Chủ đề 2
SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ
TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Một số tính chất của tỉ số
+ Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có
+ Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có:
- Nếu

thì

- Nếu

thì

- Nếu

thì

2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức
+
+
+
+

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.

+

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.

+

. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

+ Cho các số thực

hoặc

.

, thế thì hiển nhiên ta có

+ Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có
. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức.
Cho tam thức bậc hai

với

. Khi đó ta viết được

với
Từ đó ta có một số tính chất sau:
Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi
Tính chất 2: Nếu

thì

Tính chất 3: Nếu

và đa thức có hai nghiệm

+

với mọi giá trị

.
thì

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+

với mọi giá trị

hoặc

.

B. Một số ví dụ minh họa.
1. Sử dụng tính chất của tỉ số.
Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý ta thấy

, như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta

cần đánh giá được

.
Lời giải

Do a, b là các số dương nên ta có
Từ đó suy ra
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương
đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng
thức xẩy ra. Để ý một chút ta có
giá được

, như vậy cần đánh

. Dễ nhận thấy đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần

áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. Để chứng minh được
bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được

, việc này hoàn

toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số.
Lời giải
Do a, b, c là các số dương nên ta có

. Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta

được

Áp dụng tương tự ta có

Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được

Vậy bài toán được chứng minh.
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Lời giải
Theo tính chất của tỉ số ta có

Mặt khác ta lại có
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được

Tương tự ta có

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được.

Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức ta cần tinh ý sử dụng các tính chất
của tỉ số. Ngoài ra các bất đẳng thức trong ở hai ví dụ trên có thể được phát biểu lại
như sau: Cho các biểu thức với a, b, c là các số thực dương.

Chứng minh A, B không thể nhận các giá trị nguyên.
Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn

Phân tích: Để ý ta nhận thấy
số để chứng minh bất đẳng thức.
Từ

suy ra

. Chứng minh rằng:

, đến đây ta áp dụng tính chất của tỉ
Lời giải

, theo tính chất tỉ số ta được

Do đó ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta
nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên để đánh giá được bất đẳng thức
theo Cauchy không hề đơn giản tí nào với những ai mới học bất đẳng thức.
Chú ý đến giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ như
thế nào với

, do

nên ta thấy được

khử căn bằng đánh giá

, với kết quả đó ta có thể

. Đến đây thì bài toán đươc giải quyết triệt để

tương tự như ví dụ thứ nhất.

Lời giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được 
Do đó ta có
Chứng minh tương tự ta được
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý ta thấy

nên có

và

, áp dụng

tương tự ta chứng minh được bất đẳng thức.
Lời giải
+ Trước hết ta chứng minh
Do a là số thực dương nên ta có

suy ra

Chứng minh tương tự ta có
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cuối ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Ta chứng minh
Do a, b dương ta có

và

Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được bài toán cần chứng minh.
Ví dụ 7. Cho

là các số thực dương. Kí hiệu

Chứng minh rằng:
Phân tích: Nhận thấy

nên ta có

với mọi
cho

. Do đó ta được

, đến đây ta áp dụng

thì ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Lời giải

Vì

nên ta được
với mọi

Suy ra

với mọi

Lần lượt cho i bằng các giá trị

Hay

.
.
rồi cộng các theo vế lại với nhau ta được

. Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
. Quan sát bất đẳng
thức ta nhận thấy cần phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượng
nhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu được vẫn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải. Điều đó có
nghĩa là cần tìm vế phải cho bất đẳng thức
, để ý trong vế trái của
bất đẳng thức ta không đánh giá được gì từ tích abc, cho nên ta tập trung đánh giá
. Trong vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc ở mẫu
nên khi đánh giá mẫu vế trái ta cũng cần làm xuất hiện tích abc ở các phân thức,
như vậy khi đánh giá
cần làm xuất hiện tích ab, điều này gợi ý cho ta đánh
giá rất đẹp

. Nếu chứng minh được bất đẳng thức đó thì ta thu

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

được

kết

quả

là

khi

đó

ta

suy

ra

được

đánh

giá

. Đến đây ta có các đánh giá tiếp theo

Như vậy ta cần tập trung chứng minh
được biến đổi tương đương thành

, bất đẳng thức này
là một đánh giá đúng.

