VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de2]
Câu 1.

(3,0 điểm)
 1
  1
2 x −2
2 
1. Rút gọn biểu thức A = 
−
−
 : 
 vớ i 0 ≤ x ≠ 1
 x + 1 x x + x − x −1   x −1 x −1 

2. So sánh hai số M = 3 − 2 2 + 3 10 + 6 3 và N = 3 9 + 80 + 3 9 − 80
Câu 2.

(3,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1.

x 2 48
 x 4
+ 2 = 10  − 
3 x
3 x

 x −1
y
+
=2

x −1
2.  y
( x > 1, y > 0).

x + y = 2

Câu 3.

(3,0 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn 2 x 2 + y 2 + 3xy − 3x − 3 y + 11 = 0 .
2. Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a + b + c = 4046 . Chứng minh rằng
P = ( a + b)(b + c )(c + a ) − 6 abc chia hết cho 14.

Câu 4.

(4,0 điểm)
1. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc parabol (P) y = − x 2 có tung độ y A = −4 . Tìm
toạ độ các điểm B thuộc (P) sao cho tam giác OAB vuông tại B.

2. Cho các số x , y , z thoả mãn 1 ≤ x, y, z ≤ 3 và x 2 + y 2 + z 2 = 2( x + y + z + 1) . Chứng minh bất
đẳng thức 11 ≤ xy + yz + zx ≤

(

)

2

3 + 5 . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5. (5,0 điểm)
Cho điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MC của đường tròn (O) (A, C là
các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MBD của (O) sao cho B nằm giữa M và D, BC < BD.

1. Chứng minh

MC BC
và AD.BC = AB.CD .
=
MD CD

2. Trên đoạn BD lấy điểm F sao cho FAD = BAC . Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng
dạng và AD.BC + AB.CD = AC.BD .
3. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại N và cắt đường thẳng CD tại P; ND cắt đường tròn (O)
tại E. Chứng minh A, E, B thẳng hàng.
Câu 6.

(2,0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài (O). Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn
(O) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến AED (E nằm giữa A và D) không đi qua O cắt BC ở

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 1

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

F. Hai tia CE và DB cắt nhau ở G, trên tia đối của tia BC lấy điểm H sao cho tứ giác CDHG nội
tiếp đường tròn.
1.

1
1
2
+
=
AD AE AF

2. Khi tam giác CDG có diện tích bằng 1, chứng minh S DBE ≤

DE 2
4 BC 2

---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 2

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bắc Giang

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de3]
I. Trắc nghiệm
Câu 1. Cho đường tròn tâm O có bán kính R dây cung AB = 6 . Biết

AOB = 120° (như hình vẽ). Diện tích S của phần hình tròn giới hạn bởi
cung nhỏ AB và dây AB bằng

(

)

(
)
D. S = 3 (3π − 2 ) .

A. S = 3 3π − 3 .

B
A

S

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (7 − m ) x + m + 2 đồng biến trên ℝ .
B. 8 .

A. 11 .
Câu 3.

120°

B. S = 2 3π − 3 .

C. S = 4π − 3 3 .
Câu 2.

O

C. 9 .

D. 12 .

x + my = 3m
Hệ phương trình 
( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với

mx − my = m 2 − 2

−2023 < m ≤ 2023 để hệ có nghiệm duy nhất (x 0 ; y 0 ) thỏa mãn x 02 − 2x 0 − y 0 > 0 ?

A. 2023 .
Câu 4.

B. 4043 .

C. 2022 .

D. 4044 .
2

Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m , biết rằng phương trình x − 3mx − 2m = 0 có hai
nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn
A. − 3 .

B.

x 12 + 3mx 2 + 6m
m2

−56
.
23

C.

+

m2
= 4.
x 22 + 3mx 1 + 6m

2
.
17

D.

256
.
153

Câu 5.

Khi x = 1 + 3 2 thì biểu thức P = x 4 − 5x 3 + 9x 2 − 12x + 6 có giá trị bằng a + 3 b . Giá trị
của 2a − b là
A. 48 .
B. 6 .
C. 36 .
D. 0 .

Câu 6.

