Website:tailieumontoan.com
ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM THỦY (THANH HÓA) – V2
NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1. (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất
của P.
2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì
tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
b) Cho hàm số bậc nhất

không là

có đồ thị là đường thẳng đi qua

Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành
độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương. Tìm a, b sao cho
nhỏ nhất. (Với O là gốc tọa độ)
Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc
với cạnh BC tại D. Vẽ đường kính DN của (O, r). Tiếp tuyến của (O) tại N
cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.
a) Chứng minh rằng
b) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho

Chứng minh rằng:
----------------------Hết---------------------

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 – NĂM HỌC 2019 2020
(HUYỆN CẨM THỦY)
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất
của P.
2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:
1) ĐKXĐ:

a) Có:

b) Có:

Dấu “=” xảy ra
Vậy

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

2) Đặt:
(đpcm)
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
ĐK:
Ta có:

Vì:
. Vậy phương trình có nghiệm là:
b) Có:
Với
Với

(vô nghiệm)

Vậy
Liên
hệ
tài
039.373.2038

là nghiệm duy nhất của phương trình.
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Câu 3. (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì
tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
b) Cho hàm số bậc nhất

không là

có đồ thị là đường thẳng đi qua

Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành
độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương. Tìm a, b sao cho
nhỏ nhất. (Với O là gốc tọa độ)
Hướng dẫn giải:
a) Với

(không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)

Với
tiếp)

(không phải tích 2 số tự nhiên liên

Với
- Nếu
(không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
- Nếu
(không phải
tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
Vậy với mọi số nguyên tố
không phải là tích của 2 số tự
nhiên liên tiếp.
b) Vì đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ
dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương
Do đồ thị là đường thẳng đi qua
Có:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

Dấu “=” xảy ra
liệu

word

môn

toán:

hay

cân tại O.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vì:
Với
Vậy
thì
đạt giá trị nhỏ nhất là: 5 + 5 = 10.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc
với cạnh BC tại D. Vẽ đường kính DN của (O, r). Tiếp tuyến của (O) tại N
cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.
a) Chứng minh rằng
b) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
A
x

K

N

P

1

2

21

O

1

2
2

D

B

a) Có:

//

(cùng

1

C

E

)

(đồng vị)

Gọi Kx là tia phân giác của

// CO (Vì CO là tia phân giác của

)
Mà:

(tia phân giác trong và phân giác ngoài)
(cùng phụ với

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

)
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

(đpcm)
b) Cách 1:

Ta có:
Mà:

Tương tự:
Từ (1) và (2)
Mặt khác: KP // BC
Từ (3) và (4)
Cách 2:

(đpcm).

Ta có:
Mà:

(Vì:

//

)

(đpcm)
c)

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
A

N

K

P

B'

r

C'

O

r

r

r
1

2

2

D A'

B

1

C

Gọi
Ta có:
Mà:
Tương tự:

Dấu “=” xảy ra

hay

Vậy
Câu 5. (2,0 điểm)

đều.

Cho

đều.

Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:

Ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

(đpcm)
Dấu “=” xảy ra

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học