Tailieumontoan.com

Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ
KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020

Website: tailieumontoan.com

DẠNG TOÁN 14: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Đồ thị hàm số bậc ba :
 Hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) :
• Tập xác định D = R.

y' = 3ax 2 + 2bx + c
• Các dạng đồ thị:

2. Đồ thị hàm trùng phương.
 Hàm trùng phương có dạng y = ax 4 + bx 2 + c
• TXĐ: D = 
• Đạo hàm:

2
y' = 4ax 3 + 2bx = 2 x(2ax 2 + b) ⇒ y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −

b
.
2a

* Nếu ab ≥ 0 thì y có một cực trị x0 = 0

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 1

Website: tailieumontoan.com

* Nếu ab < 0 thì y có 3 cực trị x0 =0; x1,2 =± −

b
2a

• Đồ thị:

2. Đồ thị hàm số hữu tỷ.
 Hàm số hữu tỷ y =

ax + b
cx + d

( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) :

 d
• Tập xác định:=
D  \ −  .
 c

• Giới hạn và tiệm cận:
* Tiệm cận đứng: x = −

* Tiệm cận ngang: y =

d
.
c

a
.
c

• Khảo sát sự biến thiên:
* y' =

ad − bc

( cx + d )

2

.

* y' > 0 : Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
* y' < 0 : Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 2

Website: tailieumontoan.com

• Hàm số không có cực trị.
• Đồ thị:
D = ad − bc > 0

D = ad − bc < 0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Nhận dạng đồ thị.
 Các phép biến đổi đồ thị.
 Biện luận số giao điểm dựa vào BBT, đồ thị.
 Sự tương giao của hai đồ thị.
 Câu hỏi lý thuyết.
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong
trong hình bên?

A. =
y x3 − 3x .

B. y =
− x3 + 3x .

C. =
y x4 − 2x2 .

D. y =
− x4 + 2x2 .

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: các dạng đồ thị hàm bậc ba.
3. HƯỚNG GIẢI
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị ta thấy đường cong trên là hàm số bậc ba.

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 3

Website: tailieumontoan.com

Lại có lim y = −∞ nên a > 0 . Vậy đồ thị hàm số trên là =
y x3 − 3x .
x→−∞

Bài tập tương tự và phát triển:
 Mức độ 1
Câu 1.

Đường cong trong hình trên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây?

A. y =

3x + 1
.
2x + 5

B. y =x 4 − 2 x 2 + 3.

2 x3
C. y =
−
− 3.
3

D.=
y

2 x3
− 3.
3

Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; −3) nên đường cong trong hình trên không phải là đồ
3x + 1
, y =x 4 − 2 x 2 + 3.
2x + 5
Mặt khác lim y = −∞ , lim y = +∞ nên đường cong trong hình trên là đồ thị của hàm số

thị của hàm số y =
x →−∞

=
y
Câu 2.

x →+∞

3

2x
− 3.
3

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
y
2

−1 O

x

−4

A. y =x3 − 3 x 2 − 4 .

B. y =
− x3 + 3 x 2 − 4 .

C. y =x3 + 3 x 2 − 4 .

D. y =
− x3 − 3 x 2 − 4 .
Lời giải

Chọn B
Đồ thị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d .
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 4

Website: tailieumontoan.com

Ta có lim y = +∞ nên a < 0 , đồ thị có hoành độ điểm cực đại là x = 2 nên phải là đồ thị của
x→−∞

hàm số y =
− x3 + 3 x 2 − 4 .
Câu 3.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
y
2

−2

1 x

O

−2
A. y = 2 x3 + 6 x 2 − 2

B. y =x3 + 3 x 2 − 2 .

C. y =
− x3 − 3 x 2 − 2 .

D. y =x3 − 3 x 2 − 2 .
Lời giải

Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số a > 0 .

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A ( −2; 2 ) ; B ( 0; −2 ) .
Vậy chọn phương án B.
Câu 4.