Cho hai điểm B,C thuộc đường tròn (O ) với BOC = 100° . Các tiếp tuyến của đường tròn (O )
tại B và C cắt nhau tại A . Số đo góc ABC bằng
A. 50° .
B. 45° .
C. 40° .

Câu 7.

2023

Cho biểu thức f (x ) = (2x 3 − 21x + 2022)
x = 37+

Câu 8.

D. 55° .

. Tính giá trị của biểu thức

f (x ) tại

49
49
+ 37−
8
8

A. 20252023 .
B. − 1 .
C. 1 .
D. 20502023 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi M (x 0 ; y 0 ) là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng
d : y = mx − m − 2 (với m là tham số). Khi độ dài đoạn thẳng OM đạt giá trị lớn nhất, tính

P = x 0 + 2y 0
A. P = − 3 .
Câu 9.

B. P = 1 .

C. P = 2 .

D. P = − 2 .

x + my = m + 1
Biết hệ phương trình 
(với m là tham số) vô nghiệm. Giá trị của m là

mx + y = 3m − 1


Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 3

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

A. m = ± 1 .

B. m = 0 .

C. m = − 1 .

D. m = 1 .

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , AC = 10 3 cm. Gọi M là trung điểm của BC . Khi tam giác
AMB là tam giác đều, tính chiều cao của tam giác ABC kẻ từ A .

A. 10 cm .

B. 6 3 cm .

C. 9cm .

D. 5 3 cm .

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độOxy , gọi A,B là hai điểm thay đổi thuộc hai tia Ox,Oy tương ứng sao
cho ba điểm A,B và M (2;1) luôn thẳng hàng. Diện tích tam giác OAB có giá trị nhỏ nhất là
A. 6 .
Câu 12. Biết rằng A =

B. 4 .

C. 8 .

59

(

)(

D. 2 .

)

= a 3 + b 5 + c 7 d 15 − 1 với a, b, c, d là các số nguyên.
3+ 5+ 7
Tính giá trị của biểu thức a + b + c + d
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 0 .
Câu 13. Cho tam giác ABC cân tại A với AB = 9, BC = 12 và M là trung điểm của đoạn BC . Gọi H

là chân đường cao của tam giác AMB kẻ từ M ; I , K lần lượt là trung điểm của đoạn MH , BH
. Đường thẳng AI cắt MK tại E , giá trị của AI .AE bằng
B. 34 .
C. 33 .
D. 35 .
A. 32 .
Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độOxy , gọi M (x 0 ; y 0 ) là giao điểm của hai đường thẳng y = 2x + 3 và
y = −x + 1 . Giá trị của biểu thức x 0 + 4y 0 bằng

−7
.
3
Câu 15. Cho đường tròn tâm O có bán kính R = 16 cm dây cung AB = 20 cm . Trên dây AB lấy điểm
A. − 2 .

B. 6 .

C. − 1 .

D.

C sao cho AC = 8 cm . Gọi D là hình chiếu vuông góc của C lên đường kính AE của đường

tròn tâmO . Tính độ dài đoạn thẳng AD .
A.

9
cm .
2

B.

11
cm .
2

C. 6cm .

D. 5cm .

Câu 16. Phương trình x 2 − 4x + m − 1 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0 khi và
chỉ khi
A. m > 0 .
B. 1 < m < 5 .
C. 1 < m ≤ 5 .
D. m < 5 .

(

Câu 17. Cho hai đường tròn O ; 6 cm

)

(

và O '; 8 cm

)

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và

OAO ' = 90° . Đường thẳng d qua A cắt đường tròn tâm O và đường tròn tâm O ' lần lượt tại
C và D (C , D đều khác A ). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng CD là
A. 20cm .
B. 30cm .
C. 24cm .
D. 25cm .
Câu 18. Cho đường tròn tâm O có bán kính R và hai dây cung AB,CD vuông góc với nhau tại I . Biết
IC = 4, ID = 12, IB = 6 . Tính R

A. R = 8 .

B. R = 66 .

C. R = 63 .

D. R = 65 .

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y = mx và parbol (P ) : y = x 2 ( m là tham
số). Tính tích tất cả các giá trị của m để d cắt (P ) tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng
A. − 4 .

