UBND QUẬN HỒNG BÀNG
TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG

KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2021 – 2022
MÔN THI: TOÁN 8
(Thời gian 150 phút, không kể giao đề)


Bài 1 (2,0 điểm).
1.Cho
. Tính giá trị của biểu thức:

.
2.Thu gọn biểu thức:

.
Bài 2 (2,0 điểm).
1. Tìm các cặp số nguyên
thoả mãn
.
2.Cho
là một số tự nhiên khác
sao cho
là một số nguyên tố. Chứng minh rằng
là một lũy thừa của
.
Bài 3 (2,0 điểm).
1. Chođa thức
(với
là một số nguyên). Chứng minh rằng với mọi số nguyên
,
không có nghiệm nguyên lẻ.
2.Cho các số
thoả mãn
. Chứng minh rằng:

Bài 4 (3,0 điểm).
1. Cho tứ giác
có
,
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính số đo góc
.
2.Cho hình chữ nhật
. Nối
với một điểm
bất kỳ trên đường chéo
. Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
. Vẽ
và
lần lượt vuông góc với
và
. Chứng minh rằng:
a)
song song với
.
b) Ba điểm
thẳng hàng.
Bài 5 (1,0 điểm).
Cho mười số:
,
,
, ... ,
. Sắp xếp mười số đó theo một trật tự tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười số mới. Chứng minh trong mười số mới đó, tồn tại ít nhất hai số có chữ số tận cùng giống nhau.

............HẾT...........









Họ và tên thí sinh: .................................................; Số báo danh:.........................................
Cán bộ coi thi 1:.....................................................; Cán bộ coi thi 2:...................................

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

Bài
Nội dung cần đạt
Điểm

1
(2,0đ)
1. Cho
. Tính giá trị của biểu thức:
.


Ta có

0,5


Thay
vào biểu thức
ta được
.
0,5


2. Rút gọn biểu thức:
.





0,5




0,5

2
(2,0đ)
1. Tìm các cặp số nguyên
thoả mãn
.


Ta có
(*)
Thấy rằng
không thỏa mãn hệ thức (*). Vậy
hay
.
Từ hệ thức (*) ta có:
.
0,25


Để
là số nguyên thì

0,25


Từ đó
hay

0,25


Vậy

0,25


2. Cho
là một số tự nhiên khác
sao cho
là một số nguyên tố. Chứng minh rằng
là một lũy thừa của
.


Giải sử
có một ước là số nguyên tố lẻ
. Đặt
khi đó

Ta có

0,25



là hợp số (trái giả thiết).
0,25


Do đó
không có ước nguyên tố là một số lẻ.
Vậy
là một lũy thừa của
.
0,5

3
(2,0đ)
1. Cho đa thức
(với
là một số nguyên). Chứng minh rằng với mọi số nguyên
,
không có nghiệm nguyên lẻ.


Giả sử
là một nghiệm nguyên lẻ của đa thức
. Khi đó ta có
.
0,25


Mặt khác



0,25


Do
là số lẻ và
là số chẵn nên
(mâu thuẫn).
0,25


Vậy với mọi số nguyên
,
không có nghiệm nguyên lẻ.
0,25


2. Cho các số
thoả mãn
. Chứng minh rằng:



Ta có




.



(vì
). (1)
0,5


Lại có










. (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,5

4
(3,0đ)
1. Cho tứ giác
có
,
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính số đo góc
.


*Hình vẽ:
/





Trên tia đối của tia
, lấy điểm
sao cho
.

cắt
tại

Chứng minh được
là hình bình hành.
0,25