Đường cong bên dưới là đồ thị hàm số nêu dưới đây.
y
1
O

x

A. y = x3 + 3 x 2 − 3 x + 1 .

B. y =− x3 − 2 x 2 + x − 2 .

C. y =
− x3 + 3 x + 1 .

D. y = x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 .
Lời giải

Chọn C

Câu 5.

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d với hệ số a < 0 , do đó loại phương
án A và D.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên d = 1 , do đó loại phương án B.
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y
1
-1

O

x
1

-1

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 5

Website: tailieumontoan.com

A. y =
−2 x 4 + 4 x 2 − 1 .

B. y =x 4 − 2 x 2 − 1 .

C. y =
− x4 + 4 x2 −1 .

D. y =
− x4 + 2x2 + 1 .
Lời giải:

Chọn A
Ta có đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0; −1) nên loại phương án D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm B (1;1) nên loại phương án B, C.
Câu 6. Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên
y

1
x
-1 O

A. y =
− x 4 + 2 x 2 + 1.
C. y =x 4 − 2 x 2 − 1 .

1

B. y =
− x4 − 2x2 + 1.
D. y =x 4 − 2 x 2 + 1 .
Lời giải:

Chọn D
Vì đồ thị hàm số có ba cực trị ⇒ a, b trái dấu ⇒ Loại B
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm y =1 ⇒ c =1 ⇒ Loại C
Vì lim f ( x ) = +∞ ⇒ a > 0 chọn D.
x →+∞

Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn đáp
án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?
A. y = x 4 + x 2 − 1 .
C. y = − x 4 + 3 x 2 − 3 .
B. y = x 4 + x 2 + 2 .

D. y = x 4 − 3 x 2 + 2 .

Lời giải:
Chọn A
Hàm số có một cực trị ⇒ a, b cùng dấu ⇒ loại C, D.
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có hoành độ âm nên loại B
Câu 8.

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 6

Website: tailieumontoan.com
y

2
x
-2 -1 0

A. y =x 3 + 3 x 2 + 1 .

B. y =

1

2x + 5
.
x +1

C. y = x 4 − x 2 + 1 .

D. y =

2x +1
.
x +1

Lời giải:
Chọn B
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng y =

Câu 9.

ax + b
nên loại đáp án A, C.
cx + d

Hàm số y =

2x +1
có ab − bc =1 > 0 nên loại đáp án D.
x +1

Hàm số y =

2x + 5
có ad − bc =−3 < 0 nên chọn đáp án B.
x +1

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y

2

x
-2 -1

A. y =

2x −1
.
x +1

B. y =

2x +1
.
x −1

0
-1

1

C. y =

2x +1
.
x +1

D. y =

1− 2x
.
x −1

Lời giải:
Chọn A
Đồ thị có tiệm cận đứng x = −1 nên loại B, D.
Đồ thị đi qua điểm ( 0; −1) nên chọn A.
Câu 10. Hình bên là đồ thị của hàm số nào?

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 7

Website: tailieumontoan.com

y

x

O

A. y =x 3 − 3 x 2 + 1 .

B. y =

x −1
.
x +1

C. y =

x+2
.
x +1

− x 4 + 2 x 2 + 1.
D. y =

Lời giải:
Chọn B
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng y =

ax + b
nên loại đáp án A, D.
cx + d

Hàm số y =

x+2
có ab − bc =−1 < 0 nên loại đáp án C.
x +1

Hàm số y =

x −1
có ad − bc =2 > 0 nên chọn đáp án B.
x +1

 Mức độ 2
Câu 1.

Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến
thiên như sau?

A. y =
− x3 + 3 x 2 + 9 x − 2 .
C. y = x3 − 3 x 2 − 9 x − 2 .

1 3
2
x − x 2 − 3x − .
3
3
1
2
D. y =
− x3 + x 2 + 3 x + .
3
3
Lời giải

B. y=

Chọn B
Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:
•
•

Đây là dạng hàm số bậc 3 có hệ số a > 0 nên loại A và D.

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm ( −1;1) nên loại C.

