Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CẢ NĂM – TOÁN 9
NĂM HỌC 2022 – 2023
PHẦN I : ĐẠI SỐ

* Quy tắc chia hai căn thức bậc hai : Muốn chia
căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của
1. Định nghĩa căn bậc hai
Với số dương a có hai căn bậc hai đối nhau. số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai
phương kết quả đó.
a;  a . a được gọi là căn bậc hai số học của a
* Tổng quát: Với A ≥ 0 v B > 0, ta có :
Số 0 : là căn bậc hai số học của 0
A
A

 x 0
B
B
x= a   2
 x a
9. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
2
* Nhận xét : Với a ≥ 0, ta có: a  a2 a
Với B 0, ta có A 2 B  A B
10. Đưa thừa số vào trong dấu căn
2. Định lý 1 : Với hai số a, b không âm, ta có:
Với A  0; B  0, ta có: A B  A 2 B
a3. Căn thức bậc hai
Với A < 0; B  0, ta có: A B  A2 B
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là
11. Khử mẫu của biểu thức
căn thức bậc hai của A
A
AB

Với AB 0 , B 0, ta có:
* A có nghĩa khi A ≥ 0
B
B
12. Trục căn thức ở mẫu
4. Hằng đẳng thức A 2  A =
A
A B

+ Với B > 0 ta có:
2
Định lý : Với mọi số a, ta có a  a
B
B
5. Định lý 2 : Với hai số a và b không âm, ta có :
C
C ( A B )

+ VớiA 0 và A B2, ta có:
a.b  a . b
A  B2
A B
6. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai + Với A 0, B 0 và A B, ta có:
phương một tích của các số không âm, ta có thể khai
C
C( A  B )

phương từng thừa số rối nhân các kết quả với nhau
A B
A B
* Quy tắc nhân các căn thức bậc hai : Muốn nhân
13. Khái niệm căn bậc ba
các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân
* Định nghĩa : Căn bậc ba của một số a là số x sao
các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết
cho x3 = a
quả đó.
* Tổng quát: Với A ≥ 0 và B ≥ 0, ta có :
* Chú ý : ( 3 a ) 3 3 a 3 a
A.B  A. B
* Nhận xét :
7. Định lí 3 : Với số a không âm và số b dương, ta - Căn bậc ba của số dương là số dương
có
- Căn bậc ba của số âm là số âm
a
a
- Căn bậc ba của số 0 là chính số 0

b
b
8. Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai * Tính chất căn bậc ba :
a
Căn bậc ba còn có các tính chất sau
phương một thương , trong đó số a không âm và
b
a) a < b => 3 a  3 b
số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số
b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai . b) 3 ab 3 a .3 b

Chương I: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

 

Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

1

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
c) b 0 : 3

a 3a

b 3b

Chương II :

HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại luợng thay đổi
x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi
là hàm số của x, và x được gọi là biến số
- Khi hàm số được cho bằng công thức y = f(x), ta
hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đó
f(x) xác định.
- Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f(x), y =
g(x), ....
- Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y
được gọi là hàm hằng.
2. Đồ thị của hàm số
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị
tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là
đồ thị của hàm số y = f(x)
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến
* Tổng quát : Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi
giá trị của x thuộc R
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương
ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi
là hàm số đồng biến trên R( gọi tắt là hàm số đồng
biến)
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương
ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là
hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch
biến)
* Với x1, x2 bất kì thuộc R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng
biến trên R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x)
nghịch biến trên R
4. Hàm số bậc nhất
* Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho
bởi công thức y = ax +b, trong đó a, b là các số cho
trước và a 0
* Chú ý : Khi b = 0 hàm số có dạng y = ax .
* Tính chất của hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất y = ax +b xác định với mọi giá trị
của x thuộc R và có tính chất sau :
a) Đồng biến trên R khi a > 0
b) Nghịch biến trên R, khi a < 0
5. Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường
thẳng:
Năm học: 2022 – 2023

