HỌ VÀ TÊN
Phần I - Trắc nghiệm (2,0điểm)

ĐỀ ÔN TẬP TOÁN 9 ĐỢT 4
ĐỀ SỐ 1

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Điều kiện để biểu thức

có nghĩa là

A.
.
B.
.
C.
.
Câu 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x < 0?

D.

.

A. y = ( √ 5 - 2)x2 B. y = (1- √ 2 )x2
C. y = -2x – 5
D. y = ( √ 2−√ 3) x
2
Câu 3. Phương trình x = 4x+m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A. m < - 4
B. m ¿ - 4
C. m > -4
D. m < -1
2

Câu 4. Đường thẳng y=4 x+m+4 cắt parabol y=mx tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi
A. m∈ R
B. m > -2
C. m ¿ -2
D. m≠−2 và m≠0
Câu 5. Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm dương
2
2
2
2
A. 4 x −16=0
B. x + x=0
C. 2 x −6 x +4=0
D. x −5 x +7=0
Câu 6.Hai đường tròn (O) và (O/) cắt nhau tại A và B trong đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (O/). Tính dây
cung AB biết OA = 20 cm, O/A = 15 cm
A. 12 cm
B. 16 cm
C. 20 cm
D. 24 cm
2
Câu 7.Cho một hình tròn có diện tích bằng
cm . Khi đó bán kính của hình tròn bằng
B. 9 cm;
C. 3 cm;
A.
cm;
D.
cm.
Câu 8. Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường tròn ?
A. Hình bình hành.
B. Hình thoi.
C. Hình chữ nhật.
D. Hình thang.
Phần II - Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau
1) A =
2) B =
( với a > 0, b > 0, a b)
2
Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình x – x + 1 + m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
1) Giải phương trình với m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
Câu 3.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại
B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P.
1) Chứng minh rằng ON là đường trung trực của BC. Cho biết
2) Chứng minh rằng
3) Chứng minh rằng BC, ON và AP đồng quy.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức:
( x + √ x 2+2020 )( y + √ y 2 +2020 ) =2020
Tính: x + y

, tính độ dài đoạn BC.

HỌ VÀ TÊN

ĐỀ SỐ 2

I.Phần trắc nghiệm (2điểm): Em hãy chọn đáp án đúng và ghi vào bài làm của mình

√−3 x
2

Câu 1)Biểu thức  x −1  xác định khi và chỉ khi:
A. x ≥ 3 và x ≠ -1          B. x ≤ 0 và x ≠ -1
C. x ≥ 0 và x ≠ 1            D. x ≤ 0 và x ≠
Câu2) Giao điểm của đồ thị hai hàm số y= -x+1 và y= 2x +4 là
A. (1;0)
B. (-1;1)
C. (-1;-2)
D. (-3;-4)
Câu3) Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình:

√ 2x+3 y=5

Câu 5)Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm là

√2

A. x2 -

C. x2 +

1

A. ( - √ 2 ;1)
B.( -1; - √ 2 )
C. (- √ 2 ;-1)
D.( √ 2 ;1)
2
Câu 4) Phương trình x + 3x – 2m = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
A. m >0
B. m <0
C. m >-2
D. m < 2

√2 x + 3 = 0

B. -2x2 + 2 √ 2 x - 5 = 0

√ 2 x -3 =0

2
Câu 6)Tam giác ABC vuông tại A, biết sinB = 3 . Khi đó cosC bằng :
2
1
2
3
A. 3
B. 3 C. 5 D. 5

D. 3x2 -

√ 18 x

- 2 =0

Câu 7)Cho hai đường tròn (O ;3cm) và (O1 ; 4cm) , đoạn OO1= 5cm.Vị trí tương đối của hai đường tròn là :
A.Tiếp xúc nhau B. Cắt nhau C. Không giao nhau.
D. Đựng nhau
Câu 8) Hãy chọn khẳng định sai. Một tứ giác nội tiếp được nếu:
A. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
B. Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800.
C. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
D. Tứ giác có tổng hai góc bằng 1800.
II.Phần tự luận(8 điểm):
Câu 1(1,25điểm): Cho biÓu thøc:
víi x 0, x 1
a) Rót gän M.
b) Chøng minh r»ng nÕu 0 0.
Câu 2(2điểm): a) Cho pa rabol (P) có phương trình: y =x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = (2-m)x +m2+1
(với m 2) . Chứng minh rằng (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A và B; từ đó hãy tìm m để :
b)Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng, Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa 3 tấn, nếu xếp vào
mỗi toa 16 tấn hàng thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?

Câu 3(0,75 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 4(3 điểm):Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA
lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.
b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC.
c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3
điểm C, K, E thẳng hàng.
Câu 5(1 điểm): a) giải phương trình :
b)Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn đúng với mọi số thực x:

(x+1) (x+2)2(x+3) m

HỌ VÀ TÊN

ĐỀ SỐ 3

Phần I - Trắc nghiệm (2,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức
là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
;
Câu 2. Đồ thị hai hàm số y = 2x và y = mx – 2 cùng đi qua điểm có hoành độ x = 2 khi và chỉ khi
A. m = 3.
B. m = 1.
C. m =
.
D. m = 4.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
nào sau đây?
A.