Lời giải
Ta có

Suy ra

Từ đó ta được
Chứng minh tương tự ta có

Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hay. Để chứng minh được nó ta
cần chứng minh

. Nhưng vấn đề là làm sao tìm ra được bất đẳng

thức phụ đó. Đầu tiên là do yêu cầu làm xuất hiện tích ab, kế đến là cần phải làm
cho hai vế đồng bậc 3 và cuối cùng là chú ý khi
thì hai vế của bất đẳng thức
đó bằng nhau. Khi phân tích bài toán ta cần chú ý đến các yếu tố như đẳng thức xẩy
ra ở đâu, tính đồng bậc của bất đẳng thức, chọn chiều đánh giá như thế nào cho
hợp lí,... Tuy nhiên khi tiến hành các bước phân tích mà giả thiết càng gần với kết
luận thì cơ hội càng lớn.
Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Ý tưởng tương tự như ví dụ trên, ở đây ta chú ý đến dấu đẳng thức xẩy
ra khi
, như vậy ta cần có các đánh giá sao cho đảm bảo có đẳng thức
xẩy ra. Nhận thấy

nên

Khi đó ta có đánh giá

.
. Áp dụng tương tự ta được bất đẳng

thức

Vấn đề còn lại là chứng minh được

. Đây là

một đẳng thức quen thuộc và nhiều hướng để xử lí nó.
Lời giải
Ta có
Do đó ta được
Chứng minh tương tự ta có

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Ta cần chứng minh
Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau
Cách 1: Do

, nên tồn tại các số dương x, y, z để

Khi đó ta có

Cách 2: Do

, nên ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

.

. Chứng minh rằng:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng tương tự ta được

Ta cần chứng minh
Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau
Cách 1: Do

, nên tồn tại các số dương x, y, z để

Khi đó ta có

Cách 2: Do

, nên ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong ví dụ 8, 9 và 10 cho thấy kỹ thuật đánh giá ở
mẫu được sử dụng như thế nào trong chứng minh bất đẳng thức, thực chất của việc
đánh giá này là thay thế các mẫu bởi các đại lượng khác sao cho các đánh giá cùng
chiều và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Điều quan trọng là biết cách chọn các đánh
giá phù hợp sao cho càng chặt càng tốt.
Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
rằng:

. Chứng minh

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
. Quan sát bất
đẳng thức ta có nhận xét là tử của các phân thức là các đại lượng ab, bc, ca. Chú ý
đến giả thiết
ta có thể viết lại phân thức bên vế trái theo các ý tưởng như
hoặc là

.

Đến đây ta viết được vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành các
biểu thức

hoặc

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

và để

đơn giản ta có thể đặt
giả thiết

hoặc

và chú ý đến

dẫn đến được

Để ý với điều kiện

Đặt

, lúc này ta được bất đẳng thức như ví dụ 9.
Lời giải
, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

, khi đó ta được

.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Ta chứng minh được

và áp dụng tương tự ta

được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại
.
Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức khó, khi tôi phân tích để tìm lời
giải thì các câu hỏi được đặt ra như biến đổi các biểu thức như thế nào để bài toán
đơn giản hơn, sử dụng giả thiết như thế nào đây, thay vì đánh giá cả tử và mẫu ta
có quy vế đánh giá mẫu được không. Sau các bước biến đổi như trên thì bài toán
nhìn có vẻ dễ hơn đôi chút và nếu tận dụng tốt các lợi thế này thì công việc còn lại
sẽ không gây được khó khăn nữa.
Ví dụ 12. Cho các số thực

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
. Quan sát bất
đẳng thức ta nhận thấy không thể trực tiếp đánh giá tử của các phân thức, do vậy ta
tìm cách đánh giá mẫu của mỗi phân thức. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức trên,
ta cần một đánh giá kiểu
. Giả thiết có gợi cho ta điều gì? Nên nhớ là khi
ta thường thu được các bất đẳng thức dạng

hay

, đến đây ta cộng vào hai vế với c thì được

. Lúc này

ta có đánh giá tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức là

. Chỉ cần

áp dụng tương tự cho các trường hợp còn lại là ta hoàn thành chứng minh bài toán.
Lời giải
Vì

nên ta có

Do đó ta được

suy ta
suy ra

.

