Website:tailieumontoan.com
PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN TÂY HỒ
ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021.
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao bài)
Câu 1.

ĐỀ BÀI

(4 điểm)

với

Cho biểu thức

Câu 2.

1)

Rút gọn biểu thức P.

2)

Tìm các số thực

để biểu thức P đạt giá trị nguyên.

(4 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức

Câu 3.

, biết

2) Giải phương trình:
(4 điểm)
1)

Cho ba số thực

,

,

khác 0 thoả mãn

.

Chứng minh rằng
Câu 4.

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên
(6 điểm)

thỏa mãn

Cho điểm
là trung điểm của đoạn thẳng (
Đường phân giác trong của góc cắt
tại

Câu 5.

1)

Chứng minh

2)

Chứng minh

.

). Điểm
.

, trong đó

thay đổi sao cho

là diện tích tam giác

.

.

3) Chứng minh rằng:
(2 điểm)
1)

Cho các só dương

,

,

thỏa mãn

Chứng minh rằng
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

.
.

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
2)

Trên bảng có ghi 2020 số:

phép xóa đi hai số

,

;

;

;…;

. Mỗi lần thực hiện, cho

bất kỳ trên bảng và thay bằng sô

. Hỏi sau 2019 lần

thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?
HẾT
PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN TÂY HỒ
ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021.
🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮
Câu 1.

(4 điểm)

với

Cho biểu thức
1)

Rút gọn biểu thức P.

2)

Tìm các số thực

để biểu thức P đạt giá trị nguyên.
Lời giải

a)

Rút gọn biểu thức

.

Điều kiện xác định:
,

Đặt

vào

Thay
b)

Tìm các số thực

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

ta được:
để biểu thức
môn

toán:

đạt giá trị nguyên.
Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

nguyên nên
Do

. Từ đó
nên

Từ đó
Do

nguyên nên
thì

Với
Câu 2.

thì

Với
(4 điểm)
1)

Tính giá trị của biểu thức

2)

Giải phương trình:

, biết

Lời giải
1) Ta có
Xét
Hay
Vậy
2) Giải phương trình:
Điều kiện:
Với điều kiện trên, phương trình tương đương:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Giải

Giải

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Câu 3.

(4 điểm)
1) Cho ba số thực

,

,

khác 0 thoả mãn

.

Chứng minh rằng
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên

thỏa mãn
Lời giải

1) Ta có:

.

.

Nhân hai vế của

với số

khác 0 ta được:

Nhân hai vế của

với số

khác 0 ta được:

Nhân hai vế của
với số khác 0 ta được:
Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên
Trong khoảng

thỏa mãn

.

không có số nguyên nào nên

Do đó,
Và

Vậy
Từ đó
Nếu

là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì:

Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn đề bài là:
Câu 4.

(6 điểm) Cho điểm

là trung điểm của đoạn thẳng

. Đường phân giác trong của góc
1)

Chứng minh

2)

Chứng minh

3)

Chứng minh rằng:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

cắt

, trong đó

. Điểm
tại

thay đổi sao cho

.

là diện tích tam giác

.

Lời giải
môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

1)

Chứng minh

,

trong đó
là diện tích tam giác
Kẻ đường cao
của

Trong tam giác vuông

,

Suy ra
2) Chứng minh
Kẻ đường cao

Lấy

+

của tam giác

ta được:

Suy ra
3) Chứng minh rằng:
Sử dụng kết quả của câu 1) ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Mà
Nên

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

Từ đó

Câu 5.

Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi
(2 điểm)
1)

Cho các só dương

,

,

thỏa mãn

Chứng minh rằng
2)

.

Trên bảng có ghi 2020 số:

phép xóa đi hai số

,

.

;

;

;…;

. Mỗi lần thực hiện, cho

bất kỳ trên bảng và thay bằng số

. Hỏi sau 2019 lần

thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?
Lời giải
1)

Cho các só dương

,

,

thỏa mãn

Chứng minh rằng

.
.

Ta có:
Do đó:
Nên

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
Do vai trò của

,

,

như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Mà
Xét hàm số bậc nhất biến

.

là:

, với

và

Ta có

Từ đó ta có

với mọi

, tức là bất đẳng thức

đúng.

Đẳng thức xảy ra khi
2)

Trên bảng có ghi 2020 số:

phép xóa đi hai số

,

;

;

;…;

. Mỗi lần thực hiện, cho

bất kỳ trên bảng và thay bằng số

. Hỏi sau 2019 lần

thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?
Giả sử các số trên bảng đang là

,

,…,

. Ta cho tương ứng bảng này với tích

Sau mỗi lần biến đổi, tích trên bị mất đi hai thừa số

nhưng lại được thêm

vào thừa số
Do đó, tích trên có giá trị tuyệt đối không thay đổi, chỉ đổi dấu.
Vì tích ban đầu bằng 0 (do có chứa thừa số

nên số cuối cùng

cũng phải

có tích bằng 0 nghĩa là tích cuối cùng bằng
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
 HẾT 

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học