UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề gồm 05 câu

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: Toán
Khối: 8
Ngày thi: …./…../20….
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên: Phạm Hữu Tiệp
Đơn vị: Trường PTDTBT TH&THCS Nậm Khao
ĐỀ BÀI

Câu 1 (4,0 điểm): Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2 (5,0 điểm):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100.
c) Cho P = n4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố
Câu 3 (3,0 điểm):
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
b) Chứng minh rằng:

Câu 4 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,
BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?
c) Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?
Câu 5 (2,0 điểm): Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng:
- - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )

UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang)

Câu

Ý

Nội dung đáp án

Điểm
0,75 điểm
0,75 điểm

a

1
(4đ)

=

0,5 điểm

=

0,5 điểm

Với
Để
b

2
(5đ)

0,5 điểm

Ta có
thì (x-1) phải là ước của 2

0,25 điểm

Suy ra
Xét từng trường hợp tìm x

0,5 điểm

Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và
kết luận

0,25 điểm
0,75 điểm

a

0,75 điểm
0,5 điểm

b

c

1110 - 1 = ( 11 -1 )(
)
= 10(
)
Vì 10 10
và (
) có chữ số tận cùng ( hàng đơn vị)
bằng 0
Nên: (
) chia hết cho 10
10
Vậy: 11 - 1 chia hết cho 10.
P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2  - (2n)2
= (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1)2 + 1

2;

0,5 điểm
0,75 điểm
0,25 điểm
0,75 điểm
0,5 điểm

Như vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1)2 + 1 =
1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1.
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
Phương trình đã cho có thể viết lại là :

0,25 điểm
0,5 điểm

Ta thấy
Với

là nghiệm của phương trình đã cho.
ta xét:

Nếu

thì

Với

dễ thấy

0,5 điểm
không phải là nghiệm của

phương trình
Với

ta đặt

thì

nên

. Ta có:
0,75 điểm

Phương trình này vô nghiệm vì
0,25 điểm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Ta có:

3
(4đ)

0,25 điểm
Đặt:

b

Khi đó, ta có:
0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
(đpcm)

0,25 điểm

0,25 điểm

1,5 điểm

a
4
(5đ)

Vaäy MNPQlaø hình bình haønh.
Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ

0,25 điểm
0,5 điểm

Maø

1,0 điểm

b

Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chữ nhaät.
Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ

0,5 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm

c
Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi.

0,25 điểm

Từ: a + b + c = 1

0,75 điểm

5
(2đ)
0,75 điểm
Dấu bằng xảy ra

a=b=c=

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa)

0,5 điểm