ( −1 − a + a )
a (1 − a )
a ( a − 1)

=

a + 1 a + a + 1 −1 − a + a
+
+
a
a
a

=

a + 2 a +1
a

b) Tìm điểu kiện của a để biểu thức Q =
Có P = a +

1
+2≥2
a

P=4⇔ a =

a.

8
nhận giá trị nguyên.
P

1
+ 2 = 4 (Theo BĐT Côsi)
a

1
⇔ a = 1 (loại do a ≠ 1 )
a

Vậy P > 4∀a > 0, a ≠ 1.

0<

8
<20P

Do đó để Q ∈ ℤ ⇔ Q = 1 ⇔ P = 8 ⇔

( a)

2

− 6 a +1 = 0

 a = 3− 2 2
 a = 17 − 12 2
(thỏa mãn điều kiện)
⇔
⇔
 a = 3 + 2 2
 a = 17 + 12 2

Vậy a = 17 ± 12 2 là các giá trị cần tìm

Câu 19. (hsg9 Hải Dương 20222022-2023)
2023)

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 12

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

23

1) Cho x =

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

. Tính giá trị của biểu thức P =

31 + 12 3

x 4 + 5 x 3 − 20 x 2 − 27 x + 30
x 2 + 4 x − 21

2) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c + 2 abc = 1 . Chứng minh rằng

a(1 − b)(1 − c) + b(1 − c)(1 − a) + c(1 − a)(1 − b) − abc = 1

Lời giả
giải
23

1) Ta có x =

23

=

(3

31 + 12 3

3+2

)

2

=

(

)

23 3 3 − 2
23
=
=3 3−2
23
3 3+2

 x + 2 = 3 3  x 2 + 4 x + 4 = 27  x 2 + 4 x − 23 = 0
P=

P=

P=

x 4 + 5 x 3 − 20 x 2 − 27 x + 30
x 2 + 4 x − 21

x 2 ( x 2 + 4 x − 23) + x ( x 2 + 4 x − 23) − ( x 2 + 4 x − 23) + 7

(x
0 ⋅ ( x 2 + x − 1) + 7
0+2

=

2

+ 4 x − 23) + 2

P=

(x

2

+ 4 x − 23 )( x 2 + x − 1) + 7

(x

2

+ 4 x − 23) + 2

7
2

2) Do a, b, c > 0 và a + b + c + 2 abc = 1

 a + 2 abc + bc = 1 − b − c + bc = (1 − b )(1 − c )
 a (1 − b )(1 − c ) = a 2 + 2a abc + abc =

(a +

abc

)

2

= a + abc

Tương tự:

 b (1 − c )(1 − a ) = b + abc ;
c (1 − a )(1 − b ) = c + abc
Do đó:
a (1 − b)(1 − c) + b(1 − c)(1 − a ) + c(1 − a )(1 − b) − abc
= a + b + c + 2 abc = 1

  1 + a3
a
−
a

.


3

 a −1 a + a +1   1+ a



Câu 20. (hsg9 Hậu Giang 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức A = 

2a + 1

−

a) Tìm điều kiện của a để biểu thức A có nghĩa và rút gọn biểu thức A .
b) Tìm các giá trị của a để A =

3
.
4

Lời giả
giải
a) Tìm điều kiện của a để biểu thức A có nghĩa và rút gọn biểu thức A .
a ≥ 0
a ≥ 0
⇔
Điều kiện xác định:  3
.
 a − 1 ≠ 0 a ≠ 1
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 13

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023


 2a + 1
  1 + a3
a
Ta có: A = 
a
−
−



  1+ a
3

1
a
+
a
+
a
−
1




  1+ a 1− a + a

2a + 1
a



A=
−
− a
 a − 1 a + a + 1 a + a + 1 

1+ a




(

(

)
 2a + 1 − a ( a − 1) 
 (1 −
A=
 ( a − 1)( a + a + 1) 



A=



A=



(

)

)(

a +a− a

)


 1− 2 a + a
a −1 a + a +1 


2
a + a +1
 a −1 = a −1
a −1 a + a +1 

2a + 1 − a + a

(

)(

)(

)

)(

)

(

)

