PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ
PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2023-2024
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)

ĐỀ THAM KHẢO

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm và tự luận) vào tờ giấy thi.
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm)
Câu 1. Kết quả rút gọn của biểu thức (4 − 3 2)2 là
A. 3 2 − 4.
B. 4 − 3 2.
C. 2 − 2.
D. 2 − 2.
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất đồng biến trên ?
B. y = 1 − (x + 2).
C. y = x + 3.
D. y = 2022 − x .
A. y = x 2 .
Câu 3. Giá trị của a để đường thẳng y = 2 x − 3 cắt đường thẳng y = ax − 2 tại điểm có tung
độ bằng 1 là
A. −1.
B. 1.
C. −5.
D. 2.
mx − 3 y = 3
có nghiệm duy nhất khi
− x + y = 1

Câu 4. Hệ phương trình 

A. m  −3
B. m  3
C. m  −1
D. m  1
Câu 5. Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới lớn hơn
số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành 99. Tổng các chữ số của số đó là?
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
Câu 6. Cho hàm số y = ax2 với a ≠ 0. Kết luận nào sau đây là đúng.
A. Hàm số đồng biến khi a  0 và x  0
B. Hàm số đồng biến khi a  0 và x  0
C. Hàm số đồng biến khi a  0 và x  0
D. Hàm số đồng biến khi a  0 và x = 0
Câu 7. Cho x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình − x 2 − 7 x + 12 = 0. Khi đó 7 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
bằng
A. 1.
B. −1.
C. −97.
D. 97.
Câu 8. Cho phương trình ( m − 1) x 2 + 2 ( m + 1) x + m − 3 = 0 với giá trị nào của m thì phương
trình có nghiệm duy nhất:
A. m = 1.

1
3

B. m = .

1
3

C. m = 1 hoặc m = .

1
3

D. m = 1 và m = .

Câu 9. ABC có Aµ = 900 , AB = 6, AC = 8, BC = 10. Độ dài đường cao AH bằng
A. 4,8.
B. 8, 4.
C. 4.
D. 8.
Câu 10. Cho góc nhọn  , biết sin  =

3
. Khi đó cot  bằng
5

Trang | 1

A.

3
4

B.

4
5

5
4

C.

D.

4
3

Câu 11. Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn. Biết góc MNP = 60 0 và góc PMQ = 40 0. Số
đo góc MPQ là
A. 20 0.
B. 25 0.
C. 30 0.
D. 40 0.
Câu 12. Cho đường tròn tâm O bán kính R = 2 và dây cung AB = 3, 2 . Vẽ một tiếp tuyến
song song với AB cắt các tia OA, OB lần lượt tại M và N . Diện tích tam giác OMN bằng
A.

8
3

B.

3
8

C.

16
3

D.

3
16

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Câu 1. (1,5 điểm).
Cho hai biểu thức A =

x

và B =

4
x +3
5
( với x  0, x  1 ).
+
−
x −1
x +1 1− x

x +6
a) Tính giá trị của A khi x = 4 .
b) Rút gọn B .
c) Với P = A .B , tìm các giá trị của x để P  0 .

( )

Câu 2. (2,0 điểm). Cho Parabol P : y = x 2 và đường thẳng d : y = −4x + m 2 − 4 .

( )

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A thuộc Parabol P có hoành độ x = 1 và
song song với đường thẳng  : y = 2x + 2022 .

( )

b) Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1, x 2
thoả mãn x 2 = x 13 + 4x 12 .
Câu 3. (3,0 điểm). Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn

( O ) đường kính

AB sao cho AC  BC . Tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại C cắt tiếp tuyến

tại A ở D , cắt AB ở E . Đường thẳng đi qua E , vuông góc với AB cắt AC , BD lần lượt tại
F , G . Gọi I là trung điểm AE .
a) Chứng minh rằng tứ giác ADCO nội tiếp một đường tròn.
AB 2

b) Chứng minh rằng OD.BC =
2
c) Chứng minh EF = 2.EG
d) Chứng minh rằng trực tâm tam giác GIF là một điểm cố định.
 x + x 2 + 1 = 2 y + 1
Câu 4. (0,5 điểm). Giải hệ phương trình sau: 
 y + y 2 + 1 = 2 x + 1

………………..Hết……………….
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………..SBD:……….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang | 2

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM DỰ KIẾN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm)
Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án

A

C

B

B

A

B

A

C

9

10

11

12

A

D

A

C

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Đáp án

Điểm

x

Câu 1 ( 1,5 điểm). Cho hai biểu thức A =

x +6

và B =

4
x +3
5
+
−
x −1
x +1 1− x

( với x  0, x  1 ).
a) Tính giá trị của A khi x = 4 .
b) Rút gọn B .
c) Với P = A .B , tìm các giá trị của x để P  0 .
a) Ta có x = 4 thoả mãn điều kiện thay vào A ta có A =
4+
4
x +3
5
b) Ta có: B =
+
−
=
x −1
x +1 1− x
=

(
( x − 1)( x + 1) (
x +7 x +6

Vậy B =

x
x −1

=

)=
x + 1)

x +6

)(

4 +6

=

1
.
4

) (
( x − 1)( x + 1)

x +3

x +6
x −1

x −1 + 5

0,5
x +1

)

0,25

.
0,25

( với x  0, x  1 ).

c) Ta có P = A .B =

P 0

)(
x − 1)(

x +1

(

4

x
x +6

.

x +6
x −1

=

x
x −1

.

0,25

x

 0  0  x  1  0  x  1.
x −1
Vậy 0  x  1 thì P  0 .

