Giải từ câu 31 -50. Mã đề 102 – Đề thi Toán của BGD năm 2023
Câu 31. Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SB
và CD bằng
A.
B.
C.
Hướng dẫn:
Dễ thấy SAB là tam giác đều mà CD//AB

D.


Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho điểm
và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 5 = 0. Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là

A.

B.

Hướng dẫn: VTPT của (P) là

A.

A.

 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) có VTCP là

nên có phương trình:
Câu 33. Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m,
phương trình 2 f (x) = m có 4 nghiệm thực phân biệt?
A. 4.
B. 16.
C. 17.
D. 8.
Hướng dẫn:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng
Từ đồ thị, PT có 4 nghiệm phân biệt khi đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt 
mà m Z  Có 17 giá trị của m thoả bài toán.
Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;3) và B(-1;0;5) . Phương trình của mặt cầu đường
kính AB là:
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn: Mặt cầu có tâm I là trung điểm của AB 

và bán kính

 PT mặt cầu là
Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật
có AB =1, BC = 2, AA' = 3
(tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng.
A.
Hướng dẫn :

B.

C.

D.
1

Hai đường thẳng AB' và BC' lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song nhau là
và
Dễ thấy đường thẳng AB' //(C'BD) mà (C'BD) có chứa BC' nên khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng khoảng cách từ AB' đến mp (C'BD)
* Ta có
)xem

phần nhắc lại lý thuyết)
* Mặt khác đoạn thẳng AC cắt cắt mp (C'BD) tại O mà
OA = OC nên
* Xét tứ diện
có các cạnh
một vuông góc nên ta có

đôi

.
Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ.
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn với 3 cạnh AB, AD, AA', khi đó tọa độ các đỉnh là
,
+

có hai VTCP là

+

qua

và

có VTPT

 VTPT
nên có PT:
b

Nhắc lại lý thuyết về khoảng cách:

Câu 36. Tập xác định của hàm số
A. 11
B. 5

với

thì

M

A

M'

a



chứa bao nhiêu số nguyên?
D. 10

C. 6

B

Hướng dẫn: Điều kiện xác định

b'

(Hình a)


Vậy có 11 giá trị nguyên x trong tập xác định.

Câu 37. Cho số phức z thoả mãn
A. 5

B.

Hướng dẫn: Gọi số phức z có dạng
+ Theo đề bài

. Mô đun của z bằng
C.

D. 3
với a, b  R và


Câu 38. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S,
xác suất để chọn được số đó có tổng hai chữ số bằng 8 là

2

A.

B.

Hướng dẫn: Gọi

C.

D.

là số có 2 chữ số khác nhau

+ Có 9 cách chọn a từ tập
+ Có 9 cách b từ tập

vì a ≠ 0
vì b ≠ a

tập S có
phân tử
+ Có 7 số có tổng 2 chữ số bằng 8 là 80;17;71;26;62;53;35
Xác suất cần tìm là
Câu 39. Cho hàm số bậc hai y = f (x) có đồ thị (P) và đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm như trong
hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích

. Tính tích phân

A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:
Ta có:
Áp dụng tích phân từng phần

, ta có:

* Ta có:

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho ứng với mỗi m, hàm số
có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng (0;6)
A. 24
B. 25
C. 26
Hướng dẫn:
. Hàm số
khi

D. 23

có đúng một cực trị thuộc khoảng

có một nghiệm bội lẻ thuộc khoảng

khi và chỉ

có một nghiệm bội lẻ thuộc

khoảng
3



. Đặt
* Bảng biến thiên:

Để hàm số có 1 cực trị thuộc
nguyên m

 Có 24 số

Chú ý: Ta vẫn lấy m = 0 vì khi đó hàm số có một cực trị
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn
A. 242
B. 235

?

C. 233

D. 238

Hướng dẫn:

Điều kiện: x > 0, ta có:



Mà

Vậy có 235 số thỏa mãn.
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
thẳng d đi qua A(1;0;-2) , nhận

và đường

(với a  R) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt (S ) tại

hai điểm phân biệt mà tiếp diện của (S ) tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi
dưới đây.

thuộc khoảng nào

A.

D. C.

B.

C.

Hướng dẫn :
Mặt cầu

có tâm

, bán kính

Gọi
là giao điểm giữa và
, và K là hình chiếu
vuông góc của I trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Theo đề cắt
tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của
tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác KBIC là hình
4

vuông, từ đó suy ra

. Gọi H là giao điểm của 2 đường

chéo của hình vuông thì
Từ đó ta có
Ta có

,

suy ra

Từ đó
chọn C
Cách 2. Tính theo góc

.

Ta tính được
,



(định lý Pi ta go)



,

Câu 43. Cho hình lập phương



có cạnh bằng 2. Xét hình nón N có đáy nằm trên mặt

phẳng ABCD và mặt xung quanh đi qua bốn điểm A', B', C', D'. Khi bán kính đáy của N bằng
diện tích xung quanh của N bằng:
A.
B.
C.
Hướng dẫn: Do OC//OM, áp dụng định lý Ta lét ta có:

Câu 44. Gọi S là tập hợp các số phức

A.
Hướng dẫn:

D.

 SO = 2 + 2 = 4

Tam giác SOM vuông tại O, ta có:

thuộc S sao cho

(a, b  R) thỏa mãn

và

là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B. 2

C.

D.