6
B. 2 .

C. − 2 .

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

D. − 6 .

Trang 4

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023
2

Câu 20. Cho các số thực x , y, z thỏa mãn (3x − y ) + x + 11 + 8 x − 5 + x + y + z = 4 . Giá trị của
biểu thức P = x + y + z bằng
A. P = 30 .
II. Tự luận
Câu 1. (6,0 điểm)

B. P = 31 .

C. P = 15 .

D. P = 20 .



x
2x − x + 1 
1
x


−
+ + 2 với
1. a) Rút gọn biểu thức P = 
 .x x +

4x − 1  
2
 2 x − 1
x

x > 0; x ≠

1
.
4

(

)(

)

b) Cho hai số thực x , y thỏa mãn x + x 2 + 1 y + y 2 + 1 = 2 . Tính
Q = x y2 + 1 + y x 2 + 1 .

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 − 2x + m + 2 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x1; x 2 thỏa mãn x 12 = 2x 2
3. Giải phương trình 4 (x − 2) x + x 2 − 1 = 9 (x 2 − 3x + 2) 2x − 2 .
Câu 2.

(3,0 điểm)
1. Cho hai đa thức A (x ) = 8x 3 − 4x 2 + 3x + 1 và B (x ) = 2x 3 − 4x 2 + 5x + 4 . Biết
A (m ) = 2 và B (n ) = 5 , với m ; n là hai số thực. Chứng minh rằng: 2m + n = 1.

2. Cho các số nguyên dương x , y thỏa mãn

Câu 3.

x 2 + 2x − 1
là số nguyên. Chứng minh rằng x .y là
xy + y + 2

số chính phương.
(6,0 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R ) và (O '; R ') ( với R > R ' ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B . Đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai đường tròn (O ; R ) và (O '; R ') lần lượt tại

M , N ( M , N khác A ) và A thuộc đoạn thẳng MN . Các tiếp tuyến với đường tròn (O ; R ) tại M

và đường tròn (O '; R ') tại N cắt nhau tại K .
1. Chứng minh tứ giác MBNK nội tiếp.
2. Gọi P ,Q, H tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm B lên các đường thẳng KM , KN
và MN . Chứng minh rằng ba điểm P , H ,Q thẳng hàng và đường thẳng PQ luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố định.
3. Chứng minh rằng PH = QH khi các đường phân giác trong của góc MKN và MBN cắt
nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng MN .
Câu 4.

(1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng

a
b
c
3 3
+ 2
+ 2
≥
2
2
2
2
b +c
c +a
a +b
---Hết--2

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 5

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bắc Ninh

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de6]
Câu 1.

(4,0 điểm)

1   2x + x −1 2x x + x − x 
1
 1
−
−
1. Cho biểu thức P = 
 với x ≥ 0 và x ≠ 1, x ≠ ⋅
 :  1 − x
4
x 
1+ x x
 1− x

7
Rút gọn biểu thức P và tìm giá trị của x để P = ⋅
3
2. Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng d : y = − x + 2 với parabol ( P ) : y = x 2 . Tính diện
Câu 2.

tích tam giác OAB ( O là gốc tọa độ).
(4,0 điểm)

2 x 2 + 3xy − 2 y 2 − 5 ( 2 x − y ) = 0
⋅
1. Giải hệ phương trình  2
2
x
−
2
xy
−
3
y
+
15
=
0

Câu 3.

2. Giải phương trình 3 4 x + 1 + 4 x 3 x − 2 = 3x 2 + 4 x + 5.
(3,0 điểm)
1. Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn y ( x − 1) = x 2 + 2.
2. Với mỗi số nguyên a , gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2 + 2ax − 1 = 0. Chứng minh

(x

1

Câu 4.

2n

− x2 2 n )( x14 n − x2 4 n ) chia hết cho 48 với mọi số tự nhiên n.

(6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm bất kì thuộc cạnh BC ( D khác

B, C ). Gọi M , N là trung điểm của cạnh AB, AC. Đường thẳng MN cắt đường tròn ( O ) tại
P, Q sao cho M nằm giữa P và N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác
B). Các đường thẳng DI , AC cắt nhau ở K .
a) Chứng minh PID = PAC . Từ đó suy ra bốn điểm A, I , P, K cùng thuộc một đường tròn.