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b  0;
trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Chú ý : Đồ thị của hàm số y = ax + b ( b 0) còn
được gọi là đường thẳng y = ax + b; b đựợc gọi là
tung độ của đường thẳng
* Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a 
0)
Cách 1: Xác định hai điểm bất kì của đồ thị.
Cho x = 0
y = b, đặt A(0 ; b)
Cho x = 1
y = a + b, đặt B(1 ; a + b)
Vẽ đường thẳng qua điểm A và B ta được đồ thị của
hàm số y = ax + b
Cách 2: Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa
độ Ox, Oy
Cho x = 0 y = b, đặt P(0 ; b)
b
b
x   , đặt Q ( ;0)
Cho y = 0
a
a
Vẽ đường thẳng qua điểm P và Q ta được đồ thị của
hàm số y = ax + b
6. Đường thẳng song song.Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng d1: y = ax + b (a  0)
và d2: y = a'x + b' (a' 0) .
* d1 cắt d2  a  a'
* d1 // d2  a = a' , b  b'
* d1  d2  a = a' và b = b'
* Chú ý : Khi a  a', b = b' thì hai đường thẳng cắt
nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là
b.
7 .Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
(a 0 )
a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0) với
trục Ox.
Góc  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0)
với trục Ox.
y

y
T

A

O

a>0

T

O

x

A

x

a<0

b) Hệ số góc
+ a > 0,  là góc nhọn
+ a < 0,  là góc tù
* a đuợc gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +
b

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

2

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
* Chú ý: Khi b = 0 thì ta có hàm số y = ax ; a cũng
ax + by = c
d1 
(I) 
là hệ số góc của đường thẳng y = ax.
d 2 
a'x + b'y = c'
* Bổ sung
a b
Công thức tính độ dài đoạn thẳng:
d1 cắt d2  (I) có nghiệm duy nhất  
Với A(xA ; yA); B(xB ; yB) .
a' b'
a b c
Độ dài đoạn thẳng
d1 // d2  (I) vô nghiệm   
a'

b'

c'

a b c
 
a' b' c'
6. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
* Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phương trình đó
thành hệ phương trình trong đó có một phương trình
một ẩn
* Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra
nghiệm của hệ đã cho
7. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng
đại số
* Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích
hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó
trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối
nhau.
* Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương
trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số
a
c
thị của hàm số y  x 
của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình
b
b
+ Nếu a 0 và b = 0 thì đường thẳng song song một ẩn)
* Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra
hoặc trùng với trục tung
+ Nếu a = 0 và b  0 thì đường thẳng song song nghiệm của hệ đã cho.
8. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
hoặc trùng với trục hoành
3. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai B1: Lập hệ phương trình
+Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
ẩn:
+Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng :
lượng đã biết.
ax + by = c
+Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ của các
(I)

a'x + b'y = c'
đại lượng
+Nếu hai phương trình này có nghiệm chung (x0 ; y0 B2: Giải hệ phương trình
) thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ (I)
B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận.
+ Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm
Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a  0).
chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm
4. Minh họa hình học :
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
ax + by = c
d1 
1. Khái niệm hàm số bậc hai: là hàm số cho bởi
Cho hệ phương trình 
(I)
a'x
+
b'y
=
c'
d
công thức có dạng y = ax2(a ≠ 0)
 2

hàm số y = ax2 (a  0)
Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp nghiệm của hệ 2. Tính chất của
2
phương trình đuợc biểu diễn bởi tập hợp các điểm Hàm số y = ax (a  0), xác định với giá trị của x
thuộc R
chung của d1 và d2
Tính chất:
+ Nếu d1 cắt d2  hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất
+ Nếu a > 0 thì hàm số y = ax 2 đồng biến khi x > 0
+ Nếu d1 // d2  hệ (I) vô nghiệm
và nghịch biến khi x < 0
+ Nếu d1  d2  hệ (I) có vô số nghiệm
5. Hệ phương trình

Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn:
- phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax + by = c
trong đó a, b là các số đã biết (a 0 hoặc b  0)
- Nếu giá trị vế trái tại x = x 0 ; y = y0 bằng vế phải
thì (x0, y0 ) là 1 nghiệm của phương trình
- Các khái niệm : tập nghiệm, phương trình tương
đương, qui tắc chuyển vế, qui tắc nhân: có thể áp
dụng cho phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
1) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn
luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đựơc biểu
diễn bởi đường thẳng ax + by = c
2) Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng đó chính là đồ

Năm học: 2022 – 2023

d1  d2  (I) vô số nghiệm 

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

3

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
+Nếu a < 0 thì hàm số y = ax 2 đồng biến khi x < 0 và
nghịch biến khi x > 0
Đồ thị :
Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a 0) là một đường cong
đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là
điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O
là điểm cao nhất của đồ thị.
3. Phương trình bậc hai
Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương
trình có dạng : ax2 + bx +c = 0
Trong đó: x là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi
là các hệ số và a 0
4. Công thức nghiệm tổng quát
Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)
 = b2 – 4ac
  > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