Chứng minh tương tự ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 13. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn

.
. Chứng minh

rằng:
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy ra tại
mà xẩy ra tại
và các hoán vị. Trong trường hợp này để dễ có
những đánh giá hợp lí ta có thể sắp thứ tự các biến. Vì đẳng thức xẩy ra tại
nên không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự các biến bằng cách chọn
a là số lớn nhất. Khi đó ta mạnh dạn có các đánh giá kiểu như

mà

vẫn bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, các đánh giá này dẫn tới
. Còn lại

cần phải đánh giá như thế nào để cùng

chiều với hai đánh giá trước đó. Để ý là sau khi đánh giá hai phân thức đầu ta thu
được

như vậy ta cần làm xuất hiện

lớn nhất nên ta có
ta thu được đại lượng

trong đánh giá

. Để ý đến a là số

. Kết quả là sau một số bước đánh giá như trên
, bây giờ nếu biến đổi được thành biểu

thức chỉ chứa biến a thì càng dễ chứng minh hơn. Từ giả thiết
đến

ta có một đánh giá rất tự nhiên là

và chú ý
. Bây giờ việc

chứng minh bất đẳng thức hoàn toàn đơn giản.
Lời giải
Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn
nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có

.

Do đó
Từ đó ta được bất đẳng thức

Ta cần chứng minh

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

và các hoán vị.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm ra cách chứng minh bất đẳng thức trên chính là
các đánh giá

, việc phát hiện ra các đánh

giá đó đòi hỏi phải có sự suy luận một cách lôgic.
Ví dụ 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt

, suy ra ta có

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

Mà ta có
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi
hoán vị.

và các

2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 15. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Phân tích: Để ý ta có

, phân tích

thành nhân tử

, mà a, b, c là ba cạnh

của một tam giác nên

. Đến đây ta chứng minh được bất

đẳng thức.
Lời giải
Ta có

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có
Do đó ta suy ra
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hay
Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại

. Quan sát kĩ bất

đẳng thức ta có nhận định là cần phải có một đánh giá kiểu
khi khử căn ta thu được

để

. Vấn đề là cần xác định giá trị của k để đánh giá trên

là đúng, nhớ là đẳng thức xảy ra tại

nên ta xác định được

, tức là ta có

. Một điều nữa cần chú ý là các biến a, b, c là các số thực bất kì
nên khi khử căn ta cần lấy giá trị tuyệt đối và để ý đến

.

Lời giải
Trước hết ta chứng minh

.

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức trên được chứng minh.
Từ bất đẳng thức trên ta có

Chứng minh tương tự ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta luôn có
tìm cách chứng minh

, bây giờ ta

. Để là mất các giá trị tuyệt đối ta

thường sử dùng cách xét dấu các số hoặc là bình phương hai vế, trong trường hợp
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

này ta chọn cách bình phương hai vế vì việc xét dấu rất khó khăn. Khi bình phương
hai vế ta thu được kết quả là:
Bất đẳng thức sẽ được giải quyết nếu như ta khẳng định được
. Chú ý
đến vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức thì việc giả sử
là hoàn toàn thực
hiện được. Bây giờ ta cần trình bày lại lời giải nữa là xong.
Lời giải
Trong ba số a, b, c có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta
giả sử hai số đó là a, b. Khi đó ta được
Như vậy ta chỉ cần chứng minh
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a, b, c cùng dấu.
Ví dụ 18. Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

Phân tích: Ta có một đẳng thức quen thuộc là

và như

vậy nếu ta đánh giá được
giải

quyết.

