UBND QUẬN BA ĐÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
NĂM HỌC 2022-2023
Môn: TOÁN 9
Ngày kiểm tra: 10/5/2023
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

Bài I (2,0 điểm)

x 2
x 3 x  4
1

và B 
với x  0; x  4
x
x2 x
x 2
1) Tính giá trị biểu thức A khi x  9
x 2
2) Chứng minh B 
x
3) Cho P  A : B . Tìm số tự nhiên x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất.
Bài II (2,0 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai bạn Minh và An xuất phát cùng một lúc từ địa điểm A để đi đến địa điểm B bằng
phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ bạn Minh đi nhanh hơn bạn An 2 km nên bạn Minh đến B sớm
hơn bạn An 2,5 phút. Biết quãng đường AB dài 13 km, tính vận tốc xe của mỗi người. Hỏi Minh
và An đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không nếu căn cứ theo quy định vận tốc tối đa
của xe đạp điện là 25km/h.
9cm
2) Một ly rượu bằng thủy tinh phần đựng rượu dạng hình nón có
đường kính miệng ly là 9 cm, chiều cao hình nón (như hình vẽ) là 6 cm.
Hỏi ly đó có thể chứa đầy được bao nhiêu mililiter (ml) rượu? (lấy π 
6cm
3,14 và coi độ dày thành ly là không đáng kể).
Bài III (2,5 điểm)
 2
 x 1  3 y  5

1) Giải hệ phương trình: 
 1  2 y  1
 x 1
Cho hai biểu thức: A 

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m –1)x – m2 + 3m và Parabol
(P): y = x2.
a) Với m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là số đo chiều dài và chiều rộng
của hình chữ nhật có diện tích bằng

7
(đvdt).
4

Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O;R) đường kính AB cắt đoạn
thẳng BC tại điểm thứ hai là D. Kẻ đường thẳng AH vuông góc với đường thẳng OC tại điểm H;
đường thẳng AH cắt đoạn thẳng BC tại điểm M.
1) Chứng minh tứ giác ACDH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh OH.OC = R2 và tam giác OHB đồng dạng với tam giác OBC.
3) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại K. Chứng minh HM là tia phân giác của góc
DHB và MB.MD = MK.MC .
Bài V (0,5 điểm)
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P  a  b  1  b  a  1 .
………..Hết…………

Bài
Bài I
(2,0đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA KHẢO SÁT TOÁN LỚP 9
Năm học 2022-2023
Nội dung

x 2
x 3 x  4
1

và B 
với x  0; x  4
x
x2 x
x 2
a) Tính giá trị biểu thức A khi x  9
Thay x  9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A
5
Tính được A 
3
x 2
b) Chứng minh B 
x

Điểm

Cho hai biểu thức: A 

B
B

x 3 x  4

1

x 2
x 2



B



x 2

x4 x 4
x





x 2



x 2





0,25



0,25

2

x 2

x 2
(điều phải chứng minh)
x

P  A: B 

x 2 x 2
:
x
x

x 2
x
.
x
x 2

x 2
với x  0; x  4
x 2
4
P  1
x 2
Trường hợp 1 : 0  x  4  P  0
Trường hợp 2 : x  4; x  N  x  5
P



x 5



x 2 5 2
4
4

x 2
5 2



0,25



c) Cho P  A : B . Tìm số tự nhiên x để P đạt giá trị lớn nhất

P

1,0

x 3 x  4 x

x

B

0,25



x

B

0,25

x 3 x  4
1

x2 x
x 2
x

B

0,5

0,25
0,5

 1

4
4
 1
x 2
5 2

 P

52
5 2

 P 94 5

0,25

Kết hợp 2 trường hợp
Bài II
(2,0đ)

 P đạt giá trị lớn nhất là 9  4 5 khi x  5 (thỏa mãn điều kiện)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai bạn Minh và An xuất phát cùng một lúc từ địa điểm A để đi đến
địa điểm B bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ bạn Minh đi nhanh hơn
bạn An 2 km nên bạn Minh đến B sớm hơn bạn An 2,5 phút. Biết quãng
đường AB dài 13 km, tính vận tốc xe của mỗi người. Hỏi Minh và An đi như
vậy có đúng vận tốc quy định hay không nếu căn cứ theo quy định vận tốc
tối đa của xe đạp điện là 25km/h.

0,25

Gọi vận tốc xe của bạn An là x (km/h, x > 0)
Khi đó vận tốc xe của bạn Minh là x + 2 (km/h).

0,25
0,25

13
(h)
x
13
Thời gian bạn Minh đi hết quãng đường AB là:
(h)
x2

0,25

1,5

Thời gian bạn An đi hết quãng đường AB là:

Vì bạn Minh đến nơi sớm hơn An 2,5 phút nên ta có phương trình:

13 13
1

  x2  2x  624  0
x x  2 24
Giải phương trình (1) ta được x1  24 (TMĐK); x2  26 (Loại)
Vận tốc xe của An là 24 km/h, vận tốc xe của Minh là 26 km/h.
Vậy bạn An đi đúng vận tốc quy định, còn bạn Minh đi không đúng vận tốc
quy định.
2) Một ly rượu bằng thủy tinh dạng hình nón có đường kính miệng ly là 9cm,
chiều cao (như hình vẽ) là 6cm. Hỏi ly đó có thể chứa đầy được bao nhiêu ml
rượu? (lấy π  3,14 và coi độ dày thành ly là không đáng kể).
Thể tích hình nón là V =

2
1 2 1
 r h  . .9: 2 .6  40,5  127,17 (cm3)
3
3

 V  127,17 ml.
Vậy ly có thể chứa đầy khoảng 127,17 ml rượu.