QA PD
=
.
QB PK
c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G ( khác P). Đường thẳng IG
b) ∆PBD đồng dạng với ∆PAK và

cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh khi D di chuyển trên đoạn BC thì tỉ số

CD
không đổi.
CE

2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chứng minh rằng AB.CD + AD.BC = AC .BD.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 3 và a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của

F = a 2 + b2 + c2 .
2. Cho đa giác lồi A1 A2 A3 ... A2024 . Tại mỗi đỉnh Ak ( k = 1, 2,3..., 2024 ) , người ta ghi một số thực ak
sao cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau bằng một số nguyên dương không lớn
hơn 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp
đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 6

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bến Tre

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de7]
Câu 1.

(5,0 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức: A = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5 .

x −5+ 2 x + 6 x +9
2022
. ( x > 0 ) và tìm x sao cho B =
.
2023
x+3 x +2
x 2 + y 2 85
(3,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa
.
=
x+ y
13
b) Rút gọn biểu thức: B =

Câu 2.

2

2

Câu 3.

 x2 − 4 
 x−2  x+2
+
−
10
(3,0 điểm). Giải phương trình: 9 
 2
 =0.
 

 x +1   x −1 
 x −1 

Câu 4.

(3,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
2

a 3a 2 + 6b 2 + b 3b 2 + 6c 2 + c 3c 2 + 6a 2 ≥ ( a + b + c ) .

Câu 5.

Câu 6.

(3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ACB = 45° , gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và H là trực
tâm của tam giác ABC . Đường thẳng qua O và vuông góc với CO cắt AC và BC lần lượt tại
điểm K và L . Chứng minh chu vi của tam giác HKL bằng với đường kính của (O).
(3,0 điểm). Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T . Hai đường tròn
này nằm trong đường tròn ( O3 ) và tiếp xúc với ( O3 ) lần lượt tại điểm M ( M ∈ ( O1 ) ) và điểm

N ( N ∈ ( O2 ) ). Tiếp tuyến chung tại T của ( O1 ) và ( O2 ) cắt O3 tại điểm P ( P và O3 nằm cùng
phía của đường thẳng MN ). Đường thẳng PM cắt ( O1 ) tại A ( A ≠ M ), đường thẳng PN cắt

O2 tại D ( D ≠ N ) và đường thẳng MN cắt ( O1 ) và O2 lần lượt tại B ( B ≠ M ) và C ( C ≠ N
). Gọi E là giao điểm của AB và CD .
a) Tứ giác AEDP là hình gì? Giải thích.
b) Chứng minh rằng: EBC = EDA .
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 7

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bình Định

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de8]
Bài 1.

(5,0 điểm)
 x3 − 5 x = y 3 − 5 y
1. Giải phương hệ trình  4
2
 x + y = 2

2. Giải phương trình
Bài 2.

(

)

3 x 2 − 3x + 1 = − x 4 + x 2 + 1

(5,0 điểm)
1. Cho các số thực x , y thỏa x − 2 y + 4 < 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y − 4 x +
2

2. Cho đa thức

4 ( y2 − 4x)
2

( x − 2 y + 4)
P ( x ) = x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d . Biết P (1) = 10 , P ( 2 ) = 20 , P ( 3) = 30 . Tính giá
P (12 ) + P ( −8)

trị của biểu thức H =

Bài 3.

.
2023
(5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và một điểm P bất kì nằm trong
tam giác ( P khác O ). Đường thẳng AP cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là D , dựng các

đường kính

DE , AF của đường tròn ( O ) . Gọi G , I lần lượt là các giao điểm thứ hai của

đường thẳng

EP , FP với đường tròn ( O ) , K là giao điểm của AI và DG . Gọi H là hình

chiếu vuông góc của K trên OP , đường thẳng OP cắt EF tại M .

Bài 4.

1. Chứng minh HO là phân giác của góc IHD .
2. Chứng minh KD ⊥ DM .
(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong AD , BE , CF cắt nhau tại I .

ID
IE
IF
+
+
>2.
IA
IB
IC
(2,0 điểm) Cho đa giác đều có 2n đỉnh n ∈ ℕ , n ≥ 3 . Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của

Chứng minh rằng

Bài 5.

đa giác và có một góc lớn hơn 100 .
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 8

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bình Dương

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de9]
Câu 1:

(4 điểm)

Câu 2:

x2 − x x + x − 1 x x −1 x + 1
+
+
với x > 0, x ≠ 1 .
x −x x
x− x
x
1. Chứng minh rằng : A > 4
6
2. Với giá trị nào của x thì biểu thức B = nhận giá trị nguyên.
A
(4 điểm)
Cho biểu thức A =

1. Giải phương trình: 7 x 2 + 7 x =

Câu 3:

4x + 9
với x > 0 .
28

 x 3 − 3x = 4 − y

2. Giải hệ phương trình:  y 3 − 3y = 6 − 2 z
 z 3 − 3z = 8 − 3 x

(6 điểm)
1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p 2 − 1 ⋮ 24 .
2. Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X = x : x ∈ N ,0 ≤ x ≤ 14 . Chứng

{

}

minh rằng tồn tại hai tập con B1 , B2 của tập hợp A ( B1 , B2 khác nhau và khác rỗng) sao cho
tổng các phần tử của tập B1 bằng tổng các phần tử của tập B2 .

3. Xét các số thực x , y , z không âm và khác 1 thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P =
Câu 4:

1
1
+
+ ( x + y )( 4 + 5z ) .
x + yz y + xz

(6 điểm)
1. Cho hình thang ABCD ( AB / / CD , AB > CD ) . Gọi E là giao điểm của AD và BC , F là
giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy
AB , CD .
2. Cho tam giác nhọn ABC . D , E , F lần lượt là các điểm trên các cạnh BC , CA, AB . Nối AD,
BE , CF . AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I , CF cắt BE lần lượt tại H . Chứng minh rằng
nếu diện tích của bốn tam giác AFG , IHG , BID , CEH bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác
AGHE , BIGF , CHID cũng bằng nhau.
---- Hết ---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 9

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Bình Phước

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de10]
Câu 1.

(5.0 điểm).

 x −3
x +2
9− x   3 x −9
+
−
1. Cho biểu thức P = 
 : 1 −

x − 9 
 2 − x 3+ x x + x −6  
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P .

Câu 2.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 − 3 − 13 − 48 .
1 1 1
2. Cho x, y , z là ba số thực khác 0 , thoả mãn + + = 0 .
x y z
yz zx xy
Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 = 3 .
x
y
z
(5.0 điểm).
1. Giải phương trình:

3x + 1 − x + 3 + 1 − x = 0 .

2 xy
 2
2
x + y + x + y = 1
.
2. Giải hệ phương trình: 
 x + y = x2 − y

3. Cho đường thẳng (d ) : mx + (m − 1) y − 2m + 1 = 0 (với m là tham số). Tìm điểm cố định mà
đường thẳng (d ) luôn đi qua với mọi giá trị của m .

Câu 3.

(5.0 điểm). Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung BC cố định ( BC < 2 R ) . Điểm A di động trên
đường tròn ( O; R ) sao cho tam giác ABC nhọn. Kẻ đường cao AD và trực tâm H của tam giác

Câu 4.

ABC .
a) Đường thẳng chứa phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại các điểm M , N .
Chứng minh tam giác AMN cân.
b) Các điểm E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BH , CH . Các điểm P, Q
lần lượt là hình chiếu của D trên các cạnh AB, AC . Chứng minh 4 điểm P, E , F , Q thẳng hàng
và OA ⊥ PQ .
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K .
Chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.
(2.0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A , điểm O là trung điểm của BC . Đường tròn ( O ) tiếp
xúc với các cạnh AB , AC lần lượt tại E, F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF của ( O ) , tiếp
tuyến của đường tròn ( O ) tại H cắt AB, AC lần lượt tại M , N . Xác định vị trí của điểm H để

Câu 5.

diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất.
(3.0 điểm).
1. Cho a, b, c là ba số thực dương, thoả mãn ab + bc + ca = 1 .
5
Chứng minh rằng: + a 4b 2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 ≥ 2abc ( a + b + c ) .
9
2. Giải phương trình sau với nghiệm nguyên: x2 + 2 y2 + 3xy + 3x + 5 y − 3 = 0 .
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 10

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Cà Mau

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de12]
Câu 1.