.

, tập nghiệm của phương trình

được biểu diễn bởi đồ thị hàm số

B.

.

Câu 4. Biết phương trình
A. 5.

.

.

C.

có hai nghiệm
B.

.

D.

. Khi đó biểu thức
C.

.

.
có giá trị là

D. 3.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình
là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 6. Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính 10 cm. Biết một cạnh góc vuông bằng 4 cm thì
cạnh góc vuông còn lại có độ dài là
A. 3

.

B. 4

.

C. 5

.

D. 6

Câu 7. Trên đường tròn (O; 3) lấy hai điểm A và B sao cho độ dài cung AB bằng 2,5 . Số đo
A. 500.
B. 750.
C. 1000 .
D. 1500.
Câu 8.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Khi đó đường tròn (M; 5)
A.cắt hai trục Ox, Oy.
B.cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy.
C.tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy.
D.không cắt cả hai trục.

.
là

Phần II - Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1. (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
2) Chứng minh đẳng thức
Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai
1) Giải phương trình khi
.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

với

.

(với m là tham số)
sao cho biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 4. (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,
C là các tiếp điểm).
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2) Đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa Avà E). Chứng minh BD.CE = BE.CD.

3) Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi K là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. Chứng minh CK BC.
2
Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình 2 x  6 x  1  4 x  5 .

HỌ VÀ TÊN
ĐỀ SỐ 4
I). TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
Chọn phương án đúng và ghi chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm.
Câu 2: Cặp số (1; 3) là nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A. 3x – 2y = 3.

B. 3x – y = 0.

C. 0x + 3y = 9.

D. 0x + 4y = 4.

C).

D).

Câu 3: Hàm số đồng biến với mọi số thực x là
A).

B).

Câu 4: Đường thẳng
A).

khi đó hệ số góc của đường thẳng đó là
B).
D).
C).
Câu 5: Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng
A).
Câu 6:
A).
Câu 7: Cho

đi qua

B).
vuông tại

C).
đường cao

D).

Có

B).

Khi đó
C).

và dây

D).

Khi đó diện tích hình quạt

là

A).
B).
C).
D).
Câu 8: Cho tam giác DEF có DE = 3; DF = 4; EF = 5. Khi đó
A.DE là tiếp tuyến của (F; 3).
B.DF là tiếp tuyến của (E; 3).
C.DE là tiếp tuyến của (E; 4).
D.DF là tiếp tuyến của (F; 4).
II). TỰ LUẬN (8,0 điểm).
Bài 1: (1,5 điểm).
1). Chứng minh đẳng thức:
2). Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có giá trị không âm.
với x > 0; x ¹ 4
Bài 2 (1,5 điểm): Cho phương trình:
1). Giải phương trình với
2). Tìm m để phương trình

với
có hai nghiệm

Bài 3 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau:

thỏa mãn:

Bài 4 (3,0 điểm): Từ điểm

ở bên ngoài đường tròn

là hai tiếp điểm). Kẻ cát tuyến
a

và

tia

nằm giữa hai tia

với đường tròn

đến đường tròn

nằm giữ

và

1). Chứng minh: bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn và

2). Gọi

là giao điểm của

3). Từ

kẻ đường thẳng song song với

với

là tia phân giác của góc
(1,0 điểm). Cho

(O), kẻ hai tiếp tuyến

Chứng minh:
và

và

và tứ giác

đường thẳng này cắt

nội tiếp.

lần lượt tại

và

Chứng minh

là trung điểm của
Tìm GTNN của biểu thức

Bài 5:
HỌ VÀ TÊN
ĐỀ SỐ 5
Phần I- Trắc nghiệm(2,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Điều kiện để biểu thức
A.
.
B.

.

có nghĩa là
C.

.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng
A. –1.
B. –2.
C. 2.

D.

.

(d) đi qua điểm K (-1;1). Hệ số góc của (d) là
D. 4.

Câu 3. Hệ phương trình
có nghiệm (x;y) là
A. (1;1).
B. (7;1).
C. (3;3).
Câu 4. Phương trình nào sau đây có tích hai nghiệm bằng 15?

D. (3;-3).

A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số giao điểm của parabol y = x2 và đường thẳng y= 2x - 3 là
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12cm; AC = 5cm. Độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng
A. 7cm.

B. 1cm.

C.

cm.

D.

cm.