Để

ý

đến

thì bài toán xem như được
đánh

giá

theo

bất

đẳng

thức

Cauchylaf

và ta cần chỉ ra được

,

đánh giá này là hoàn toàn đúng đắn theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Lời giải
Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta được
Do đó ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi

hoặc

.
Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực đôi một không đồng thời bằng 0. Chứng minh
rằng:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức là
đánh giá được

, như vậy nếu

thì bài toán được chứng minh.

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức

.

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
, Đúng với mọi a, b.
Chứng minh tương tự như trên ta được
Nhân theo vế các kết quả trên ta được

Vì đẳng thức không xẩy ra nên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 20. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích: Nhận định đầu tiên khi tìm hiểu bất đẳng thức trên là tìm cách phá giá
trị tuyệt đối. Quan sát kĩ ta thấy không thể bình phương cũng không thể xét dấu các
đại lượng để phá giá trị tuyệt đối được. Trong trường hợp này ta thử nghĩ đến cách
sắp thứ tự các biến để phá giá trị tuyệt đối xem có thể chứng minh được hay không.
Chẳng hạn ta chọn
, khi đó ta phá được các giá trị tuyệt đối và bất đẳng
thức được viết lại thành

, nhận thấy

bất đẳng thức thu được hoàn toàn đúng.
Lời giải
Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

.

Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

nên

.

Lời giải
Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do
.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

.

Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Trước hết ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại
. Quan sát bất
đẳng thức ta nhận thấy vế phải xuất hiện các đại lượng
nên suy nghĩ
đầu tiên khi biến đổi bất đẳng thức là cần phải làm thế nào để xuất hiện ở vế trái
các đại lượng
, chính yêu cầu này làm ta liên tưởng đến một hằng
đẳng
thức
bậc
ba
hết
sức
quen
thuộc
đó
là
. Như vậy sau khi áp dụng thì
vế trái của bất đẳng chứa đại lượng

mà bên vế phải lại là

tích các đại lượng

, từ chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta

nghĩ đến đánh giá

. Bây giờ ta cần

một đánh giá kiểu

là hoàn thành chứng minh bất

đẳng thức. Chú ý đến dấu giá trị tuyệt đối và các biến không âm ta có được các
đánh giá đúng là

, đến đây thì các yêu cầu để

chứng minh bài toán đã được xử lí, việc trình bày lời giải hoàn toàn đơn giản.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Theo tính chất của bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có
Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Và
Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được

Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 23. Cho n số thực

Trong đó

(với

.

). Chứng minh rằng:

là số lớn nhất trong các số thực

Lời giải
Để ý là trong hai số thực x, y bất kì ta luôn có
và
Sử dụng đẳng thức

, ta có:

Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

3. Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai.
Ví dụ 24. Cho a, b là các số thực thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Phân tích: Để ý rằng bất phương trình bậc hai
trong đó

là các nghiệm của tam thức

thiết ta thu được

với

,

. Phân tích bất đẳng thức giả

, ta xem vế trái là đa thức biến

ta có lời giải sau.
Lời giải
Bât đẳng thức giả thiết tương đương với

Đặt
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 25. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

, khi đó

Phân tích: Bất đẳng thức có hai biến và biến a có bậc cao nhất là 2, do đó ta biến
đổi bất đẳng thức theo hướng xuất hiện một tam thức bậc hai có biến là a như sau

Ta xem vế trái của bất đẳng thức là tam thức bậc hai, để ý đến

, ta

cần chứng minh được biệt thức

của tam thức có giá trị âm.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Xét đa thức
Khi đó ta có
Do đó ta có

mà

nên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 26. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Xét tam thức
Khi đó ta có
Do

nên ta được

suy ra

Hay

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 27. Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh bằng kĩ thuật biến đổi tương
đương. Ở đây ta sử dụng tư tưởng của tam thức bậc hai để chứng minh. Để ý ta viết
lại được bất đẳng thức như sau
cần phải chứng minh được

, đến đây ta
. Việc này hoàn

toàn thực hiện được nhờ phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng thức
Bunhiacpoxki.
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Xét
Khi đó ta có
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Suy ra
Do đó ta được
Hay bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 28. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

và

.

