Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 12/11/2020

Câu 1.

(5.0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức

với

b) Tìm các cặp số nguyên

Câu 2.

thỏa mãn

.

(5.0 điểm)
a) Chứng minh rằng
hữu tỉ và dương.

không thể biểu diễn dưới dạng

b) Xét các số dương

Câu 3.

.

thỏa mãn

với

là các số

. Chứng minh rằng

(3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn
điểm trên

đường cao

là trực tâm của tam giác. Gọi

sao cho

là một

theo thứ tự là diện tích các tam giác

và
a) Chứng minh:
b) Chứng minh:

Câu 4.

Câu 5.

(4.0 điểm)
Cho tam giác

.

vuông cân tại

, trên cạnh

lấy một điểm

bất kỳ (

không trùng với
và ). Từ
kẻ
vuông góc
tại
vuông góc
tại .
a) Chứng minh rằng khi
di chuyển trên cạnh
thì đường thẳng qua
và
vuông góc với
luôn đi qua một điểm cố định .
b) Xác định vị trí của điểm
trên cạnh
để diện tích tam giác
có giá trị
nhỏ nhất.
(3.0 điểm)
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm
được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 12/11/2020

Câu 1.

(5.0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức
b) Tìm các cặp số nguyên

với
thỏa mãn

.
.

Lời giải

a) Ta có:
Áp dụng hằng đẳng thức trên ta có:

Khi đó ta có:
b) Ta có:

Do

.

.

là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:

TH1:
TH2:
TH3:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

TH4:
Câu 2.

Vậy các cặp số nguyên
(5.0 điểm)

cần tìm là

a) Chứng minh rằng
không thể biểu diễn dưới dạng
các số hữu tỉ và dương.
b) Xét các số dương

thỏa mãn

với

là

. Chứng minh rằng
Lời giải

Giả sử

+ Nếu

.

là số chính phương hoặc là số hữu tỉ có dạng
với mọi số

Điều này vô lý vì
+ Nếu

là số hữu tỉ.

là số vô tỉ.

không là số chính phương hoặc không là số hữu tỉ có dạng
là số vô tỉ

vô lý vì

Vậy
không thể biểu diễn dưới dạng
dương.
b) Với ba số dương

.

là số hữu tỉ với mọi số
với

.

là các số hữu tỉ và

xét biếu thức:

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho hai bộ ba số
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

và
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

ta có:

.
. (đpcm)
Câu 3.

(3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn
một điểm trên

đường cao

là trực tâm của tam giác. Gọi

sao cho

là

theo thứ tự là diện tích các tam

giác
và
a) Chứng minh:
b) Chứng minh:

.
Lời giải
a) Xét

và

co:

(cùng phụ với

(1)

b) Lại có:

vuông ở

có đường cao

(Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và

.

Suy ra
(3)
Thay (3) vào (*) ta dưọc:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Câu 4.

(4.0 điểm)
Cho tam giác

vuông cân tại

, trên cạnh

lấy một điểm

bất kỳ (

không trùng với
và ). Từ
kẻ
vuông góc
tại
vuông góc
tại .
a) Chứng minh rằng khi
di chuyển trên cạnh
thì đường thẳng qua
và
vuông góc với
luôn đi qua một điểm có định .
b) Xác định vị trí của điểm
trên cạnh
để diện tích tam giác
có giá trị
nhỏ nhất.
Lời giải
Kẻ

.

Gọi

là điểm sao cho tứ giác
cắt

tại

Xét

.

là hình vuông.

cắt

vuông tại

tại

.

có

.

vuông cân tại
Tứ giác

có

và
là hình vuông.
.

.
và

Xét

có:

(hai góc tương ứng)
Mà

.

Lại có

Liên
hệ
tài
039.373.2038

(hai góc so le trong) nên ta có:

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

vuông tại

hay

Mà

.

thẳng hàng.

Vây

luôn đi qua một điểm

cố định.

Đặt

(Với

Ta có:

)
.

đạt giá trị nhỏ nhất khi

nhỏ nhất.

Ta có:

Vậy
Khi đó

Câu 5.

đạt giá trị nhỏ nhất là
là trung điểm canh

.

.

(3.0 điểm)
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm
được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.
Lời giải
Ta xếp các đoạn thẳng có độ dài tăng dần
thỏa mãn

giác.

. Nếu tồn tại ba đoạn thẳng

thì ba đọan thẳng này có thể lập thành một tam

Giả sử ngược lại:

Khi đó theo giả thiết:
.
Mâu thuẫn với giả thiết cho dộ dài mỗi đoạn thẳng nhỏ hơn 100.
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Vậy tồn tại 3 đoạn thẳng
có thể ghép thành tam giác.

mà

. Do đó tồn tại 3 đoạn thẳng để

 HẾT 

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học