Câu 7. Cho hai đường tròn (O;3cm) và ( ;5cm), có O
= 7cm. Số điểm chung của hai đường tròn là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 8.Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây đúng ?
Tiếp tuyến với đường tròn tại A là đường thẳng
A.đi qua A và vuông góc với AB.
B.đi qua A và vuông góc với AC.
C.đi qua A và song song với BC.
D.cả A, B, C đều sai.
II. Tự luận: (8 điểm)

2 x+2 x √ x−1 x + √ x
P=
+
−
x√ x+x
x
x−
x
√
√
Câu 1(1,5 điểm ) : Cho biểu thức:
2

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của thức P khi

x=3−2 √ 2

với

Câu 2. (1 điểm): Giải hệ phương trình:
Câu 3. (1,5 điểm)Cho phương trình x2 – 2x – m = 0 (m là tham số)
a)Giải phương trình khi m = 3.
b)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O) ,dây AB không đi qua tâm O.Trên cung nhỏ AB lấy điểm M ( M không trùng với A ,B) .Kẻ
dây MN vuông góc với AB tại H.Kẻ MK vuông góc với AN (K thuộc AN)
a)Chứng minh bốn điểm A,M,H,K thuộc một đường tròn
b) Chứng minh :MN là phân giác của góc BMK
c)Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB.Gọi E là giao điểm của HK và BN.Xác định vị trí của M để MK.AN
+ME.NB có giá trị lớn nhất
Câu 5 ( 1 điểm ) : Giải phương trình:

.

HỌ VÀ TÊN
I. Trắc nghiệm

ĐỀ SỐ 6

Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức

là

A.
B.
C.
D.
2
Câu 2: Đồ thị hàm số y = 3x + m đi qua điểm (-1;6) thì m nhận các giá trị là
A. m=3

B. m =

C. m =

Câu 3: Tìm điều kiện của m để hệ pt
A.
B.
Câu 4: Phương trình
A.

D.m =
, với

C. m = -1

có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
B.

.

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, parabol :

C.

D.
có điểm chung với đường thẳng nào?

A.
.
B.
.
C.
.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 3, BC = 5, khi đó
A.

.

có nghiệm duy nhất
D.

B.

.

C.

.

D.

.
có giá trị bằng
D.

.

Câu 7: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M . Nếu MA = R
thì số đo góc AOB bằng :
A. 1200
B. 900
C. 600
D . 450
Câu 8: Cho (O; 6 cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10 cm. Qua M kẻ tiếp tuyến với (O). Khi đó
khoảng cách từ M đến tiếp điểm là:
A. 4 cm.
B. 8 cm.
D. 18 cm.
C. 2
cm.
II. Tự luận
Bài 1: (1,5 điểm). Cho biểu thức
a) Rút gọn A.

với

, x≠1 .

b) Chứng minh với
thì
.
2
Bài 2: ( 1, 5 điểm)Cho pt x –(2m -1)x + 2m – 2 = 0
a, Chứng minh phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m. Tìm m để phương trình nhận
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12 + 2mx2 -2m –x2 = 0

là nghiệm

Bài 3: ( 1 điểm): Giải hệ phương trình:
Bài 4: (3,0 điểm) Cho ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn tâm O bất kỳ đi qua hai
điểm B, C (O không thuộc BC). Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn (O) . Gọi M là
trung điểm BC.
a) Chứng minh các điểm A, E, O, M, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AO và EF. Chứng minh
.
c) Gọi K là giao điểm của FE và BC. Chứng minh
Bài 5 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

HỌ VÀ TÊN

.

ĐỀ SỐ 7

I. Trắc nghiệm (2,0 điểm) Viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được lựa chọn
Câu 1. Biểu thức

1
A. x < 2

vô nghĩa khi

Câu 2. Giá trị của biểu thức

1
B. x ≤ 2

1
C. x ≠ 2

1
D. x > 2

bằng

C. 12
A. −8 √ 2
B. 8 √ 2
Câu 3. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 2x – y = 7 và x + y = –1 là
A.
B.
C.
Câu 4. Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3 ?
A. x2 - 3x + 4 = 0
B. x2 - 3x - 3 = 0
C. x2 - 5x + 3 = 0
Câu 5. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng y = x với trục Ox,
Ox. Phát biểu nào sai
B.
C.
A.
Câu 6. Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù AC = 3a, AB =

D. - 12

D.
D. x2 - 9 = 0

là góc tạo bởi đường thẳng y =

+ 1 với trục

D.
a, khi ñoù sinB baèng

B.
D.
A.
C.
Câu 7. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A cạnh AB = 18cm, AC = 24cm. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc
ñoù baèng
A. 30 cm
C. 20 cm
D. 15 cm
B.
cm
Câu 8.Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 4 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó bằng
A. 2 cm.
B.
cm.
C.
cm.
D.
cm.

II. Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức:
a) Rút gọn P

với

b) Tính giá trị của P khi a = 59 - 30 √ 2 .

