CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8

CHUYÊN ĐỀ 9 – ĐỒNG DƯ
A. Định nghĩa:
Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m
0 thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a
b (mod m)
Ví dụ:7
10 (mod 3) , 12
22 (mod 10)
+ Chú ý: a
b (mod m)
a – b
m
B. Tính chất của đồng dư thức:
1. Tính chất phản xạ: a
a (mod m)
2. Tính chất đỗi xứng: a
b (mod m)
b
a (mod m)
3. Tính chất bắc cầu: a
b (mod m), b
c (mod m) thì a
c (mod m)
4. Cộng , trừ từng vế:

Hệ quả:
a) a
b (mod m)
a + c
b + c (mod m)
b) a + b
c (mod m)
a
c - b (mod m)
c) a
b (mod m)
a + km
b (mod m)
5. Nhân từng vế :

Hệ quả:
a) a
b (mod m)
ac
bc (mod m) (c
Z)
b) a
b (mod m)
an
bn (mod m)
6. Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương
a
b (mod m)
ac
bc (mod mc)
Chẳng hạn: 11
3 (mod 4)
22
6 (mod 8)
7.

Chẳng hạn :

C. Các ví dụ:
1. Ví dụ 1:
Tìm số dư khi chia 9294 cho 15
Giải
Ta thấy 92
2 (mod 15)
9294
294 (mod 15) (1)
Lại có 24
1 (mod 15)
(24)23. 22
4 (mod 15) hay 294
4 (mod 15) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 9294
4 (mod 15) tức là 9294 chia 15 thì dư 4
2. Ví dụ 2:
Chứng minh: trong các số có dạng 2n – 4(n
N), có vô số số chia hết cho 5
Thật vậy:
Từ 24
1 (mod 5)
24k
1 (mod 5) (1)
Lại có 22
4 (mod 5) (2)
Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k + 2
4 (mod 5)
24k + 2 - 4
0 (mod 5)
Hay 24k + 2 - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, ... hay ta được vô số số dạng 2n – 4
(n
N) chia hết cho 5
Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a

1 (mod m)
a
1 (mod m)
an
1 (mod m)
a
-1 (mod m)
an
(-1)n (mod m)
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng
a) 2015 – 1 chia hết cho 11 b) 230 + 330 chi hết cho 13
c) 555222 + 222555 chia hết cho 7
Giải
a) 25
- 1 (mod 11) (1); 10
- 1 (mod 11)
105
- 1 (mod 11) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 25. 105
1 (mod 11)
205
1 (mod 11)
205 – 1
0 (mod 11)
b) 26
- 1 (mod 13)
230
- 1 (mod 13) (3)
33
1 (mod 13)
330
1 (mod 13) (4)
Từ (3) và (4) suy ra 230 + 330
- 1 + 1 (mod 13)
230 + 330
0 (mod 13)
Vậy: 230 + 330 chi hết cho 13
c) 555
2 (mod 7)
555222
2222 (mod 7) (5)
23
1 (mod 7)
(23)74
1 (mod 7)
555222
1 (mod 7) (6)
222
- 2 (mod 7)
222555
(-2)555 (mod 7)
Lại có (-2)3
- 1 (mod 7)
[(-2)3]185
- 1 (mod 7)
222555