-b + 
-b - 
và x 2 =
2a
2a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có:
a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1;
x2 =

c
a

*) Tìm hai số biết tổng và tích:

u  v S
Tìm hai số u và v biết 
 u.v P
Hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai:
x2 – Sx + P = 0
* Điều kiện để có hai số đó là :  = S2 – 4P 0
* Một số hệ thức khi áp dụng định lí Vi-ét:
 Tổng bình phương các nghiệm:
= S2 – 2P
 Tổng nghịch đảo các nghiệm:

 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:
.

b
2a

 Bình phương của hiệu các nghiệm:
= S2 – 4P.
  < 0 : phương trình vô nghiệm
 Tổng lập phương các nghiệm:
5. Công thức nghiệm thu gọn :
= S3 – 3PS
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)
Chú ý:
b
có b = 2b'  b' = , và ' = b'2 – ac
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương
2
 Nếu ' > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân trình có nghiệm (tức là  ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2
 b'  '
 b' '
biệt x1 
; x2 
nghiệm trái dấu
a
a
* Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai
 Nếu ' = 0, phương trình (1) có nghiệm kép
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) , a  0
b'
+ Phương trình (1) có nghiệm   ≥ 0
x1 = x2 = a
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
 Nếu ' < 0, phương trình (1) vô nghiệm
  > 0 hoặc a . c 0
6. Hệ thức Vi- ét :  
+ Phương trình (1) vô nghiệm   < 0
*) Định lí Vi-ét:
+ Phương trình (1) có nghiệm kép   = 0
- Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + + Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0
b
c = 0 (a0) thì : S = x1 + x2 =
; P = x1 . x2 = + Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
  = 0 : phương trình có nghiệm kép: x1 = x 2 = -

a

  0


c
P  0
a
+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
*) Cách nhẩm nghiệm:
  0
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có:

 S  0
a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1;
P  0
c

x2 =
a
+ Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

4

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9

B4:Đối chiếu nghiệm vừa tìm với ĐKXĐ rồi kết
luận.
9. Phương trình tích :
 A(x) = 0
A(x) . B(x) = 0  
7. Phương trình trùng phương:
 B(x) = 0
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
10. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
ax4 + bx2 + c = 0 , a  0 (1)
B1: Lập phương trình
Cách giải : Đặt t = x2 , t  0
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
PT trở thành : at2 + bt + c = 0 (2)
  0

 S  0
P  0


Giải phương trình (2) theo ẩn t
Lấy giá trị t  0 để thay vào t = x2 rồi tìm x.
8. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
B1: Tìm ĐKXĐ
B2: Quy đồng và khử mẫu hai vế
B3: Giải phương trình vừa tìm được.

Các công thức biến đổi, hằng đẳng thức
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại
lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ của các đại
lượng
B2: Giải phương trình
B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận.

8/
9/
10/
11/
12/
13/
14/

đk a,b 0
đk a,b 0
đk a,b 0

BÀI TẬP PHẦN ĐẠI SỐ

I- CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 1: Đưa các biểu thức sau về dạng bình phương.
a) 3  2 2
b) 3  8
c) 9  4 5







2



2

HD: a) 2  1
b) 2  1
c)
Bài 2 Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa
a) 2x  7
b)  3x  4 c) 1  x 2
Bài 3 : Rút gọn biểu thức
a)

(4  2)

2

b)

(3 

3)

2

c)

d) 23  8 7
2
d) 4  7

 5  2



2

(4  17)

2

e) 4  2 3
f) 23  8 7  7 g) 9  4 5  5
Bài 4: Rút gọn biểu thức
a) ( 8  3 2  10) 2  5 b) 0,2 ( 10)2 .3  2 ( 3  5)2
d) ( 6  5)2  120
g) 5

1 1

20  5
5 2

k) ( 28  2 3  7) 7  84
Bài 5: Rút gọn biểu thức
Năm học: 2022 – 2023



d) 2 3  (2  3)

c) 2

2

2  3)2  2.( 3)2  5 ( 1)4

e) 9  17 . 9  17
f) 2 2( 3  2)  (1  2 2)2  2 6
1
h)
 4,5  12,5
i) 20  45  3 18  72
2
l) 5 a  4b 25a3  5a 16ab 2  2 9a ( Với a > 0, b > 0)

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

5

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
a)

2 2
1 2

b)

2 3 6

e) 
8 2


 14  7
15  5 
1

c) 
 :
1 3  7  5
 1 2

15  5
1 3

216  1
.
3  6

x2  5
f)
x 5

g)