Từ
suy ra
và
 Điểm biểu diễn tập hợp các số phức S chạy trên hai đoạn thẳng như hình vẽ
*Xét biểu thức:
Gọi M biểu diễn số phức z1, N biểu diễn số phức z2 và


,

,

cùng chiều với
5

từ (1)

. Xét
bằng

Từ

với
* Để tìm P, ta phải viết của tọa độ của M, N theo cùng một biến x dựa vào
điều kiện ràng buộc
Vì M  (d1) nên
+ Từ

mà

mặt khác

ta có:
(do k >0) 

Vậy



 Tọa độ

* Vậy có các tọa độ

Đặt

,

và

,

nên:

.Áp dụng:

, ta có:
. Dầu “=” xảy ra khi

và

cùng phương,

ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

khi

Câu 45. Trên tập số phức, xét phương trình

. Có bao nhiêu cặp số (a, b) để

phương trình đó có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn
A. 2
B. 4
C. 6

D. 5

và

Hướng dẫn: Ta có:
*Trường hợp 1.

. Xét điều kiện

có 4 cặp nghiệm là
. Mỗi cặp nghiệm

dụ với cặp
ta có
Vậy trường hợp 1 cho 4 cặp số (a, b)
*Trường hợp 1.
với
Xét điều kiện

và

cho ra một bộ số a, b. Ví

(Dùng định lý Vi ét:
là những số phức liên hợp. Gọi

)
thì

. Dựa vào điều kiện ta tìm cặp (x; y) thỏa mãn điều kiện



6



+ Với cặp

ta có 2 số phức

+ Với cặp

ta có 2 số phức

và

và

+ Vì có 2 cặp
nên có 2 bộ số (a, b) trong trường hợp này.
* Vậy có tất cả 6 bộ số (a, b) thỏa mãn YCBT
Nhận xét: Trong trường hợp 2 ta không cần tìm nghiệm (x, y) cụ thể ta chỉ cần chứng minh HPT có

nghiêm bằng cách xét sự tương giao của 2 đường tròn
+ Đường tròn

và

+ Ta có

Vậy

nên hai đường tròn cắt nhau tại 2

điểm
,
 HPT có 2 cặp nghiệm, mỗi cặp ứng với một cặp số phức liên hợp nhau  có
2 bộ (a; b)
Câu 46. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C ' có AC ' = 8, diện tích của tam giác A'BC bằng 9 và đường
thẳng AC ' tạo với mặt phẳng ( A'BC) một góc
A. 6
Hướng dẫn:

B. 18

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

C.

D.

Gọi I là giao điểm của AC' và A'C, H là hình chiếu của A lên
thì góc giữa đường thẳng AC' và

là góc

AC' = 8  AI = 4 


Mà
Câu 47. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y, tồn tại duy nhất một giá trị
thỏa mãn

. Số phần tử của S bằng

A. 8
B. 7
C. 3
D. 1
Hướng dẫn: Ta xem y là tham số  Rút y ra để có dạng quen thuộc: tìm nghiệm của phương trình m =
f(x)
* Đặt y = m
7

Ta có:
với
* Gọi



* Ta thấy với

thì biểu thức trong ngoặc vuông dương do đó dấu của f'(x) phụ th8c5 vào

dấu của biểu thức
* Bảng biến thiên
* Từ bảng xét dấu ta thấy để ứng với mỗi y tồn tại
duy nhất x tức là phương trình m = f(x) có nghiệm
duy nhất khi

 có 7 giá trị y thỏa mãn YCBT  chọn B
Câu 48. Cho hàm số

nhận giá trị dương trên khoảng

thỏa mãn
nào dưới đây?
A.

, có đạo hàm trên khoảng đó và

Biết
B.

, giá trị

C.

D.

Hướng dẫn:

Vậy
Vì (1) đúng với mọi x dương, ta thay x = 1 và x = 4 vào (1) ta có:
Cho

ta được

Cho

ta được

Theo bài ra thì

, từ đó suy ra

.Thay vào (1) 
8

thuộc khoảng

Cho
ta được
 chọn B
Câu 49. Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có tâm I (3,7,12) và bán kính R thay đổi. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của R sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của (S) trong mặt
phẳng
A. 11

mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua O và góc giữa chúng không nhỏ hơn
B. 7
C. 5
D. 3

?

Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng
thì
+ Hai tiếp tuyến với mặt cầu qua O là OA, OB, ta nhận thấy khi R thay
đổi thì H và O cố định và

và

còn bán kính đường tròn giao tuyến r thay đổi do đó góc

thay đổi.

+ Góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn, ta có
(vì nếu

thì góc còn lại nhỏ hơn

)


Mà
Thay vào (*) ta có:

Vậy có tất cả 5 giá trị của



.

Câu 50. Cho hàm số
với mỗi

, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng
bằng

A. 63
Hướng dẫn: Đặt

Vì

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

?
B. 65

của phương trình

C. 62

. Ta có:

sao cho ứng

D. 64


nên u, u +4 luôn luôn dương do đó dấu của f'(u) là dấu

của tích


Bảng xét dấu của
là dấu của hàm số
* Khi
phương trình có 4 nghiệm.
Ta chứng minh tổng 4 nghiệm này luôn luôn
bằng – 8.

như sau:

* PT
9

với

có 4 phân biệt
(theo bảng xét dấu) nên PT
có 2 nghiêm

(vì tích
 Các PT theo x là:
,
,

Các PT (2) và (4) vô nghiệm vì
PT (1) có 2 nghiệm
* Vậy

, PT (3) có 2 nghiệm
, m Z thỏa mãn YCBT  có 63 số

10