Câu 2. (1,5 điểm) Cho parabol:
(P) và đường thẳng:
(d) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng (d) và (P) luôn có điểm chung
b) Gọi y1 và y2 lần lượt là tung độ của 2 điểm chung phân biệt của (d) và (P). Tìm giá trị của m để

Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 4. (3,0 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C là các tiếp
điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E , dây DE không qua tâm O). Gọi H
là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn và
2) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC
3) Chứng minh

a)

b)

Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình
HỌ VÀ TÊN

ĐỀ SỐ 8

Phần I. Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào
bài làm.
Câu 1: Biểu thức

xác định khi

A.
.
B.
và
.
C.
.
D.
và
.
Câu 2: Một đường thẳng đi qua điểm A(0; 4) và song song với đường thẳng x – 3y = 7 có phương trình là
B. y = - 3x + 4.
D. y = - 3x – 4.
A.

.

C.

.

Câu 3: Cặp số (1; -3) là nghiệm của phương trình nào sau đây ?
A. 3x – 2y = 3.
B. 3x – y = 0.
C. 0x – 3y = 9.
D. 0x + 4y = 4.
Câu 4: Đồ thị hàm số y = ax2 cắt đường thẳng y = - 2x + 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 thì a bằng
A. 1.
B. -1.
C.
.
D.
.
2
Câu 5: Tổng hai nghiệm của phương trình x – 2x – 7 = 0 là:
A. -7
B. – 2.
C. 7.
D. 2
Câu 6: Trong tam giác ABC vuông tại A có AC = 3; AB = 4. Khi đó tanB bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 7: Cho đường tròn (O; 5). Dây cung MN cách tâm O một khoảng bằng 3. Khi đó:
A. MN = 4.
B. MN = 8.
C. MN = 3.
D.kết quả khác.
Câu 8.Đường tròn là hình có
A.vô số tâm đối xứng.
B.có hai tâm đối xứng.

C.một tâm đối xứng.

D.không có tâm đối xứng.

Phần II . Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm).
a.Rút gọn biểu thức:
b. Chứng minh rằng :

với a > 0 , a 1

Câu 2: (1,5 điểm). Cho phương trình :
(1)
a. Giải phương trình (1) với m = 4
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn

Câu 3: (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 4: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (ABBC, từ H vẽ HP vuông góc với AB và HQ vuông góc với AC (
PQ tại I, tia PQ cắt đường tròn (O;R) tại K
a. Chứng minh tứ giác APHQ nội tiếp

). Vẽ đường kính AE cắt

b. Chứng minh
c. Chứng minh AH=AK
Câu 5 :(1,0 điểm). Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x  y
x  y


S  2

x  y2
xy

ĐỀ 1
Phần I - Trắc nghiệm(2,0điểm) Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm.
Câu
1
2
3
4
5
Đápán
B
B
C
D
C
Phần II – Tự luận(8,0điểm)
Câu
Ý
Nội dung trình bày
3+ √3
3−√ 3
√ 3 ( √ 3+1 )

(

A = 2+

√ 3+1

1)
(1,0đ)
1.
(1,5đ)
2)
(0,5đ)

2.

1)

)(

. 2−

√ 3−1

)(

= 2+
.

√ 3+1

6
D

)(

2−

√ 3 ( √3−1 )
√ 3−1

7
C

)

8

Điểm
0,5

¿ ( 2+ √ 3 ) ( 2− √ 3 ) =1

0,5

(a -√√bab - √ ab√a- b ) .( a √ b - b √ a )=( √a (√√a−b √ b ) - √ b (√√a−a √ b) ). √ ab (√ a - √ b )

0,25

¿√

¿
¿

b . √ ab √ a . √ ab
−
=b - a. ( a > 0, b > 0, a ≠ b )
√a
√b

Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0.

0,25
0,25

(0,5đ) Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0
(1,5đ)

2)
(1,0đ)

- 3 – 4m 0

0,25

4m

0,25

(1).

Theo hệ thứcVi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m

0,25
0,25

Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4
m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.

0,25

0,25

Ta có hệ
Lấy pt (1) trừ pt (2) ta được: x3 – y3 = 2(y – x)
(x – y)(x2 – xy + y2 + 2) = 0
x – y = 0 x = y.

0,25
3.
(1,0đ)

( do x – xy + y + 2 =
)
Với x = y ta có phương trình: x3 – 2x + 1 = 0
2

2

0,25

(x – 1)(x2 + x – 1) = 0

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là:

.

0,25

C
M

P
O

N

K≡Q

A
B

4.
(3,0đ)

1)
(1,0đ)

2)
(1,0đ)

Ta có
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
Do đó,
là trung trực của BC. Gọi K là giao điểm của ON và BC thì K là
trung điểm của BC.

0,5

vuông tại B, BK là đường cao nên
Kết hợp giả thiết suy ra
Ta có

đồng dạng (g.g)

0,5

(1).

(2).

0,5

(3) nên từ (1), (2) và (3) suy ra
(4).
Tứ giác AMCB là hình thang cân
(5).