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 8

Website: tailieumontoan.com

Câu 2.

Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
y
2
1

x

-1 O

-2

A. Hàm số có hệ số a < 0 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −2; −1) và (1; 2 ) .
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hệ số tự do của hàm số khác 0 .
Lời giải:
Chọn B
Hình dáng đồ thị thể hiện a > 0 . Do đó A sai.
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và (1; +∞ ) . Do đó B đúng.
Hàm số có hai cực trị. Do đó C sai.
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên hệ số tự do của hàm số phải bằng 0 . Do đó D sai.
Câu 3.

Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d , với a , b , c , d là các số thực và a ≠ 0 (có đồ thị như hình
vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?

x = −2
A. y' ( x )= 0 ⇔ 
.
x = 0
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = −2 .
C. y' < 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) .

D. Đồ thị có đúng hai điểm cực trị.
Lời giải
Chọn B
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 9

Website: tailieumontoan.com

Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây sai?
A. M ( 0; −3) là điểm cực tiểu của hàm số.
B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
C. f ( 2 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
D. x0 = 2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Lời giải
Chọn D
Giá trị cực đại của hàm số là f ( −2=
) f ( 2=) 1 .
Câu 5.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm của phương trình

f ( x) + 2 =
0 là

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải.
Chọn A

f ( x ) + 2 =0 ⇔ f ( x ) =−2 phương trình này có hai nghiệm phân biệt.
Câu 6.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên cho bởi bảng sau. Khẳng định nào sai:

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 10

Website: tailieumontoan.com

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3 .
B. f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞;1) ; ( 3;5 ) .
C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1; 2 ) ; ( 5;3) .
D. f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng (1;3) ; ( 5; +∞ ) .
Lời giải
Chọn A
Câu 7.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên  .
D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) ..
Lời giải.
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
Câu 8.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ {−1} .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11

Website: tailieumontoan.com

D. Hàm số đã cho đồng biến trên  .
Lời giải.
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ( −∞; − 1) và ( −1; + ∞ ) .
A sai do hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

C , D sai do hàm số bị gián đoạn tại x = −1 .
Câu 9.

Cho hàm số y =

ax − b
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x −1

A. b < 0 < a .

B. a < b < 0 .

C. a < 0 ; b < 0 .

D. 0 < b < a .

Lời giải:
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = a = 1 > 0 .
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; −2 ) ⇒ b =−2 < 0 .
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên y' < 0 ⇒ −a + b < 0 ⇒ b < a .
Vậy b < 0 < a .
Câu 10. Xác định a, b để hàm số y =

ax − 1
có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
x+b

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 12

Website: tailieumontoan.com
y

1
-2

A. a = 1, b = −1 .

-1

x

1

C. a =
−1, b =
1.

B.=
a 1,=
b 1.

D. a =
−1, b =
−1.

Lời giải:
Chọn B
Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = 1
Đồ thị hàm số y =

(1)

a x −1
có tiệm cận đứng x = −b , tiệm cận ngang y = a ( 2 )
x+b

Từ (1) và (2) suy ra: =
a 1,=
b 1.
 Mức độ 3
Câu 1.

Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

.
A. a < 0, b < 0, c = 0, d > 0 .

B. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0 .

C. a < 0, b > 0, c = 0, d > 0 .

D. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0 .
Lời giải:

Chọn C
Từ hình dáng đồ thị ta suy ra hệ số a < 0, d > 0 loại phương án C.
Ta có: y' = 3ax 2 + 2bx + c .
Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên y' ( 0 ) = 0 ⇒ c = 0 loại phương án A.
Khi đó: y' = 0 ⇔ 3ax 2 + 2bx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −
Do hoành độ điểm cực đại dương nên −

2b
.
3a

2b
> 0 , mà a < 0 ⇒ b > 0 .
3a

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 13

Website: tailieumontoan.com

Câu 2.

Cho hàm số y =

ax + b
có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
cx + d

A. ab < 0 , cd < 0 .

B. bc > 0 , ad < 0 .

C. ac > 0 , bd > 0 .

D. bd < 0 , ad > 0 .
Lời giải

Chọn B
Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên ad − bc < 0 , với mọi x ≠ −

d
nên
c

ad < bc .
b
 b 
Mặt khác ( C ) ∩ Ox
= A  − ;0  và − < 0 nên ab > 0 (1) ⇒ Loại A
a
 a 
b
 b
Và ( C ) ∩ Oy = B  0;  và < 0 nên bd < 0 ( 2 ) ⇒ Loại C
d
 d
Từ (1) và ( 2 ) ta có ad < 0 ⇒ Loại D

−
Mặt khác, phương trình đường tiệm cận đứng x =
Câu 3.

d
> 0 nên cd < 0 . Suy ra bc > 0 .
c

Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tính tổng S = a + b + c + d .
A. S = 0 .
B. S = 6 .

C. S = −4 .
Lời giải

D. S = 2 .

Chọn A

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 14

Website: tailieumontoan.com

Ta có f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d liên tục trên  ; đồ thị hàm
số có hai điểm cực trị là ( 2; −2 ) và ( 0; 2 )
 f ( 2 ) = −2
−2
8a + 4b + 2c + d =
a = 1
 f ' ( 2) = 0

b = −3
12a + 4b + c =
0

⇔
⇔
⇒S=
0.
⇔
d =2
c=0
0
2
f
=
(
)



c = 0
d = 2
 f ' ( 0 ) = 0

Câu 4.

Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
y

x
O

A. a > 0 , c > 0 , d > 0 .

B. a < 0 , c > 0 , d > 0 .

C. a < 0 , c < 0 , d < 0 .

D. c < 0 , d > 0 .
Lời giải

Chọn B
Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a < 0 , đồ thị cắt trục tung tại điểm có
tung độ dương nên d > 0 .
Ta có: y' = 3ax 2 + 2bx + c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung nên y' = 0
có hai nghiệm dương phân biệt.

b 2 − 3ac > 0
b 2 − 3ac > 0


 2b
Suy ra −
>0
⇔ b > 0
 3a

c > 0
c
 3a > 0
Vậy a < 0 , c > 0 , d > 0 .
Câu 5.

Giả sử hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị là hình bên dưới.

y
1
−1 O 1

x

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 15

Website: tailieumontoan.com

1.
A. a > 0, b < 0, c =

1.
B. a > 0, b > 0, c =

1.
C. a < 0, b > 0, c =

D. a > 0, b > 0, c > 0 .
Lời giải:

Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hướng lên nên a > 0 , loại đáp án C.
+Với x = 0 ⇒ y = c =1 nên loại đáp án D.
+Có 3 cực trị nên ab < 0 suy ra b < 0 .
Câu 6.

Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên dưới

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x ) + 2m =
0 có bốn nghiệm phân biệt là
A. −

1
1
2
2

5
1
B. − < m < .
8
2

5
C. − < m < 1 .
4

D. −

1
5
2
8

Lời giải:
Chọn D
Theo đồ thị trên hình vẽ, ta thấy đồ thị đi qua các điểm A ( 0;1) , B (1; −1) và C ( 2;5 ) . Do đó ta
có hệ phương trình

=
c 1=
c 1


a + b + c =−1 ⇔ a =1 .
16a + 4b + c =5 b =−2


Ta có f ( x ) =x 4 − 3 x 2 + 1

f ' (=
x ) 4 x3 − 6 x
x = 0
.
f ' ( x )= 0 ⇔ 
x = ± 3

2
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 16

Website: tailieumontoan.com

Ta được đồ thị

0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Do đó phương trình f ( x ) + 2m =
5
1
5
− < −2m < 1 ⇔ − < m < .
4
2
8
Câu 7.

Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 5 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .

Lời giải:
Chọn D
Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) ,ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực đại.
Câu 8.

1

1

Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng  −∞;  và  ; +∞  . Đồ thị hàm số
2

2


y = f ( x ) là đường cong trong hình vẽ bên.
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 17

Website: tailieumontoan.com

y

2
1

−1

1 1
2

O

x

2

−2

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. max f ( x ) = f ( 4 ) .

B. max f ( x ) = 2 .

C. max f ( x ) = 0 .

D. max f ( x=
) f ( −3) .

[3;4]

[1;2]

[ −2;1]

[ −3;0]

Lời giải:
Chọn D
1

Quan sát đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy: Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên  −∞; 
2

1
1

1


và  ; +∞  nên hàm số nghịch biến trên các khoảng  −∞;  và  ; +∞  .
2
2

2



2.
Trên [1; 2] hàm số liên tục và f (1) > f ( 2 ) =
Trên [ −2;1] hàm số gián đoạn tại x =

1
.
2

Trên [3; 4] hàm số liên tục và f ( 3) > f ( 4 ) .
Trên đoạn [ −3;0] hàm số liên tục và f ( −3) > f ( 0 ) nên max f ( x=
) f ( −3) .
[ −3;0]

Câu 9.

Cho hàm số y =

ax + b
có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là
cx + d

đúng?

A. ad > 0, bc < 0 .

B. ad < 0, bc > 0 .

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. cd < 0, bd > 0 .

D. ac > 0, ab > 0 .
Trang 18

Website: tailieumontoan.com

Lời giải:
Chọn B
Quan sát đồ thị ta có: TCĐ d x =−

d
d
< 0 ⇒ > 0 ⇒ c, d cùng dấu.
c
c

a
> 0 ⇒ a, c cùng dấu. Suy ra a, c, d cùng dấu.
c
b
Lại có x =0 ⇒ < 0 suy ra b, d trái dấu.
d
Suy ra: ad > 0, bc < 0 .

Lại có TCN y =

Câu 10. Hàm số y =

bx − c
x−a

( a ≠ 0;

a, b, c ∈  ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là

đúng?
y

O

x

A. a > 0, b > 0, c − ab < 0 .

B. a > 0, b > 0, c − ab > 0 .

C. a > 0, b > 0, c − ab =
0.

D. a > 0, b < 0, c − ab > 0 .
Lời giải:

Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= a > ; tiệm cận ngang y= b > 0 .
Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác
c − ab
định của nó nên
y'
=
< 0, ∀x ≠ a → c − ab < 0 .
2
( x − a)
Vậy a > 0, b > 0, c − ab < 0 .
 Mức độ 4
Câu 1.

Cho hàm số y =

T =a − 3b + 2c ?

ax + b
có đồ thị như hình bên với a, b, c ∈ . Tính giá trị của biểu thức
x+c

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 19

Website: tailieumontoan.com

A. T = −9 .

B. T = −7 .

C. T = 12 .

D. T = 10 .

Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng nên c = −1 .
Đồ thị hàm số có y = −1 là tiệm cận ngang nên a = −1 .
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2 nên

b
= −2 do đó b = 2 .
c

Vậy T =a − 3b + 2c =−1 − 3.2 + 2 ( −1) =−9 .
Câu 2.

Cho hàm số y = f ( x) =

ax + b
có đồ thị hàm số f ' ( x ) như trong hình vẽ dưới đây:
cx + d

Biết rằng đồ thị hàm số f ( x) đi qua điểm A ( 0; 4 ) . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
B. f ( 2 ) =

A. f (1) = 2 .

11
.
2

C. f (1) =

7
.
2

D. f ( 2 ) = 6 .

Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số f ( x) đi qua A ( 0; 4 ) nên b = 4d (1) .
Ta có: f ' ( x ) =

ad − bc

( cx + d )

2

.

d
=
−1 ⇒ c =
d ( 2) .
c
ad − bc
= 3 ⇒ ad − bc =
3d 2 ( 3) .
Đồ thị hàm số f ' ( x ) đi qua (0;3) nên
d2
3d 2 ⇒ a =
Thay (1) , ( 2 ) vào ( 3) ta được ad − 4d 2 =
7 d ( d ≠ 0 ) vì nếu d = 0 thì a = b = c
= d = 0 (vô lí ).
Căn cứ theo đồ thị hàm số f ' ( x ) ta có −

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 20

Website: tailieumontoan.com

7 dx + 4d 7 x + 4
=
.
dx + d
x +1
Vậy f ( 2 ) = 6 .
Do đó f ( x ) =

Câu 3.

Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C , D như hình vẽ

= BC
= CD , mệnh đề nào sau dây đúng?
bên. Biết rằng AB

A. a > 0, b < 0, c > 0,100b 2 =
9ac .
2
B. a > 0, b > 0, c > 0,9b =
100ac .
C. a > 0, b < 0, c > 0,9b 2 =
100ac .
D. a > 0, b > 0, c > 0,100b 2 =.
9ac
Lời giải
Chọn C
Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 . Mặt khác đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ
x →±∞

dương nên c > 0 . Đồ thị hàm số có ba cực trị nên ab < 0 ⇒ b < 0 . Loại B, D .
0 .Đặt
Xét pt hoành độ giao điểm ax 4 + bx 2 + c =
=
t x 2 , t ≥ 0 pt thành at 2 + bt + c =
0 (1)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm dương
phân biệt t1 , t2 . (giả sử t1 > t2 ).
b

−
t1 + t2 =
a
(I ) .
Theo định lí Viet, ta có 
t t = c
 1 2 a

(

) (

)

Giả sử A − t1 ;0 , B − t2 ;0 thì C

(

) (

t2 ;0 , D

)

t1 ;0 .

Mà AB = BC = CD ⇒ t1 − t2 = 2 t2 ⇔ t1 = 3 t2 ⇔ t1 = 9 t 2 ( II )

=
10t2
Từ (I) và (II) suy ra: 
9t 2
=
2

Câu 4.

−b
−b

t2
=
2

c

 −b 
10a
a
⇒
⇒ 9
=
⇒ 9b 2 = 100ac .

c
a
 10a 
9t 2 c
=
2
a
a


( x) f ( x) − x . Mệnh
Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f '( x) như hình vẽ. Đặt h=
đề nào dưới đây đúng?

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 21

Website: tailieumontoan.com

A. h(0)= h(4) + 2 < h(2) .

B. h(−1) < h(0) < h(2) .

C. h(2) < h(4) < h(0) .

D. h(1) +=
1 h(4) < h(2) .

Lời giải
Chọn B

( x) f ( x) − x trên đoạn [ −1;4] .
Xét hàm số h=
'( x) f '( x) − 1 . Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '( x) trên đoạn [ −1;4] ta được
Ta có h=
h'( x) > 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên [ −1;4] .
Câu 5.

Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f '( x) như hình bên.

x2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
y = h( x) đồng biến trên khoảng (−2;3) .
y = h( x) đồng biến trên khoảng (0; 4) .
y = h( x) nghịch biến trên khoảng (0;1) .
y = h( x) nghịch biến trên khoảng (2; 4) .
Lời giải:

Đặt h=
( x) f ( x) −
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số
Chọn D

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 22

Website: tailieumontoan.com

'( x) f '( x) − x .
h=
Từ đồ thị của f ' ( x ) và đường thẳng y = x ta suy ra trên khoảng ( 2; 4 ) thì đồ thị f ' ( x ) nằm
dưới đường thẳng y = x . Do đó h' ( x ) < 0 trên ( 2; 4 ) .
Câu 6.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên  . Đồ thị của các hàm số

' ( x ) , y f '' ( x ) lần lượt là đường cong nào trong hình bên?
y f=
=
( x) , y f=

.
A. ( C3 ) , ( C2 ) , ( C1 ) .

B. ( C1 ) , ( C3 ) , ( C2 ) .

C. ( C3 ) , ( C1 ) , ( C2 ) .

D. ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) .

Lời giải:
Chọn C
Gọi hàm số của các đồ thị (C1 ); (C2 ); (C3 ) tương ứng là f1 ( x ) , f 2 ( x ) , f3 ( x ) .
Ta thấy đồ thị ( C3 ) có các điểm cực trị có hoành độ là nghiệm của phương trình f1 ( x ) = 0 nên
hàm số y = f1 ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f3 ( x ) .
Đồ thị ( C1 ) có các điểm cực trị có hoành độ là nghiệm của phương trình f 2 ( x ) = 0 nên hàm số
y = f1 ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f 2 ( x ) .

Vậy, đồ thị các hàm số y = f ( x) , y = f '( x) và y = f ''( x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong (C3 ); (C1 ); (C2 ) .
Câu 7.

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong
hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 23

Website: tailieumontoan.com

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .

Lời giải:
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta có:

f ' ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2;0 ) ∪ ( 2; + ∞ ) và f ' ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( 0; 2 ) .
Khi đó, hàm số y = f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −2;0 ) , ( 2; + ∞ ) .
hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − 2 ) , ( 0; 2 ) .
Câu 8.

Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết đồ thị ( C ) đi
qua A (1; 4 ) và đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho bởi hình vẽ.

Giá trị f ( 3) − 2 f (1) là
A. 30 .

C. 26 .

B. 24 .

D. 27 .

Lời giải:
Chọn C
Từ đồ thị của y = f ' ( x ) ⇒ f ( x ) = x3 + 2 x + d . Do đồ thị ( C ) đi qua A (1; 4 ) nên d = 1

⇒ y = f ( x ) = x3 + 2 x + 1 .
26 .
Vậy f ( 3) − 2 f (1) =
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 24

Website: tailieumontoan.com

Câu 9.

Một trong các đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  0  0
và f   x  0, x  1; 2 . Hỏi đó là đồ thị nào?

A.

C.

.

B.

.

D.

.

.

Lời giải:
Chọn C
Ta có f ' ( 0 ) = 0 ; f '' ( 0 ) < 0, ∀x ∈ ( −1; 2 )
⇒ f ' ( x ) là hàm nghịch biến trên khoảng ( −1; 2 )

 f ' ( x ) > f ' ( 0 ) , ∀x ∈ ( −1;0 )
⇒
 f ' ( x ) < f ' ( 0 ) , ∀x ∈ ( 0; 2 )
Suy ra f ( x ) tăng trên khoảng ( −1;0 ) , giảm trên khoảng ( 0; 2 ) và đạt cực đại tại x = 0 . .
Chỉ có đáp án C thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như
hình 2 dưới đây.

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 25

Website: tailieumontoan.com

y
5

3

-1
O

1

x

2

-1

Lập hàm số g ( x=
) f ( x ) − x 2 − x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g (1) > g ( 2 )

g (1)
B. g ( −1) =

C. g (1) = g ( 2 )

D. g ( −1) > g (1)

Lời giải:
Chọn A
Xét hàm số h ( x )= f ' ( x ) − ( 2 x + 1) . Khi đó hàm số h ( x ) liên tục trên các đoạn [ −1;1] , [1; 2]
và có g ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = h ( x ) .
y
5

S2
3

S1

-1
O

1

x

2

-1

 x = −1
x = 1

là
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 y = f '( x)
=
 y 2x +1

=
S1

1

1

−1

−1

dx ∫  f ' ( x ) − ( 2 x + 1)  dx = g ( x )
∫ f ' ( x ) − ( 2 x + 1)=

1

= g (1) − g ( −1) .

−1

Vì S1 > 0 nên g (1) > g ( −1) .
Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 26

Website: tailieumontoan.com

x = 1
x = 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
là
'
y
=
f
x
(
)

=
 y 2x +1
2

=
S2

∫

f ' ( x ) − ( 2 x + 1) d=
x

1

2

∫ ( 2 x + 1) − f ' ( x ) dx =

− g ( x=
) 1 g (1) − g ( 2 ) .
2

1

Vì S 2 > 0 nên g (1) > g ( 2 ) .

Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 27