(

)

b) Tìm các giá trị của a để A =

3
.
4

49
3
7



a=
a −1 =
a=



3
16
4 ⇔
4⇔
a −1 = ⇔ 


3
1
4
a = 1
 a −1 = −
 a=



4
4
16

Ta có:

So với điều kiện a ≥ 0, a ≠ 1 , ta thấy a =

49
1
, a = thỏa điều kiện.
16
4

Câu 21. (hsg9 Khánh Hòa 20222022-2023)
2023)Rút gọn biểu thức

(
A=

)

3 −1 . 3 10 + 6 3
6+2 5 − 5

Lời giả
giải
Rút gọn biểu thức

(
A=

)

3 −1 . 3 10 + 6 3
6+2 5 − 5

(
A=

)

3 −1 . 3 10 + 6 3

=

(

) (
( 5 +1)

3 −1 . 3

2

6+2 5 − 5

Câu
P=

3

)

3 +1

− 5

=

(

) ( 3 +1) = 2
( 5 +1)− 5
3 −1 .

22. (hsg9 Ninh Bì
Bình 20222022-2023)
2023)Với

a≥0

và

a ≠ 1,

rút gọn biểu thức

a + a +1
1
a
+
+
.
a+ a −2
a −1 a + 2 a

Lời giả
giải
a + a +1
1
a
+
+
a+ a −2
a −1 a + 2 a
1
1
a
a + a +1
=
+
+
a+ a −2
a −1
a +2
a +2

Với a ≥ 0 và a ≠ 1, rút gọn biểu thức P =
P=

1
a + a +1
+
+
a+ a −2
a −1
a

(

)

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 14

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

=

a + a +1

(

)(

a −1

a +2

)

a + a +1

=

(
(
=
(

)(
a + 1)(
a − 1)(
a −1

Câu

+

1
1
+
a −1
a +2
a +2

+

) (
a + 2)
=
a + 2)
a +2

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

)(

a −1

a −1

+

a +2

) (

)(

a −1

a+3 a +2

=

a +2

) (

)(

a −1

a +2

)

a +1
.
a −1

23.

(hsg9

Quả
Quảng

Bình

20222022-2023)
2023)Cho

biểu

thức

 2
5 x
1 
x −1
A = 
−
+
.
 :
2
 2 x + 1 4x −1 2 x −1  2 x +1

(

)

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 .

Lời giả
giải
1
a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1 .
4

A=

x −1 2 x + 1 2 x +1
4 x − 2 − 5 x + 2 x + 1 (2 x + 1) 2
=
.
=
.
2 x −1 x −1
2 x −1
x −1
(2 x + 1)(2 x − 1)

Vậy A =
b)

1
2 x +1
với điều kiện x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1 .
4
2 x −1

Áp

dụng

hằng

đẳng

thức

(

(a + b)

)(

3

= a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) ,

ta

có

)

x3 = 20 + 14 2 + 20 − 14 2 + 3 3 20 + 14 2 20 − 14 2 .x

(

)(

)

⇔ x3 = 40 + 3 3 20 + 14 2 20 − 14 2 .x
⇔ x3 − 6 x − 40 = 0
⇔ ( x − 4 ) ( x 2 + 4 x + 10 ) = 0
⇔ x = 4 (do x 2 + 4 x + 10 > 0)

Thay x = 4 vào A ta được A =
Vậy A =

2 x +1 2 4 +1 5
=
=
2 x −1 2 4 −1 3

5
khi x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 .
3

Câu 24. (hsg9 Quả
Quảng Trị
Trị 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
2

2

1 
1


A =  x 2 + 2  + 2  x +  − 3: ( x 2 − x + 1) với x ≠ 0.
x 
x


a) Rút gọn biểu thức A.
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 15

:

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giả
giải
2

2

2

1 
1
1 
1 
1






a) Ta có  x 2 + 2  + 2  x +  − 3 =  x 2 + 2  + 2  x 2 + 2  + 1 =  x 2 + 2 + 1
x 
x
x 
x 
x







2

1
+1
x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 + x + 1
2
(
x4 + x2 + 1
x
 A= 2
=
=
=
x − x + 1 x 2 ( x 2 − x + 1)
x2
x 2 ( x 2 − x + 1)
x2 +

2

1 1
1 1 3 3
b) Viết lại A = 2 + + 1 =  +  + ≥ , ∀x.
x
x
 x 2 4 4

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = −2 ( tmdk )
Vậy MinA =

3
khi x = −2 .
4

Câu 25. (hsg9 Sóc Trăng 20222022-2023)
2023)Cho hai biểu thức
1  
x−2 
 2x +1
x + 16
A=
−
 : 1 −
 và B =
x −1   x + x +1 
x
 x x −1
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = A × B .

Lời giả
giải
a) Rút gọn biểu thức A .
ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1 .

1  
x−2 
 2x +1
A=
−
 : 1 −

x −1   x + x +1 
 x x −1

(
( x −1)( x +

) : (x+
x + 1)

2x +1 − x + x + 1

A=

A=

A=

2x + 1 − x − x −1

(

)(

x + x +1

x + x +1− x + 2

) (x+

x −1 x + x +1
x− x

:

)

x +1

x +3

)(
) ( x + x + 1)
x ( x − 1)
( x + x + 1)
A=
.
( x −1)( x + x + 1) x + 3
A=

(

:

)

x + 1 − ( x − 2)

x −1 x + x +1

x
x +3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = A × B .
Với x > 0; x ≠ 1 ta có:
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 16

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

x x + 16
.
x +3
x

T = A× B =

T=

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

x + 16

=

x − 9 + 25

x +3

=

(

x −3

)(

x +3

)

x + 3 + 25
x+3

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: T ≥ 2
Vậy MinT = 4 khi

25

x +3=

(

⇔

x +3

25

= x −3+

(

x +3

)

25

)

x +3 .
2

x +3

x +3

= x +3+

25
x +3

−6

− 6 = 10 − 6 = 4 .

= 25 ⇔ x + 3 = 5 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 (thỏa mãn).

Câu 26. (hsg9 Sơn La 20222022-2023)
2023)
a) Rút gọn biểu thức: A =

(

x +1

+

1+ 2 x − 2 x

x x+x+ x

)

3

b) Cho biểu thức: P = x + 12 x − 31

2023

2

+

2 x−x
1− x x

x − x

với x > 0, x ≠1.

.

Tính giá trị của biểu thức P tại x = 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5 .

Lời giả
giải
a) Với x > 0, x ≠1 , ta có:

x +1

A=

+

1+ 2 x − 2 x
2

+

2 x−x

x x+x+ x
x − x
1− x x
x +1
x−2 x
1+ 2 x − 2 x
+
+
A=
x ( x + x + 1)
x ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1)
=
=
=

=
=

(

)(

x +1

) (
) (
x ( x − 1)( x + x + 1)

x −1 + 1+ 2 x − 2 x + x x − 2 x

)

x −1 +1 + 2 x−2 x + x x −2 x
x ( x −1)( x+ x +1)
x x + x−2 x
x ( x −1)( x+ x +1)
x ( x −1)( x +2 )
x ( x −1)( x+ x +1)
x +2
x+ x +1

Vậy A =

x +2
, với x > 0, x ≠1
x + x +1
3

b) Ta có:

3

x = 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5 = 3 (1− 5 ) + 3 (1+ 5 ) = 1 − 5 + 1 + 5 = 2

Thay x = 2 vào biểu thức P , ta được:

P = ( 23 + 12.2 − 31)

2023

= 12023 = 1

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 17

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Vậy với x = 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5 thì biểu thức P có giá trị bằng 1 .

Câu 27. (hsg9 Thanh Hóa 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
2 x 
1  9 x + 14
⋅ 1 +
với x ≥ 0 .
+
x +3 
x +2 x+3 x +2

P=

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên.

Lời giả
giải
2 x 
1  9 x + 14
⋅ 1 +
với x ≥ 0 .
+
x +3 
x +2 x+3 x +2

Cho biểu thức P =

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên.
Điều kiện x ≥ 0 . Ta có:

P=

=

2 x 
1  9 x + 14
⋅ 1 +
=
+
x +3 
x +2 x+3 x +2

)(
( x + 2)( x + 1) ( x + 2 )(
2 x + 11 x + 14

Vậy P =

=

(

x +2 2 x +7

)

( x + 1) +
( x + 1)( x + 2) (
2 x

)=2

x +1

9 x + 14
x +2

)(

)

x +1

x +7
x +1

2 x +7
với x ≥ 0
x +1

Ta có P =

2

(

)

x +1 + 5

5
, vì x ≥ 0 nên 0 <
x +1

= 2+

x +1

Do P ∈ N nên P ∈ {3; 4;5;6; 7} ⇔

5
≤ 5 suy ra 2 < P ≤ 7
x +1

5
 5 5 5 
∈ {1; 2;3; 4;5} ⇔ x + 1 ∈ 5; ; ; ;1 .
x +1
 2 3 4 

 3 2 1 
 9 4 1 
⇔ x ∈ 4; ; ; ; 0  ⇔ x ∈ 16; ; ; ; 0  .
 2 3 4 
 4 9 16 
 9 4 1 
Kết hợp với điều kiện ta thấy x ∈ 16; ; ; ; 0  là giá trị cần tìm.
 4 9 16 
 9 4 1 
Vậy để P có giá trị là số tự nhiên thì x ∈ 16; ; ; ; 0 
 4 9 16 

Câu 28. (hsg9 Tiề
Tiền Giang 20222022-2023)
2023) Cho biểu thức:
A = ( 3 − 1)( 3 + 1) ( 3 + 1)( 3 + 1)( 3 + 1)( 3 + 1)( 3 + 1) và B =
2

4

8

16

32

6+ 2 6 + 2 3 + 2 2 − 5+ 2 6 .

a) Rút gọn A và B .
b) Chứng tỏ A + B chia hết cho 9 .

Lời giả
giải
a) Ta có:

A = ( 3 − 1)( 3 + 1) ( 32 + 1)( 34 + 1)( 38 + 1)( 316 + 1)( 332 + 1)
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 18

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

A = ( 32 − 1)( 32 + 1)( 34 + 1)( 38 + 1)( 316 + 1)( 332 + 1)
A = ( 34 − 1)( 34 + 1)( 38 + 1)( 316 + 1)( 332 + 1) = ... = ( 332 − 1)( 332 + 1) = 364 − 1
B = 6+2 6 +2 3 +2 2 − 5+2 6

( 3) + ( 2 )

2

B=

2

(

2

B=

)

(

+ 12 + 2. 3. 2 + 2. 3.1 + 2. 2.1 −

3 + 2 +1 −

(

3+ 2

)

3+ 2

)

2

2

=

3 + 2 +1 − 3 + 2 = 3 + 2 +1− 3 − 2 = 1

b) Ta có: A + B = 364 − 1 + 1 = 364 = 32.362 = 9.362 ⋮ 9
Vậy A + B chia hết cho 9 .

Câu 29. (hsg9 Tuyên quang 20222022-2023)
2023) Rút gọn biểu thức
 2x +1

x
x−4 
P = 
−
 .  x −
 , với x ≥ 0, x ≠ 4.
x −2
 x x +1 x − x +1 

Lời giả
giải
Với x ≥ 0, x ≠ 4.

 2x +1

x
x−4 
P = 
−
 .  x −

x −2
 x x +1 x − x +1  

=



( x + 1)  . x x − 2 x − x + 4
x −2
( x + 1)( x − x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) 
( x − 2 ) .( x + 1) =
x − x +1
x x − 3x + 4
1
=
.
=
.
x +1
x −2
( x + 1)( x − x + 1) x − 2
2x +1

x

−

2

x −2

Vậy P = x − 2 Với x ≥ 0, x ≠ 4.

Câu 30. (hsg9 Vĩnh Long 20222022-2023)
2023)
a) Cho A = ( x 3 + 12 x − 31)

2023

3
3
.Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 − 8 5 + 16 + 8 5


x +2
x +3
x +2 
x 
b) Cho biểu thức : B = 
−
−
 :  2 −
 .
x
−
5
x
+
6
2
−
x
x
−
3
x
+
1

 


Rút gọn biểu thức

B và tìm các giá trị của x để 1 ≤ − 5
B

2

.