0,25

Tương tự,
Vì
Mặt khác,

đồng dạng (g.g)

0,25

Từ (4), (5)
Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Ta chứng minh
3)
(1,0đ)

5.
(1,0đ)

Vì

đồng dạng (g.g)

Tương tự

(6).

đồng dạng (g.g)

0,5
(7).

Kết hợp (6), (7) và kết quả câu b) ta suy ra
trung điểm của BC.
Suy ra
. Vậy
đồng quy tại K.
Ta có:
(1) (gt)
( x + √ x 2+2020 )( y + √ y 2 +2020 ) =2020
(2)
( x + √ x 2+2020 )( x - √ x2 +2020 ) =−2020
(3)
( y + √ y 2+2020 )( y - √ y2 +2020 ) =−2020
Từ (1) và (2) suy ra:
(4)
( y + √ y 2+2020 )=−( x - √ x2 +2020 )
Từ (1) và (3) suy ra:
(5)
( x + √ x 2+2020 )=−( y - √ y 2 +2020 )
Cộng (4) và (5) theo từng vế và rút gọn ta được:
x + y = - (x + y)
2(x + y) = 0 x + y = 0

là

0,25
0,25
0,25
0,25

ĐÊ 2

Đáp án và biểu điểm
Phần trắc nghiệm: Mỗi câu đúng được 0,25 điểm
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
B
C
D
A
D
Phần tự luận
Câu
ý
1

0,5

a

Đáp án
Với x 0, x 1 ta có

6
A

7
B

8

Biểu
điểm

M=
0,25

0,25

M=
M=

0,25

M=
Vậy: Với x 0, x 1 thì M =
b

2

a

Với 0
. Suy ra

0,25

=>
Vậy: 0 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là :
x2 +(m-2)x –(m2+1) =0(1)

0,25

có
. Ta thấy
nên (1) luôn có hai nghiệm
phân biệt x1; x2.
Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B (đpcm)
Ta có xA ; xB là hai nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-et ta có:
xA+xB = 2-m; xA.xB = -(m2+1)

0,25
0,25
0,25

Ta có :

Giải phương trình tìm được
b

Câu 3

0,25

Vậy
là các giá trị phải tìm
0,25
Gọi số toa của xe lửa là x (x
) , số tấn hàng phải chở là y (y>3)
Vì nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa 3 tấn nên ta có phương
0,25
trình: y-3 =15x <=> 15x-y= -3
Nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn hàng thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa nên ta
0,25
có phương trình:16x= y+5<=>16x-y=5
Từ đó ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta được x=8(thỏa mãn); y = 123(thỏa mãn)
Vậy số toa của xe lửa là 8(toa), số tấn hàng phải chở là 123 (tấn)
Điều kiện:
ta có:

0,25

0,25

Đặt

ta có hệ phương trình:

0,25

Câu 4

Câu 4

Giải hệ phương trình ta được
Từ đó ta có x=5(t/m); y=4(t/m)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x;y) = (5;4)

0,25

C
M

H

K
E

A

B

O

N

a

Ta có:

(do AB MN) và

(do MH BC)

0,25
0,25
0,25

(1)

0,25

Suy ra:
Tứ giác BOMH nội tiếp.
b

∆OMB vuông cân tại O nên
Tứ giác BOMH nội tiếp nên
và

(cùng chắn cung OM)
0,25

(cùng chắn cung OB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

0,25

HO là tia phân giác của
(3)
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BMC vuông tại M có MH là đường
cao ta có:

(4)

Từ (3) và (4) suy ra:
c

Vì
kính là MC

0,25

(đpcm)

0,25

(do MH BC) nên đường tròn ngoại tiếp ∆MHC có đường
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

MN là đường kính của đường tròn (O) nên
chắn nửa đường tròn)
3 điểm C, K, N thẳng hàng
∆MHC ∽ ∆BMC (g.g)
tại B)

(góc nội tiếp
(*)

. Mà MB = BN (do ∆MBN cân

0,25

, kết hợp với
Suy ra:

(theo (5) )

. Mà

∆MCE ∽ ∆BNE (c.g.c)

, mà

hàng)

0,25

(do 3 điểm M, E, B thẳng
0,25

3 điểm C, E, N thẳng hàng
(**)
Từ (*) và (**) suy ra 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng
3 điểm C, K, E thẳng hàng (đpcm)
Câu 5

0,25

a
ĐKXĐ:

. Ta có

0,25

Vậy phương trình có nghiệm là x=-1
b

Gọi P = (x+1)(x+2) (x+3) =(x+1)(x+3)(x+2) =(x +4x+3)(x +4x+4)
2

2

2

2

Đặt t= x2+4x+3 khi đó ta có P =t(t+1) = t2+t=

0,25

0,25

P=
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

khi và chỉ khi x=

Vì m P với mọi x
=> m giá trị nhỏ nhất của P=
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của m là -1
ĐỀ 3

Câu
1
2
Đáp án
D
A
Phần II – Tự luận (8,0 điểm)
Câu
Ý
1.
(1,5đ) 1)
(0,5đ)
2)
(1,0đ)

Với

ta có:

3
C

4
B
Nội dung trình bày

5
C

0,25

6
A

7
D

8

Điểm
0,25

=

0,25
0,25

0,25
0,25

. Vậy
Với m = –1 ta có phương trình x2 – 3x – 1 = 0

với

.