6  14
h)
2 3  28

a a
1 a

2

3 1

2
3 1

i)

x x 1 x  1

x 1
x 1

Bài 6: Cho biểu thức: A =

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

 x 0
, rút gọn biểu thức ta có: A =
 x 1

x

HD: a) ĐKXĐ là: 
b) x =

d)

x1

9
thì A = 3
4

x 1

Bài 7: Cho biểu thức: B =

2 x

x 2



x 2



 x 0
 x 4

25 x
x 4

b) Tìm x để B = 2.
3 x
.
x 2

, rút gọn biểu thức ta có: B =


1

Bài 8: Cho biểu thức: C = 

 a1

1   a  1
 :

a   a  2



a  2 
a  1 

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.

HD: a) Điều kiện: a > 0, a 4, a 1 , rút gọn biểu thức ta có: C =
4.


x

Bài 9: Cho biểu thức: P = 

 x1

x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P


b) Tìm giá trị a để C dương.
a 2
3 a

b) Tìm các giá trị của x để P > 0

x

Bài 10: Cho biểu thức D = 

b) B = 2  x = 16.

  1
2 
 : 


x   x  1 x  1 

1



 x 2

9
.
4

.

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
HD: a) Điều kiện: 

x 2  2 2x  2
x2  2

b) C dương khi a >

c) Tìm x để P = 6.

x  x 4
.
x  2  4 x



a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của D khi x = 6  2 5 .
x  0
, rút gọn biểu thức ta có: D =
 x 4

HD: a) Điều kiện: 

Bài 11: Cho biểu thức E =

x
x 1

x



x1



3 x
x 1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E.
HD:

x  0
a) Điều kiện: 
 x 1

Bài 12: Cho biểu thức:

3
, rút gọn biểu thức ta có: E =
.
1 x


A = 

2

 x 2



b) D = 5  1

x

b) Tìm x để E = -1.
b) x = 4.

 x4 x 4
.
8
x 2
2

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

6

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
b) Tìm giá trị của A khi x = 3 + 8 ;
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên ?
 x 0
, rút gọn biểu thức ta có: A =
 x 4

x 2

HD: a) ĐKXĐ: 



x 2



2

b) x = 3+ 8 3  2 2  2  1  A = 2 2  1
c) Biểu thức A nguyên khi: x  2 4;2;1  x = {0; 1; 9; 16; 36}


1

1  

a 1

a 2



 : 

Bài 13: Cho biểu thức: Q= 
a   a  2
a  1 
 a1
a. Rút gọn Q.
b. Tìm giá trị của a để Q dương.

Bài 14: Cho biểu thức: A =

2 x 9
x 5 x 6



x 3
x 2

a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.

II - HÀM SỐ BẬC NHẤT



2 x 1
3

x

b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
c, Tìm các giá trị của x  Z để A  Z.

Bài 15: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất, hãy xác định hệ số a, b và xét xem hàm số
nào là hàm số đồng biến, hàm số nào là hàm số nghịch biến ?
a) y = 3 – 0,5x
b) y = - 1,5x
c) y = 5 – 2x2
d) y = ( 2  1 )x + 1
x 1
2
e) y = 3(x  2)
f) y + 2 x  3 g) y = h) y = +1
i) y = 3x  2
2 2
x
2
Bài 16: a) Cho hàm số y = f(x) = x + 5 với x  R. Chứng minh hàm số đồng biến trên R.
3
b) Cho hàm số y = f(x) = ( 3  2 )x + 1 với x  R. Chứng minh hàm số nghịch biến trên R.
Bài 17: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x +5. Xác định m để hàm số:
a) đồng biến.
b) nghịch biến.
Bài 18: Cho ba hàm số y = x (d1); y = 2x (d2); y = - x + 3 (d3)
a) Vẽ ba đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Đường thẳng d3 cắt hai đường thẳng d1 và d2 tại hai điểm A và B. Tìm tọa của điểm A và B. Tính
diện tích và chu vi tam giác OAB.
Bài 19: Cho hàm số y = (a – 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a vừa tìm được trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Hãy
tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
Bài 20: Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a biết:
a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x
b) Đồ thị hàm số qua điểm A (1  2;2  2)
Bài 21: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với
giá trị tìm được của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

7

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
4 x  y  2
8 x  3 y 5

Ví dụ: Giải hệ 

Giải:

1

y 2  4
y 1

 4x  y 2
y 2  x
y 2  4x


4





1
8x  37 5
8x  3(2  4x) 5
 4x  1
 x 1
x  4

4

- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số

4 x  y  2
8 x  2 y 4
 y 1



Ví dụ: Giải hệ 
8 x  3 y 5
8 x  3 y 5
4 x  y  2

 y 1


1
 x  4

- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ
Bài 22 : Giải các hệ phương trình sau:
x y
  1
c)  2 3
5x  8y 3

 x  3y  2
a) 
5x  4y 11

3x  2y 11
b) 
 4x  5y 3

3x  y 3
d) 
2x  y 7

0,3x  0,5y 3
f) 
1,5x  2y 1,5

3x  2y 10

g)  2
1
 x  3 y 3 3

2(x  2)  3(1  y)  2
h) 
3(x  2)  2(1  y)  3

 x  y 3
k) 
3x  4y 2

7x  3y 3
l) 
 4x  y 2

2x  5y 8
m) 
2x  3y 0

2x  3y  2
e) 
3x  2y  3

1 1
 x  y 1

i) 
 3  4 5
 x y

4x  3y 6
n) 
2x  y 4

o)

IV - HÀM SỐ y = ax2 (a 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A – QUAN HỆ GIỮA PARABOL y = ax2 (a 0) VÀ ĐƯỜNG THẲNG y = mx + n (m 0)
1/ KIẾN THỨC BỔ SUNG
a) Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức AB  ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2
-

Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức xM 

x A  xB
y  yB
; yM  A
2
2

b) Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
-

 y ax 2
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình 
 y mx  n

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2 (a 0) và (d): y = mx + n (m 0):

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

8

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
cho vế phải của 2 hàm số bằng nhau: ax2 = mx + n
đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0

Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > 0
pt có 2 nghiệm phân biệt
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu = 0
pt có nghiệm kép
(d) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu < 0
pt vô nghiệm
(d) và (P) không giao nhau.
Bài 23: Cho hàm số y =

x2 có đồ thị (P) và y = – 2x +

có đồ thị (d).

1. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD: 2. PT trình hoành độ giao điểm:

x2 = – 2x +

Tọa độ giao điểm: ( ;

) và (1 ;

Bài 24: Cho hàm số y =

x2 có đồ thị (P) và y = x +

x2 + 2x -

= 0.

).
có đồ thị (d).

1. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
HD: 2. PT trình hoành độ giao điểm:
Tọa độ giao điểm: (

) và (

x2 = x +

x2 - x -

= 0.

).

Bài 25: Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x 2 và y = - x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy xác định
tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số này.
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị : (P): y = ax 2 (a 0) và y = mx + n (m 0) (Dm) theo tham số
m:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm):
cho vế phải của 2 hàm số bằng nhau: ax2 = mx + n
đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.

Lập (hoặc ) của pt hoành độ giao điểm.

Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt
tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt
tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0 giải bất pt
tìm m.

Bài 26: Cho hai hàm số y =

có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm).

1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các
giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).
2a). m =
2b)

.

= 1 + 2m > 0

Năm học: 2022 – 2023

.

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

9

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
2c) m =

tọa độ tiếp điểm (-1 ;

).

Bài 27: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).
1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các
giao điểm của chúng.
2. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng

.

b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (

;) và (1 ; – 2).

2a). m = – 2.
2b) m <

.

2c) m =

tọa độ tiếp điểm (

).

Bài 28: Cho hàm số y = ax2
a) Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1
b) Vẽ đồ thị hàm số y = -2x + 3 và của hàm số y = ax 2 với a vừa tìm được trong câu a) trên cùng một hệ
trục tọa độ. Hãy xác tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đó.

B – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:
 a+b+c=0

pt (1) có 2 nghiệm:

 a–b+c=0

pt (1) có 2 nghiệm:

b) Giải với

.

.

:

Nếu b = 2b'

b' =

= (b')2 – ac.

 Nếu

> 0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

 Nếu

= 0

phương trình có nghiệm kép:

;
.