Bài III
(2,5 đ)

 2
 x 1  3 y  5

1) Giải hệ phương trình: 
 1  2 y  1
 x 1

Đk: x  1

0,25
0,25
0,25

0,5

0,25
0,25

1,0

0,25

 2
 2
 3y  5
 2
 x 1  3 y  5


 x 1
 x 1  3 y  5



 1  2 y  1  2  4 y  2 7 y  7

 x 1
 x 1

0,25

  x  0(tm)

 x 1  1   y  1


  x  2(tm)
 y  1

  y  1

0,25

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x;y)  {(0;1); (2;1)}
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m –1)x – m2 + 3m
và Parabol (P): y = x2.
a) Với m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m –1)x – m2 +3m
x2 – 2(m –1)x + m2 – 3m = 0 (*)
Thay m = 3 vào (*) ta có:
x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0
x = 0 hoặc x = 4
Với x1 = 0
y1 = 0
Với x2 = 4 y2 = 42 =16
Vậy với m = 3 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(0;0) và B(4;16)
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là chiều dài và
7
chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng .
4
2
2
Xét phương trình (*): x – 2(m – 1)x + m – 3m = 0
a = 1; b = – 2(m – 1); c = m2 – 3m
' = (m – 1)2 – 1. (m2 – 3m) = m2 – 2m+ 1 – m2 + 3m = m + 1
(d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi ' > 0
m+1>0
m > -1
Theo Vi- et có : x1 + x2 = 2m – 2 ; x1.x2 = m2 – 3m
Để x1, x2 là chiều dài và chiểu rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng
thì cần có: x1 > 0; x2 > 0 sao cho x1.x2 =
Giải PT(**) suy ra m1 =
Vậy m =
Bài IV
(3,0đ)

0,25
1,0

0,5

0,25
0,25
0,5

0,25

7
4

m  1
7

 2
4

4m 12m  7  0 (**)

1
7
( loại); m2 = (Thỏa mãn)
2
2

0,25

7
là giá trị cần tìm.
2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O;R) đường kính AB cắt đoạn
thẳng BC tại điểm thứ hai là D. Kẻ đường thẳng AH vuông góc với đường
thẳng OC tại điểm H; đường thẳng AH cắt đoạn thẳng BC tại điểm M.
1) Chứng minh tứ giác ACDH là tứ giác nội tiếp.

1,0

C
D
M
K
H
A

B

O

Vẽ hình đúng đến câu a

0,25

Chứng minh được AHC  ADC  900
Mà 2 đỉnh H và D là 2 đỉnh kề nhau
Suy ra ACDH là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh OH.OC = R2 và tam giác OHB đồng dạng với tam giác OBC.

0,25

Chứng minh OH.OC  OA2 ; mà OA  OB  R nên OH.OC  R2
OH OB
Suy ra OH.OC  OB2 Suy ra

OB OC
Xét OHB và OBC có

0,25

HOB chung
OH OB
(cmt)

OB OC
Suy ra OHB ~ OBC (c.g.c)

0,25

0.25
0.25
1,0

0,25

0,25

3) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại K . Chứng minh HM là tia
phân giác của góc DHB và MB.MD  MK.MC.

1,0

C
D
M
K
H
A

O

B

0,25
OHB ~ OBC (cmt) => OHB  OBC

Chứng minh CHD  CAD ; CAD  OBC
Suy ra OHB  CHD
Từ đó suy ra DHM  BHM hay HM là tia phân giác của góc BHD
MD HD
DHB có HM là phân giác trong =>

MB HB
CD HD
Chứng minh HC là phân giác ngoài của DHB =>

CB HB

0,25

MD CD
=> MD.BC  MB.CD

MB CB
Vì OK vuông góc với BD tại K nên K là trung điểm của BD
Từ đó suy ra MD.(MB  MC)  MB.(MC  MD)

Vậy

0,25

=> 2MD.MB  MC.(MB  MD)

Bài V
(0,5 đ)

=> 2MD.MB  2MK.MC
=> MB.MD  MK.MC.
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất và

0,25
0.5

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a  b  1  b  a  1 .
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.









Vì a,b  0  ab  0. Ta có: a b  1  ab  a  a b  1  a .





Tương tự có b a  1  b . Suy ra P  a  b  a  b  P  1.

a, b  0
a  1
a  0

.
Dấu “=” xảy ra  a  b  1  
hoặc 
b  0
b  1
ab  0

a  1

a  0
.
Vậy MinP  1  
hoặc 
b

0
b

1



+) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.







0,25



Ta có 2 3P  2 3a b  1  2 3b a  1 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm 3a,b  1 ta có:





2 3a b  1  3a  b  1.





Tương tự có: 2 3b a  1  3b  a  1.
Suy ra 2 3P  3a  b  1  3b  a  1  2 3P  4a  4b  2

 2 3P  6  P  3.

a, b  0

1
a  b  1
a b  .
Dấu “=” xảy ra  
2
3a  b  1
3b  a  1

Vậy MaxP  3  a  b 

1
.
2

Lưu ý: Học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.

0,25