0,25

1)
Ta có  ∆ =
(0,5đ)

2.
(1,5đ)
2)
(1,0đ)

0,25

0,25

phương trình có hai nghiệm
.
2
2
Ta có ∆ = [-(2m +5)] – 4(2m +1) = 4m + 20m + 25 - 8m - 4
= 4m2 + 12m + 21 = (2m +3)2 + 12 > 0 với mọi m
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x2 = 2m + 5; x1.x2 = 2m + 1

0,25

Ta có :

0,25

Với mọi m ta có

0,25

Hay
Dấu “=” xảy ra
Vậy

0,25

là giá trị cần tìm.
0,5

Ta có:
Với

thay vào phương trình

ta được:

3.
(1,0đ)
Với

thay vào phương trình

0,25

ta được:
0,25

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x; y) = (1; 1); (x; y) = (-1; -1)
Hình vẽ:

B

N
O

A
M

D
E

K

C

Ta có AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
1
(1,0đ
)
4.
(3,0đ)

AB OB và AC

0,5

OC

Xét tứ giác ABOC có
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp

0,5

Chứng minh được hai tam giác ABD và AEB đồng dạng
2)
(1,0đ) Chứng minh được hai tam giác ACD và AEC đồng dạng
Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC
Chứng minh được hai tam giác MCN và MBC đồng dạng

3)
(1,0đ) Ta có MC = MA
hai tam giác MAN và MBA đồng dạng
mà
Từ đó suy ra được BC là tiếp tuyến của (K)
5
x 
4 . Ta có:
Điều kiện:
2x2  6 x  1  4x  5

5.
(1,0đ)

0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25

CK

BC.

0,25
0,25

4 x 2  12 x  2 2 4 x  5  (2 x  3) 2 2 4 x  5  11

Đặt 2 y  3  4 x  5 ta được hệ phương trình sau:
0,25
Với x  y  2 x  3  4 x  5  x 2  3
Với
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

0,25
0,25

ĐỀ 4
I). PHẦN TRẮC NGHIỆM (mỗi câu đúng cho 0,25 điểm)
Câu1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
D
B
B
C
D
A
II). PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm):

Câu 7
B

Câu 8

NỘI DUNG TRÌNH BÀY CƠ BẢN

ĐIỂM

1). Ta có:
0,25
0,25

Vậy đẳng thức được chứng minh.
2). Với

ta có:

0,25

0,25

0,25
Biểu thức có giá trị không âm khi và chỉ khi:

Kết hợp với điều kiện ta có:

thì biểu thức có giá trị không âm.

NỘI DUNG TRÌNH BÀY CƠ BẢN
1). Với
Ta thấy
Vậy khi
2). Ta có:

0,25
ĐIỂM
0,25

ta có phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm

0,25

phương trình có hai nghiệm phân biệt
nên phương trình

luôn có nghiệm.

0,25

0,25

Theo hệ thức Vi_ét ta có:

0,25

0,25
Vậy khi

thì phương trình

có hai nghiệm

thỏa mãn:

NỘI DUNG TRÌNH BÀY CƠ BẢN
(Điều kiện xác định:

ĐIỂM
0,25

).

0,25

0,25

(Thỏa mãn điều kiện

).
0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm
NỘI DUNG TRÌNH BÀY CƠ BẢN

ĐIỂM

B
M

E

P

D

N
O

H

A

C
1). Có

và

là hai tiếp tuyến của

Suy ra bốn điểm
Xét

nên

0,25

.

0,25

cùng thuộc một đường tròn đường kính

và

có:

là góc chung.
(Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung

)

Suy ra:

0,25
0,25

2). Có
và
tuyến cắt nhau).

là hai tiếp tuyến cắt nhau của

nằm trên đường trung trực của
Có:

(1)

(cùng là bán kính của đường tròn tâm
nằm trên đường trung trực của

Từ (1) và (2) suy ra:
Do đó

nên AB=AC (Tính chất hai tiếp

)

(2)

là đường trung trực của đoạn thẳng

vuông góc với

tại

vuông tại B (
có
là đường cao. Theo hệ thức giữa cạnh và
đường cao trong tam giác vuông ta có.