 Nếu < 0
phương trình vô nghiệm.
c) Giải với :
Tính : = b2 – 4ac.
 Nếu

> 0

phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

 Nếu

= 0

phương trình có nghiệm kép:

Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

;
.
10

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
 Nếu < 0
phương trình vô nghiệm.
Bài 29: Giải các phương trình sau:
1) 7x2 – 2x + 3 = 0

2) 5x2 +2 10 x + 2 = 0

1 2
2
x + 7x + = 0
2
3
7) 6x2 + x – 5 = 0
11) x2 + 7x + 12 = 0

3)

4) 1,7x2 – 1,2x – 2,1 = 0

5) 2x2 – 7x + 3 = 0
6) 3x2 + 5x + 2 = 0
8) 4x2 + 4x + 1 = 0
9) x2 – 49x – 50 = 0 10) x2 – 7x + 12 = 0
12) 3x2 – 4 6 x + 4 = 0
13) 3x2 – 7x - 10 = 0 14) x2 – 3x + 2 = 0
15) x2 – 4x – 5 = 0
16) 3x2 – 2 3 x – 3 = 0
Bài 30: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ;
2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
8) x2 – 11x + 30 = 0 ;

2. Một số hệ thức khi áp dụng định lí Vi-ét:
 Tổng bình phương các nghiệm:
 Tổng nghịch đảo các nghiệm:

= S2 – 2P.
.

 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:

.

 Bình phương của hiệu các nghiệm:
 Tổng lập phương các nghiệm:

= S2 – 4P.
= S3 – 3PS

Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

.

b)

.

c)

d)

Giải:
Phương trình có

=1>0

pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):

a)
b)

.

= S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
=

.

c)
= 122 – 4.35 = 4.
d)
= S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
Bài 31: Cho phương trình: x2 - 20x + 8 = 0 (1). Không giải phương trình hãy tính:

a) x1 + x2
b) x1 . x2
x1 , x2 là nghiệm của phương trình
Bài 32: Cho phương trình: x2 - 5x - 36 = 0 ; với x1; x2 là hai nghiệm số của nó. Tính:
a) x12 + x22
b) x12 - x22
c) x13 + x23

3. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1, x2
không phụ thuộc vào tham số).
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

11

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
* Phương pháp giải:
 Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (
 Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình

;

hoặc a.c < 0).

.

 Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P
Đó là hệ
thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số).
1.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải:
1.
Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1) 2 – 4.2.(m – 1) = 4m 2 – 12m + 9 = (2m – 3) 2
0, m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2.

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):
2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.

4. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
* Phương pháp giải:
 Lập biệt thức (hoặc ).
 Biến đổi
đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương)
 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
* Phương pháp giải:
 Lập biệt thức (hoặc ).
 Biến đổi
đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
6. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
* Phương pháp giải:
 Lập biệt thức (hoặc ).
 Biện luận:
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
>0
giải bất pt
tìm tham số m
kết luận.
+ Phương trình có nghiệm kép khi = 0
giải pt
tìm tham số m
kết luận.
+ Phương trình vô nghiệm khi < 0
giải bất pt
tìm tham số m
kết luận.
+ Phương trình có nghiệm khi
0
giải bất pt
tìm tham số m
kết luận.
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0
giải bất pt
tìm tham số m
kết luận.
7. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
 Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c
P = (A B)2 + c c.
 Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0
giải pt
tìm tham số m
kết luận.
8. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

12

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
* Phương pháp giải:
 Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2
Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0
giải pt
tìm tham số m
kết luận.
Bài 33: Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 – 2(m - 1)x + m2 -1 = 0. Hãy tìm hệ thức giữa x1
và x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Cho phương trình 2x2 + mx – 5 = 0, tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phương
trình bằng 1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 35: Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình nhận – 1 làm một nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 36: Cho phương trình x2 – 2mx + (2m – 3) = 0
a) Giải phương trình với m = - 1
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 37: Cho phương trình: x2 - 2mx + 4m -3 = 0

a) Định m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
b) Định m để phương trình có nghiệm x1= 4. Tính nghiệm x2.

Bài 38: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0

Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0,
.
3. Hệ thức: 2S + P = – 6
2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
2
Bài 39: Cho phương trình x + (m + 1)x + m = 0
a) Giải phương trình với m = 0
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
c) Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 41: Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
Bài 42: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x + m + 2 = 0 (1)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm
x1

x2

 10

b) Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x  x =
3
2
1
2
Bài 43: Cho phương trình: x + mx + 20 = 0 có hai nghiệm x 1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 41 tìm m
và các nghiệm của phương trình trên.
Bài 44: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
1.
Giải phương trình (1) khi m = 3.
Năm học: 2022 – 2023

MUA TRỌN BỘ LH ZALO 0937-351-107

13

Đề Cương Ôn Tập Cả Năm – Toán 9
2.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ
thuộc vào m
HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0
Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
2.
3.

= (m – 1)2

0,

.

 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt...