ĐỀ HSG THỊ XÃ HOÀNG MAI 23-24
Câu 1. (4,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:
b) Rút gọn biểu thức
Câu 2. (4 điểm)

a) Cho 00 < x < 900. Chứng minh rằng:
b) Giải phương trình
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho

là số chính phương.

b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn

Chứng minh rằng:

chia hết cho 6.
Câu 4.
Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, AC. Đường thẳng
qua C vuông góc với BC cắt DE tại F. H là hình chiếu của C lên BF.
a) Chứng minh FH.FB = FE.FD.
b) Chứng minh ∆ABH

∆ECH.

c) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh A, H, I thẳng hàng.
Câu 5. (1 điểm)
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (4,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:

b) Rút gọn biểu thức
Giải
a)

b) Với

,

C<0

Xét

(do C < 0)
Câu 2. (4 điểm)

a) Cho 00 < x < 900. Chứng minh rằng:
b) Giải phương trình
Giải:
a) Ta có: Với 00 < x < 900 thì

.

Vậy
b) ĐKXĐ:
Ta có:

Vì

với mọi

nên (1) xảy ra khi
Câu 3. (4 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho

là số chính phương.

b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn
chia hết cho 6.
Giải
a) Giả sử C là số chính phương. Đặt
Suy ra:

Chứng minh rằng:

Xét các trường hợp:
*

(loại)

*
*

(loại)

*
Vậy
b) Ta có nhận xét sau: Tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 và 3. Mà 2
và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho
6.
Ta có:

Vì a(a - 1)(a + 1), b(b - 1)(b + 1) và c(c - 1)(c + 1) là các tích của ba số nguyên liên
tiếp nên các tích này chia hết cho 6, kết hợp với 2022 chia hết cho 6 suy ra :
chia hết cho 6.
Câu 4.
Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, AC. Đường thẳng
qua C vuông góc với BC cắt DE tại F. H là hình chiếu của C lên BF.
a) Chứng minh FH.FB = FE.FD.
b) Chứng minh ∆ABH

∆ECH.

c) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh A, H, I thẳng hàng.

Chứng minh
a) DE là đường trung bình của ∆ABC nên DE // AB,
mà AB

AC suy ra DE

B

AC.

D

∆BCF vuông tại C có đường cao CH và ∆DCF vuông tại
C có đường cao CE, nên áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác vuông ta có:

A

E

K

C

H
I

b) Gọi K là giao điểm của AC và BF.
AB // DF

(so le trong) , mà

(cùng phụ với góc CKF) suy ra

F

(1)

Giờ ta đi chứng minh
Cần chứng minh ∆BCH
(2)
∆ABC

∆BFC (g.g)

CDF (g.g)

(3)

Từ (2) và (3) suy ra
Từ (1) và (4) suy ra ∆ABH
c) Từ ∆ABH

(4)
∆ECH (c.g.c)

∆ECH (theo câu a) suy ra

, mà
(5)

∆ABH

∆ECH (theo câu a)

(*)

∆ABC

∆ECF (g.g)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra
Từ (5) và (6) suy ra ∆HAE

(6)
∆EAI (c.g.c)

tia AH trùng với tia AI suy ra 3 điểm A, H, I thẳng hàng.
Câu 5. (1 điểm)

Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Chứng minh
Dự đoán điểm rơi

. Vận dụng BĐT

Ta có

Dấu "=" xảy ra khi
Vậy GTNN của P là

khi a = b = c = 1S