0,25

0,25

Mà

0,25

nên

Xét

và

có:

là góc chung;

0,25

Vậy
(Hai góc tương ứng)
Suy ra tứ giác
đỉnh đối diện)

nội tiếp (Tứ giác có góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài của

3). Tứ giác

nội tiếp nên

cân tại

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung

nên

, mà

).

nên

Lại có
Do đó

0,25

là tia phân giác của
có

là tia phân giác của góc

tam giác ta có:

0,25

Theo tính chất đường phân giác của

(3)

có
là tia phân giác của góc
và
nên
là phân giác góc
ngoài tại đỉnh
của
Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:
(4)

0,25

Từ (3) và (4) suy ra:
có

(Hệ quả định lí ta lét) (5)
có

(Hệ quả định lí ta lét) (6)

Mặt khác

(Theo chứng minh câu 6)

Từ (5); (6) và (7) suy ra:

(7)
là trung điểm của MN.

NỘI DUNG TRÌNH BÀY CƠ BẢN
1). Với

0,25
ĐIỂM

ta có:
0,25

0,25

dấu bằng xảy ra
+

=

=

=

, với mọi

và dấu

bằng xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
0,25

Dấu bằng xảy ra
(Vì

)

Dấu bằng xảy ra
0,25
Vậy
ĐỀ 5
I. Trắc nghiệm:
Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm
1
2
3
D
D
D
II. Tự luận:
Câu

4
C
Nội dung

5
A

6
C

7
B

8

Điểm

a)

0,5
0,25

b)Ta có

0,25
0,25

Thay vào biểu thức

0,25

Tính được kết quả

0,25

2
1

Giải hệ phương trình:

Từ pt(1) ta có:
0,5

=0
hoặc x = -1-y
- Nếu x =2y thì pt(2) có dạng
hoặc y =

0,25

hoặc
- Nếu x= -1- y thì hpt có nghiệm là
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

3

hoặc

0,25

(x;y) = (-1;0);(0;-1);(
);(
)
Câu 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 – 2x – m = 0 (m là tham số)
a)Giải phương trình khi m = 3.
b)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:

1,5

a) Với m = 3 ta có phương trình x2 – 2x – 3 = 0

0,25

Vì a – b + c = 1 + 2 – 3 = 0 nên phương trình trên có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = 3.

0,5

0,5

2. Phương trình x2 – 2x – m = 0 có hai nghiệm phân biệt
 ' = 1 + m > 0  m > -1.
Theo định lí Vi-et, ta có:
Theo

.
giả

thiết:

0,25

 4 + 2m + 2 = 2020  2m = 2014  m = 1007 > -1

(thoả mãn)
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1007.
4

M
E
H

A

B

O
K

3
N

H×nh vÏ ®óng
Chó ý: KÓ c¶ trêng hîp ®Æc biÖt khi MN ®i qua O
a)
0,75
điểm
b)
1
điểm

a) Tõ gi¶ thiÕt:
,
Bèn ®iÓm A, K, H, M cïng thuéc mét ®êng trßn

=

s®

=

s®

0,25
0,25
0,25
0,25

Tõ (1) vµ (2)
MN lµ ph©n gi¸c cña gãc KMB
s®

0,5

;

0,25
s®

cùng thuộc 1 đường tròn
c)
1,25
điểm

0,5

0,5
lín nhÊt
MN lớn nhất (Vì AB= 2R ko đổi )

MN.AB lớn nhất
M là điểm chính giữa

0,25

5
1
điểm
Ta chứng minh:
với a > 0; b > 0; c > 0

(*)

+ Với a > 0; b > 0 ta có:
+ Do

0,25

(1)
nên

+ Từ (1) và (2) ta có:

0,25

(2)
(3) (Với a > 0; b> 0; c > 0)

+ Áp dụng (3) ta có:
với a > 0; b> 0; c > 0
Phương trình
có ĐK:
Áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x; b = x; c = 2x - 3 ta có:

với
Dấu “ = ” xảy ra
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
ĐỀ 6
I.

Trắc nghiệm
Câu

1

2

3

4

5

6

7

Đ. án

D

B

D

C

B

C

A

II.
Bài

8

Tự luận:
Ý

Nội dung trình bày
+ Với

a)
(1,0 đ)

, x≠1 . ta có

Điểm
0,25

+ Bến đổi
0,25

0,25
+Khi đó
b)

.

+ Ta thấy

(0,5 đ)

0,25

thỏa mãn điều kiện
vào biểu thức

, x≠1 . Thay
0,25

ta được

1.

.

