UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: Toán
Khối: 8
Ngày thi: …./…../2023
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề gồm 05 câu

Họ và tên: Trần Trung Tiến
Đơn vị: Trường PTDTBT TH&THCS Nậm Khao
ĐỀ BÀI

Câu 1 (4,0 điểm):
Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x, để A < 0.
Câu 2 (5,0 điểm):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Cho

là số tự nhiên lẻ. Chứng minh

c) Tìm số tự nhiên

để

chia hết cho

là một số chính phương.

Câu 3 (3,0 điểm):
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
b) Giải phương trình:
Câu 4 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các
đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E
và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D ở vị trí
nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông?
Câu 5 (2,0 điểm): Cho

thỏa mãn

Chứng minh rằng :
Hết

Họ và tên thí sinh................................................. số báo danh.................
Giám thị số 1............................................Giám thị số 2.................................................

UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Môn: Toán
CÂU

Ý

NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐKXĐ:
Với

0,5 điểm
, ta có:
0,5 điểm

A=
a
1
(4đ)

=

0,5 điểm

=

0,5 điểm

=

0,5 điểm

=

Ta có: A < 0
b

(1)

Mà
với mọi
Nên (1)
Vậy với x > 1 thì A < 0
= (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24

a

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
Vì

b

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong

ba số đó chia hết cho 3.

0,5 điểm

Do đó
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với
suy ra

c

0,5 điểm

0,5 điểm

Ta có:

2
(5đ)

ĐIỂM

0,5 điểm

Giả sử

0,25 điểm

Suy ra

0,5 điểm

Mặt khác

và
nên có các trường hợp sau:

0,5 điểm

0,25 điểm

Vậy các số cần tìm là
3
(4đ)

Phương trình đã cho có thể viết lại là :

0,5 điểm

Ta thấy
Với

là nghiệm của phương trình đã cho.
ta xét:

Nếu

thì

Với

dễ thấy

0,5 điểm
không phải là nghiệm của

phương trình
Với

ta đặt

thì

nên

. Ta có:
0,75 điểm

Phương trình này vô nghiệm vì
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

0,25 điểm

b
0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
Vì

4
(5đ)

a

b

c

5
(3,5 đ)

0,5 điểm

Xét tứ giác AEDF, có: DE // AF, DF // AE (gt) 
Suy ra AEDF là hình bình hành.

1,0 điểm
1,0 điểm

Giả sử AEDF là hình thoi khi đó AD là tia phân giác của
góc A. 

1,0 điểm

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh
BC thì AEDF là hình thoi.

1,0 điểm

Nếu ΔABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF có góc
EAF = 900 nên AEDF là hình chữ nhật.
Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác
của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là
hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

0,5 điểm
0,5 điểm

Bài toán phụ : Chứng minh rằng
0,5 điểm

Chứng minh
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
(2)

0,5 điểm
Mà
(vì
Với

ta có:

0,75 điểm

(vì

Từ (2) và (3) suy ra :
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa)

0,25 điểm