(3,0 điểm) Cho biểu thức A =

x +1
x + 3 x + 2 x − 13
+
+
.
x −3 2− x x −5 x + 6

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
Câu 2.

3

5+2−

3

5−2 .

(3,0 điểm)
a) Giải phương trình: 3x 2 + 10 x = 5 x 2 + 3x + x + 2 .
2 x 2 + y 2 + 2 y = 4 x + 1

b) Giải hệ phương trình: 

2
2
3 x − 2 y − 6 x = 4 y + 5

.

Câu 3.

(3,0 điểm) Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa
qua, Ban tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải. Biết rằng mỗi giải
nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng
180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số
giải ba. Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Câu 4.

(3,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x và đường thẳng ( d ) : y = 4( m x + 2) (với

2

a) Khi m = −

m

là tham số).

1
vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ các giao
2

điểm của chúng.
b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng ( d ) luôn cắt parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt
A và B . Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5.

(3,0 điểm)

x2 + x +1
a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
.
x +1
Câu 6.

b) Tìm số nguyên b để b 2 + 2322 là số chính phương.
(6,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) hai đường kính AH và DM không vuông góc với nhau. Tiếp
tuyến của đường tròn ( O ) tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C .
a) Chứng minh rằng tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn.
b) Ðường tròn tâm I có đường kính BC cắt đường tròn tâm O ở E ( E khác A ). Gọi P là
giao điểm của DM và BC.Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP.
c) Chứng minh rằng ba điểm A, E , P thẳng hàng.
d) Gọi R, S , K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng H C , H B , H O . Chứng minh rằng RK
vuông góc với SA.
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 11

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Đắk Lắk

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de16]
Câu 1.

(4,0 điểm)

2 12 + 24 ( 2 + 3)2 − 5 8 − 4 2
−
−
.
54 + 108
216
6−3 2
2. Giải phương trình x 4 + 2 x3 + x 2 + 4 x + 4 = 0 .
(4,0 điểm)
1. Cho parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng (d ) : y = (2m + 1) x − m 2 − m . Tìm m để (d ) cắt ( P)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B nằm ở hai phía trục tung.
2. Cho hàm số y = −4 x 2 có đồ thị là parabol ( P) và một điểm Q(0; −9) . Hăy tìm hai điểm M , N
trên ( P) và có tọa độ là những số nguyên sao cho tứ giác OMQN là một tứ giác lồi có diện tích
1. Rút gọn biểu thức

Câu 2.

27 2
cm (đơn vi trên các trục tọa độ là cm).
2
(4,0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên ( x; y) thỏa 2 x 3 + 4 x 2 y − 2 x 2 + xy + 2 y 2 − y + 2 = 0 .

bằng
Câu 3.

Câu 4.

2. Tìm số chính phương abcd , biết rằng ab − cd = 1 .
(4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) , hai tiếp tuyến tại a của ( O ) cắt
BC tại M. Kẻ tiếp tuyến MD của ( O ) ( D ≠ A) . Gọi G, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của
D lên BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
1. MA2 = MB.MC và BC = 2R sin BAC .
2.

Câu 5.

Câu 6.

AB DB
.
=
AC DC

3. G là trung điểm của EF.
(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM vuông
góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB ( M ∈ BC , N ∈ AC , K ∈ AB ) . Xác
định vị trí điểm I sao cho tổng IM 2 + IN 2 + IK 2 nhỏ nhất.
(2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
1
+
+
≤
( 2a + b )( 2a + c ) ( 2b + c )( 2b + a ) ( 2c + a )( 2c + b ) 3

---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 12

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Đắk Nông

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de17]
Câu 1.

x
3
6 x −4
+
−
.
x −1
x −1
x +1
a) Rút gọn biểu thức A .
Cho biểu thức: A =

b) Tìm giá trị của tham số m để A = x + m có nghiệm.
Câu 2.

a) Giải phương trình

2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4.

b) Cho m , n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh mn − m − n + 1⋮192 .
Câu 3.

