Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/11/2020
Câu 1.

(5 điểm)
1) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức

.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

2) Chứng minh rằng:
2).
Câu 2.
(5 điểm)

(2020 chữ số

1) Giải phương trình sau:
2) Tìm các số nguyên
số chính phương.
Câu 3.
(4 điểm)

.

để biểu thức

1) Cho

, trong đó

Biết

,

,

2) Với các số dương
nhỏ nhất của:

Câu 4.

là một

,

là hằng số.

. Tính

.

thỏa mãn

. Tìm giá trị

(5 điểm)
1) Cho tam giác

nội tiếp đường tròn tâm

theo thứ tự là trung điểm của
của tam giác

liệu

word

,

. Gọi

,

,

là trực tâm

.

a) Chứng minh tam giác

Liên
hệ
tài
039.373.2038

,

có

môn

toán:

và tam giác

đồng dạng.

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

b) Kẻ các đường thẳng
,
quy.

,

). Chứng minh các đường thẳng

2) Từ điểm

Câu 5.

,

nằm trong tam giác

,

,

,

đồng

cho trước lần lượt vẽ

các đường vuông góc

,

của

đạt giá trị lớn nhất.

để tích

(

đến

,

,

. Tìm vị trí

(1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số:
.
Chứng minh trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết
cho 2013.
HẾT
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
Năm học 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

(5 điểm)
1) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức

.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

2) Chứng minh rằng:
2).

(2020 chữ số
Lời giải

1) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
ĐKXĐ:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

;

word

.

.

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

.
.

Vậy giá trị nhỏ nhất của
(thỏa mãn điều kiện).
2) Chứng minh rằng:
2).

(2020 chữ số

…

(đpcm).
Câu 2.

(5 điểm)
1) Giải phương trình sau:
2) Tìm các số nguyên
số chính phương.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

để biểu thức

toán:

.
là một

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Lời giải
1) Giải phương trình sau:

.

Điều kiện:
.
Phương trình đã cho tương đương với:

Với

thì

;

;

nên
Từ đó suy ra:

là nghiệm duy nhất của phương trình.

2) Tìm các số nguyên
số chính phương.
Đặt

để biểu thức
(với

là một

là số tự nhiên)

Ta có:
Ta sẽ chứng minh:

với

Thật vậy:

Do

nên

Hay
hoặc
Thử lại: với
thỏa mãn.
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

hoặc
môn

biểu thức đã cho đều bằng
toán:

,

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vậy
.
Câu 3.
(4 điểm)
1) Cho
Biết

, trong đó
;

;

2) Với các số dương
nhỏ nhất của:

,

,

, ,

là hằng số.

. Tính

.

thỏa mãn

. Tìm giá trị

Lời giải
1) Cho
Biết

, trong đó
;

;

,

, ,

là hằng số.

. Tính

.

Đặt
là nghiệm của

, mà

là đa thức bậc 4 nên

có dạng:

Tính được

;
.

2) Với các số dương
nhỏ nhất của:

thỏa mãn

. Tìm giá trị

Ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 4.
(5 điểm)
1) Cho tam giác

.

khi

nội tiếp đường tròn tâm

theo thứ tự là trung điểm của
của tam giác

,

,

. Gọi

và tam giác

b) Kẻ các đường thẳng

,

,

là trực tâm

,

đồng dạng.

,

). Chứng minh các đường thẳng

2) Từ điểm

có

.

a) Chứng minh tam giác
,
quy.

.

nằm trong tam giác

,

,

của

đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải

1) Cho tam giác

đến

,

,

nội tiếp đường tròn tâm

theo thứ tự là trung điểm của
của tam giác

,

,

đồng

cho trước lần lượt vẽ

các đường vuông góc
để tích

(

. Gọi

. Tìm vị trí

có
là trực tâm

.
A
M
E

F
N

H

O
G

B

a) Chứng minh tam giác

và tam giác

Chứng minh được

liệu

word

môn

đồng dạng.

(cùng vuông góc

(cùng vuông góc
Liên
hệ
tài
039.373.2038

C

D

toán:

)

)
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

;

(góc có cạnh tương ứng song song)
(đpcm)

b) Kẻ các đường thẳng
. Chứng minh các đường thẳng
đồng quy.
Từ câu a) suy ra:
Chứng minh được tứ giác

là hình bình hành suy ra

, dẫn đến tứ giác
đi qua trung điểm

là hình bình hành. Nên

của

.

Chứng minh tương tự có
thẳng

đi qua

đồng quy (đpcm)

2) Từ điểm

nằm trong tam giác

các đường vuông góc
của

, nên các đường
cho trước lần lượt vẽ

đến

để tích

. Tìm vị trí

đạt giá trị lớn nhất.
A

B'
C'

Liên
hệ
tài
039.373.2038

,

liệu

word

C

A'

B

Đặt

M

,

môn

;

toán:

,

,

.

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Dấu “=” xảy ra

, suy ra diện tích các tam giác

, tam giác

, tam giác

trọng tâm tam giác

.

Vậy
Câu 5.
(1 điểm)

lớn nhất khi

bằng nhau, khi đó

là

là trọng tâm của tam giác

Cho dãy gồm 1000 số:
. Chứng minh
trong dãy trên tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2013.
Lời giải
Tách 2013 = 3.11.61 trong đó 3; 11; 61 đôi một nguyên tố
cùng nhau.
Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 3 và 11, đó là
những số có số chữ số là bội của 6.
Đó là những số: 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ
số), 777…77 (996 chữ số)
Số số hạng của dãy trên là
Khi chia 166 số trên cho 61 thì có 166 số dư, mà số dư của
các phép chia này chỉ nhận 61 giá trị từ 0 đến 60, nên theo
nguyên lý Dirichle sẽ tồn tại 2 số trong dãy trên có cùng số
dư khi chia cho 61
hiệu của hai số đó chia hết cho 61.
Hiệu của hai số có dạng:

(có

số 7,

)

Mà
suy ra 77...7 chia hết cho 61.
Vậy trong 1000 số đã cho tồn tại ít nhất một số chia hết cho
2013.
 HẾT 

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

.