0,25

( )

Câu 2 ( 2 điểm). Cho Parabol P : y = x 2 và đường thẳng d : y = −4x + m 2 − 4 .

( )

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A thuộc Parabol P có hoành độ x = 1 và song
song với đường thẳng  : y = 2x + 2022 .

( )

b) Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1, x 2
thoả mãn x 2 = x 13 + 4x 12 .

(

)

a) Gọi đường thẳng cần tìm là d ' : y = a x + b a  0 .

0,25
Trang | 3

a = 2
Vì d '/ /   
.
b  2022

0,25

Vì điểm A  P  A 1;1 . Do điểm A  d ' nên 1 = 2 + b  b = −1 (T/M)

0,25

Vậy đường thẳng d ' cần tìm là d ' : y = 2x − 1 .

0,25

( )

( )

( )

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và Parabol P
x = −4x + m − 4  x + 4x − m + 4 = 0 (*)
2

2

2

0,25

2

( )

Để đường thẳng d cắt Parabol P tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có hai
nghiệm phân biệt   '  0  m  0  m  0.

0,25

2

x + x 2 = −4
Theo định lí Viét, ta có  1
.
2
x
.
x
=
−
m
+
4
 1 2

Thay x 2 = x 13 + 4x 12 vào x 1 + x 2 = −4 ta được

(

)

(

)(

)

x 1 + x 13 + 4x 12 = −4  x 1 + 4 + x 12 x 1 + 4 = 0  x 1 + 4 x 12 + 1 = 0

0,25

 x 1 = −4  x 2 = 0 . Thay x 1 = −4, x 2 = 0 vào

x 1x 2 = −m 2 + 4  −m 2 + 4 = 0  m = 2 (thoả mãn).

Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán.

0,25

Câu 3 ( 3,0 điểm). Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường
tròn ( O ) đường kính AB sao cho AC  BC . Tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại C cắt tiếp
tuyến tại A ở D , cắt AB ở E . Đường thẳng đi qua E , vuông góc với AB cắt AC , BD lần
lượt tại F , G . Gọi I là trung điểm AE .
a) Chứng minh rằng tứ giác ADCO nội tiếp một đường tròn.
AB 2

b) Chứng minh rằng OD.BC =
2
c) Chứng minh EF = 2.EG
d) Chứng minh rằng trực tâm tam giác GIF là một điểm cố định.

Trang | 4

D
F

C

A

O

I

B

E

K
G

a) Vì DA, DC là các tiếp tuyến của (O) nên
 DAO = 900

0
 DCO = 90

0,25
0,25

 DAO + DCO = 1800

0,25

Do đó ADCO là tứ giác nội tiếp  đpcm

0,25

b) Chỉ ra ADO = CAB

0,25

Xét ABC và DOA có:

ACB = DAO = 900
ADO = CAB (theo CMT)
Do đó ABC ∽ DOA (g-g)
BC AB

=
(1)
AO DO
Mà AB = OB ( 2 )
Từ (1) , ( 2 )  OD.BC =
c) Gọi  K  = IG  BF

AB 2
 đpcm
2

Chỉ ra được FG / / AD, CB / / OD

0,25

0,25

0,25
0,25

+ Theo hệ quả ĐL Ta-let ta có
EF EC EB 2 EB 2 EG
=
=
=
=
 EF = 2 EG
AD CD BO AB
AD

0,25

d) Ta có 2 EF .EG = EF 2 = EC 2 ( ECF cân tại E )

0,25
Trang | 5

Chỉ ra được EC 2 = EB.EA = 2 EB.EI . Do đó EB.EI = EF .EG 

EB EG
=
EF EI

Từ đó suy ra EBF ∽ EGI (c-g-c)

 FBE = EGK  FBE + BFE = EGK + BFE  900 = EGK + BFE
Hay FK ⊥ IG . Mặt khác IE ⊥ FG . Do đó B là trực tâm của GIF mà B cố định
 đpcm.

0,25

 x + x 2 + 1 = 2 y + 1
Câu 4. (0,5 điểm). Giải hệ phương trình sau: 
 y + y 2 + 1 = 2 x + 1
 x + x 2 + 1 = 2 y + 1 (1)

 y + y 2 + 1 = 2 x + 1 (2)
Trừ theo vế các phương trình (1) và (2) ta được:


x+ y
x2 + 1 − y 2 + 1 + 3 ( x − y ) = 0  ( x − y ) 
+ 3 = 0
 x2 + 1 + y 2 + 1



x+ y
+3= 0
(*)
 x − y = 0 hoặc
x2 + 1 + y 2 + 1

)

(

Trường hợp 1: x − y = 0  x = y .
Thay y = x vào (1) ta được phương trình:
 x 2 + 1 = ( x + 1)2
x +1 = x +1  
x  −1

Giải hệ ta được: x = 0  x = y = 0 .
2

Trường hợp 2:

Xét A =

x+ y
x2 + 1 + y 2 + 1

x+ y
x2 + 1 + y 2 + 1

(3
+3=

0,25

+3= 0.

) (

x2 + 1 + x + 3 y 2 + 1 + y
x2 + 1 + y 2 + 1

).

Ta có: 3 x 2 + 1 + x  3 x 2 + x = 3 x + x = 2 x + ( x + x )  0 .
Tương tự: 3 y 2 + 1 + y  0

0,25

Suy ra: A  0 . Trường hợp 2 không xảy ra.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 0 .
Lưu ý:
- HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- HS vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.
- HS làm đúng đến đâu thì cho điểm đến đó.

Trang | 6