Một xe tải có chiều rộng là 2,4m chiều cao là 2,5m muốn
đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa
hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi
chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi Parabol
( P ) : y = α x 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải
muốn đi qua. Chứng minh a = −1 .

b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?
Câu 4.

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3 .
Chứng minh rằng
1
1
1
1
+
+
≤
.
2
2
2
1 + a ( b + c ) 1 + b ( c + a ) 1 + c ( a + b ) abc

Câu 5.

Một cái tháp được xây dựng bên bờ một con sông, từ
một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia người ta
nhìn thấy đình tháp với góc nâng 60° . Từ một điểm
khác cách điểm ban đầu 20m người ta cũng nhìn thấy
đỉnh tháp với góc nâng 30° . Tính chiều cao của tháp
và bề rộng của con sông.

Câu 6.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Vẽ

đường tròn tâm K đường kính BC , cắt cạnh AB và AC lần lượt tại điểm F và E . Gọi H là
giao điểm của BE và CF .
a) Chứng minh AF . AB = AE. AC .
b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( K ) (với M , N là hai tiếp điểm; N
thuộc cung EC ). Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng.
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 13

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Tỉnh Điện Biên

Học sinh giỏi 9
Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de18]
Câu 1.

(5,0 điểm)
 x −3
x +2
9 − x  
3 x − 9 

+
−
1. Cho biểu thức A = 
 : 1 −

 2 − x
x − 9 
3 + x x + x − 6  

a) Rút gọn biểu thức A
3

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

Câu 2.

10 + 6 3

(

)

3 −1

6+2 5 − 5
2. Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương.
(3,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2x − 1 + 5 − 2x = 4x 2 − 12x + 7

 x + 2023 + x 2 y + 2023 + y 2 = 2023
2. Giải hệ phương trình: 
5x 2 + 7y 2 − 15xy = 27

(4,0 điểm)

(

Câu 3.

)(

)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 4 − y 4 = 3y 2 + 1 .
2. Cho hai phương trình x 2 − 3mx + 2n = 0 và x 2 − 5nx + 4m = 0 với m , n là các số

Câu 4.

thực. Chứng minh rằng nếu 2m + n ≤ 0 thì ít nhất một trong hai phương trình đã
cho luôn có nghiệm.
(6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho

OA = 3R . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O ) ( B ,C là hai tiếp
điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O ) tại D , AD cắt (O )

Câu 5.

tại E . Gọi M là giao điểm của BC và AO .
1. Chứng minh AE .AD = AM .AO
2. Tia BE cắt AC tại F . Chứng minh F là trung điểm của AC .
3. Tính diện tích ∆ BDC theo R .
(2,0 điểm)
a
b
c
d
1
1. Cho a, b, c, d > 0 và
+
+
+
≤ 1. Chứng minh abcd ≤ .
1+a 1+b 1+c 1+d
81
2. Trong một hộp có 2014 viên kẹo. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải
bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo. Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ
thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc.
---Hết---

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 14

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Tỉnh Thái Nguyên

Học sinh giỏi 9
Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de20a]
Câu 1.

(6,0 điểm) Cho các biếu thức A =

2x − 3 x − 2
và B =
x −2

x3 − x + 2 x − 2
+2.
x +2

1. Rút gọn biểu thức A và B .
2. Tìm tất cả các giá trị của x để A = B .
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 2.

A −1
.
B

(3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y = ax + b và parabol ( P) : y = x 2
. Tìm tất cả các giá trị của a , b để đường thẳng ( d ) đi qua điểm M (3;5) và tiếp xúc với parabol
( P) .

Câu 3.

(2,0 điểm) Cho phương trình x 2 + 2(m − 1) x − m − 3 = 0(m là tham số).

Câu 4.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của
một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 7 2 .
(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao
AD, BK, CI cắt nhau tại điểm H. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm L,F sao cho
HL ∥ DI, HF ∥ DK . Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O).
a. Chứng minh rằng các tứ giác BIKC, BLFC nội tiếp đường tròn.
b. Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) tại điểm J ( J ≠ B ). Chứng minh rằng ba điểm L, F, J
thẳng hàng.
c. Gọi P là giao điểm của AH và LF. Chứng minh rằng AH = AP.AE .