(1,5đ)
0,25
(đpcm).
2
(1, 5 đ)

a
(0,75đ)

pt x2 –(2m -1)x + 2m – 2 = 0
( a = 1; b = -(2m -1); c = 2m -2)
Ta có a + b +c = 1 - 2m +1 + 2m – 2 = 0

0,25

Nên phương trình có nghiệm x1 = 1;
Vậy phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m
Để phương trình nhận

Vậy với
b
(0,75đ)

TH1: thay x1 = 1;

0,25

là nghiệm thì

thì phương trình nhận

là nghiệm

0,25

vào x12 + 2mx2 -2m –x2 = 0

Ta được 1 + 2m(2m-2) – 2m – (2m -2) = 0
0,25
Có
TH2: thay x2 = 1;

nên pt có hai nghiệm pb
vào x12 + 2mx2 -2m –x2 = 0

Ta được (2m-2)2 + 2m – 2m -1 = 0

0,25

0,25
Vậy

thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

x12 + 2mx2 -2m –x2 = 0
3(1 đ)

Xét phương trình (1) ta có

0,25
Thay x = 1 vào pt ( 2) ta được 1 + y2 = 2
y2 = 1

0,25

y = 1 hoặc y = -1

Thay x = -y vào pt (2) ta được 2y2 = 2

y2 = 1

y = 1 hoặc y = -1

Với y = 1 thì x = -1; với y = -1 thì x = 1

0,25

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm
4.

0,25

Hình vẽ

(3,0đ)

F

B
A

C

M

K
H

O

E

+ Ta có OE ¿ AE (tính chất tiếp tuyến) ⇒ góc OEA = 900 ⇒ E thuộc
a)
(1,25)

đường tròn đường kính AO (1)

0,25

+ Ta có OF ¿ AE (tính chất tiếp tuyến) ⇒ góc OFA = 900 ⇒ F thuộc
đường tròn đường kính AO (2)

0,25

+ Ta có M là trung điểm của dây cung BC không đi qua tâm đường
tròn (O)
OM ¿ BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) ⇒ góc

⇒

0,25

OMA =900
⇒

M thuộc đường tròn đường kính AO (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ các điểm A, E, O, M, F cùng nằm trên một đường

0,50

tròn đường kính AO
Ta có OE = OF (đều là bán kính của (O)) nên O thuộc trung trực của
b)
(1,25)

EF.
Ta có AE = AF (tính chất tiếp tuyến) nên A thuộc trung trực của EF.
AO là trung trực của EF

0,25

tại H.
Ta có

vuông tại E, EH là đường cao

0,25

.

(4)
+ Xét

và

chỉ ra góc ACE = góc AEB, góc CAE chung.

đồng dạng với

(g.g)

.

0,50

(5)
+ Từ (4) và (5) suy ra
c)

(vì cùng bằng AE2).

0,25

+ Biến đổi

(0,5 đ)
0,25

+ Chỉ ra AK.AM = AH. AO ; AB . AC = AH. AO và kết luận
0,25
5.

Học sinh chứng minh được: với 2 số thực dương x, y thì :

0,25

(1đ )
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y.
0,25
Áp dụng bđt (*) ta có:

(1)

0,25
Tương tự

(2)
(3)

Cộng từng vế các bđt (1), (2) và (3) ta được:

0,25

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c.
ĐỀ 7
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. TRẮC NGHIỆM: Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm
1
2
3
4
D
A
A
B
II. TỰ LUẬN:
Bài

Ý

5
C

6
B

7
D

8

Nội dung

Điểm

Với
0, 25
a
(0,75đ)
1
(1,5đ)

0,25
0,25

Tính được
Ta có: a = 59 - 30 √ 2 =
b
(0,75đ)

2
(1,5 đ)

Rút gọn được

a
(0,5đ)

b
(1,0đ)

Thay

(thỏa mãn điều kiện

)

vào biểu thức rút gọn ta có

0, 25

0,25

Tính và kết luận
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình

0,25

Tính và chứng minh được pt (1) có
Kết luân được pt(1) luôn có nghiệm, do đó (d) và (P) luôn có điểm
chung
Chỉ ra được điều kiện để (d) và (P) có 2 điểm chung phân biệt là pt(1)
có 2 nghiệm phân biệt và tìm được

0,25
0,25
0,25

Gọi
do đó
Với

là tọa độ giao điểm của (d) và (P) thì
0,25
áp dụng hệ thức vi-et đối với pt (1), suy ra được
0,25

giải và tìm được
Đối chiếu với đk

0,25

, kết luận

Gọi
Đặt S = x + y; P = xy

(I)

(I)
3
(1,0 đ)

0,25
Theo định lý Vi-ét: x, y là nghiệm của pt:
Giải và tìm được X = 3; X = -1

0,25
0,25

hoặc
Kết luận nghiệm

4
(3,0đ)

0,25

B

=
A

_

O
=

D

/

K

H

/

E

C

1
(0,75đ)
2
(1,0đ)

Chỉ ra được

(tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác ABOC và chỉ ra được
 ABOC nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800)
Chứng minh được năm điểm A, B ,O, H, C cùng thuộc một đường
tròn đường kính AO

0,25
0,5
0,25

Xét (O): Chỉ ra được AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
(mối quan hệ

0,25

Chứng minh được
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng
nhau)
Kết luận HA là tia phân giác của góc BHC

0,25

Xét đường tròn đường kính AO: Chỉ ra được
giữa cung và dây cung)

a) (0,5đ) Xét (...