Lời giả
giải
a) Tính giá trị của biểu thức A
3
3
Ta có: x = 16 − 8 5 + 16 + 8 5

 x3 = 32 + 3 3 (16 − 8 5)(16 + 8 5).( 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5 )
⇔ x 3 = 32 − 12 x
Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 19

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

⇔ x 3 + 12 x − 31 = 1

A = ( x 3 − 12 x + 31)

2023

b) Rút gọn biểu thức

= 12023 = 1

B và tìm các giá trị của x để 1 ≤ − 5
B

2

ĐK: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9


x +2
x +3
x +2 
B = 
−
−
 :  2 −
x
−
5
x
+
6
2
−
x
x
−
3

 

x +3
x −3
x +2

=
+
−
 x −3
x −2
x −3
x −2


(

=

)(

(
) (

)(
)(

x 

x + 1 

) (
) (

)(
x − 3 )(

x +2

x −2   x +2
:

x − 2   x + 1 


)
)

1
x +1
x +1
.
=
x−4
x −2 x +2

1
5
5
x−4
≤− ⇔
≤ − ⇔ 2 x − 8 ≤ −5 x − 5
B
2
2
x +1

⇔ 2 x + 5 x − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤

1
1
1
⇔0≤ x ≤ ⇔0≤ x≤
2
2
4

Câu 31. (hsg9 Vĩnh Phúc 20222022-2023)
2023)Cho biểu thức
P=

x2
y2
x2 y2
−
−
.
( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y )

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn P = 2 .

Lời giả
giải
a)

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 20

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

x2
y2
x2 y 2
P=
−
−
( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y )
=

x 2 (1 + x ) − y 2 (1 − y ) − x 2 y 2 ( x + y )

( x + y )(1 + x )(1 − y )
x3 + x 2 − y 2 + y 3 − x 2 y 2 ( x + y )
=
( x + y )(1 + x )(1 − y )
( x + y )( x − y ) + ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) − x2 y 2 ( x + y )
=
( x + y )(1 + x )(1 − y )
( x + y ) ( x − y + x2 − xy + y 2 + x2 y 2 )
=
( x + y )(1 + x )(1 − y )
( x + y )(1 − y ) ( x2 + x2 y + x − y )
=
( x + y )(1 + x )(1 − y )
( x + y )(1 − y )(1 + x )( x + xy − y )
=
( x + y ) (1 + x )(1 − y )
= x + xy − y
b) P = 2  x + xy − y = 2  ( x − 1)(1 + y ) = 1
Vì x, y nguyên nên x − 1; y + 1 ∈ ℤ  x − 1; y + 1 ∈ Ư ( 2 ) = {±1; ±2} .

x −1 = 1 x = 2
⇔
+
 y +1 = 1  y = 0
 x − 1 = −1
x = 0
⇔
+
 y + 1 = −1  y = −2
Vậy ( x; y ) ∈ {( 2; 0 ) ; ( 0; −2 )}

Câu 32. (hsg9 Yên Bái 20222022-2023)
2023) Rút gọn biểu thức S =

2- 3
6-3 3
.
+
2
2

Lời giả
giải
Ta có:
2

2- 3
6-3 3
+
=
2
2

S=

=

3- 3
3

(

)

2

( 2 - 3 ) + (6 - 3 3 ) = 2 - 3 + 6 - 3 3 = 2 - 3 + 6 - 3 3
3 −1 3 - 3
3 −1
2(2 - 3)
2 (6 - 3 3 )
3 ( 3 − 1)

=1

3 −1

Câu 33. (hsg9 Đồng Tháp 20222022-2023)
2023)
1. Tính giá trị của biểu thức P =

(

6 − 2 5. 6 + 2 5

)

1+ 5

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 21

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

2. Cho biểu thức H =

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

x x −1 x x + 1 x + 4
−
+
với x ≥ 0; x ≠ 1
x− x x+ x
x

a) Rút gọn biểu thức H .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H .

Lời giả
giải
1. P =

(

6 − 2 5. 6 − 2 5

)= (

2

) (

5 −1 .

1+ 5

)

2

5 +1
...