Câu 5.

Câu 6.

(2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương n để n 2024 + n 2023 + 1 là số nguyên tố.
b) Cho phương trình x 2 + ax + b + 1 = 0(a, b ∈ ℤ; b ≠ −1) . Chứng minh rằng nếu phương trình có
hai nghiệm đều là những số nguyên thì a 2 + b 2 là hợp số.
(1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi a , b thỏa mãn điều kiện a + b ≥ 4 . Tìm giá trị nhỏ
1 1
nhất của biểu thức P = 9 + a 2b 2  +  .
a b
--------------------Hết-------------------

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 15

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

Học sinh giỏi 9

Tỉnh Đồng Tháp

Để xem được lời giải hãy gõ mã id sau: [de20b]
Câu 1.

(4,0 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức P =

(

6 − 2 5. 6 + 2 5

)

1+ 5

x x −1 x x +1 x + 4
−
+
với x ≥ 0; x ≠ 1
x− x x+ x
x
a) Rút gọn biểu thức H .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H .
(2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ∈ ℕ thì n 3 + 11n chia hết cho 6
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ∈ ℕ thì
1
1
1
1
+
+
+ .... +
= n +1 −1
2 +1
3+ 2
4+ 3
n +1 + n
(5,0 điểm)
1. Điểm số của 30 học sinh lớp 9A trong đợt kiểm tra đánh giá năng lực được ghi nhận lại như
sau (thang 100 điểm):
92
88
65
67
78
80
83
78
74
81
90
69
88
82
81
83
78
70
73
72
98
99
91
86
87
72
80
88
75
79
Một học sinh được gọi là đạt điểm tốt nếu điểm của học sinh đó không dưới 80 điểm. Tính điểm
số trung bình của 30 em học sinh nói trên và tỉ lệ số học sinh đạt điểm tốt (làm tròn đến 2 chữ số
thập phân)
2. Nhà trường tổ chức hoạt động ngoại khóa tham quan vườn quýt hồng tại huyện Lai Vung. Giá
vé của mỗi giáo viên là 50000 đồng, giá vé của của mỗi học sinh là 30000 đồng. Nhân dịp kỉ
niệm ngày thành lập Đoàn thanh niên 26-03, nhà vườn giảm giá 10% cho mỗi loại vé. Cuối buổi
ngoại khóa, nhà trường đã trả tổng số tiền vé là 2250000 đồng cho 80 người gồm giáo viên và
học sinh. Tìm số giáo viên và học sinh đã tham gia ngoại khóa.
3. Ven bìa rừng tràm, trạm kiểm lâm xây hai tháp cạnh tại hai địa điểm A và B. Để phòng cháy
vào mùa khô cho quần thể tràm bông vàng tại địa điểm C và tiết kiệm chi phí, người ta đặt một
máy bơm nước tại địa điểm H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Biết rằng AB =
600m, CAB = 24° và CBA = 34° (tham khảo hình dưới). Tính khoảng cách từ máy bơm nước đến
quần thể tràm bông vàng (làm tròn đến 2 chữ số thập phân, đơn vị đo là mét).
2. Cho biểu thức H =

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

(3,0 điểm)
1. Giải phương trình x 2 − 2 x = 2 2 x − 1
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 6 x + 5 y + 2 xy = 2
(2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, OH là đường cao của
tam giác OAB . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OH và AH.

Địa chỉ truy cập click vào đây  https://vungocthanh1984.blogspot.com/

Trang 16

VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP

Câu 6.

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023

1. Chứng minh rằng HM .OB = HB.MN
2. Chứng minh rằng CH vuông góc với BM.
(4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , kẻ hai tiếp tuyến Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng
nằm một phía so với đường thẳng AB . Lấy O và O ' là hai điểm lần lượt thuộc Ax và By sao cho

OA < O ' B . Giả sử hai đường tròn ( O; OA) và ( O '; O ' B ) cắt nhau tại E và F , cắt AB tại H ( E
nằm giữa H và F ).
1. Chứng minh rằng ∆EHA đồng dạng với ∆AHF và HA2 = H...