Chứng minh rằng:
Phân tích: Từ giả thiết
dạng

, ta có thể thiết lập được bất đẳng thức bậc hai

, áp dụng tương tự và chú ý đến giả thiết

.

Giải
Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai ta có

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được
Vì

nên

. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 29. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki.
a) Cho các số thực bất kỳ

khác 0. Chứng minh rằng:

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
b) Cho các số thực bất kỳ

khác 0. Chứng minh rằng:

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Lời giải
a) Xét đa thức
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vì

nên ta có

Hay
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
b) Xét da thức

Vì

nên ta có

Hay
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 30. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn
tồn tại số thực m sao cho

thì với mọi

. Chứng minh rằng: Nếu
ta luôn có:

Phân tích: Quan sát biểu thức bên vế trái ta nhận thấy ngay đây là đa thức bậc 4,
với phép đặt biến phụ

, khi đó vế trái trở thành đa thức

bậc hai, bây giờ ta cần chứng minh được biệt thức
âm, cần chú ý đến giả thiết
vì chắc chắn phải cần đến nó mới có thể chứng minh được.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Do

nên ta đặt

, khi đó ta được bất đẳng thức

Xét
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta có
Vì

nên

do đó ta có

Hay
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 31. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến, nên ta nghĩ đến việc đưa về
tam thức bậc hai. Bất đẳng thức có ba biến nhưng có thêm điều kiện
cho
nên ta có thể chuyển bất đẳng thức thành bất đẳng thức chỉ có hai biến. Đến đây ta
chọn một biến làm biến chính, còn lại ta xem như là tham số và sử dụng tính chất
tam thức bậc hai là một ý tưởng không tồi chút nào.
Lời giải
Từ giả thiết
suy ra
, thay vào bất đẳng thức ta được

Xét

, khi đó ta được

Do đó suy ra

hay

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 32. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, bất đẳng thức có tính đối xứng với
hai biến a, b và là có bậc hai đối với mỗi biến do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến
sử dụng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh. Trước hết ta viết lại bất đẳng
thức

Xem vế trái là một tam thức bậc hai biến a khi đó, để ý đến
cần chứng minh được biệt thức
.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Xét tam thức bậc hai
Khi đó ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

ta

Để ý ta thấy

, do đó ta được

Hay

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra ki và chỉ khi

Ví dụ 33. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại

. Quan sát bất

đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng và có bậc hai đối với mỗi
biến, do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến tam thức bậc hai. Như vậy ta cần chọn
một biến chính, là c chẳng hạn, khi đó các biến a, b đóng vai trò tham số. Để ý thấy
vế trái của bất đẳng thức có đại lượng

rất cồng kềnh khi biến

đổi, do đó ta cần thay đại lượng đó bằng một đại lượng bé hơn, chú ý đến dấu đẳng
thức xẩy ra ta có hai ý tưởng là

Hoặc
Nhận thấy ngay ý tưởng đầu không thực hiện được vì chẳng hạn
bất đẳng thức

thì

không đúng. Do đó ta chỉ có thể theo ý

tưởng thứ hai. Lúc ta được bất đẳng thức

Bây giờ ta cần chứng minh
thành

, viết
. Công việc cuối cùng là chứng

minh

thì bài toán xem như được chứng

minh. Ở đây nếu như ta không chứng minh được biệt thức

thì ý tưởng trên

hoàn toàn phá sản. Cũng may trong bài toán này ta thu được

. Đến

đây chỉ cần trình bày lại lời giải nữa là xong.
Lời giải
Ta có
Do đó ta được bất đẳng thức
Ta cần chứng minh

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Xét tam thức bậc hai
Khi đó ta được

Dễ thấy

nên ta được

Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Nhận xét: Đây là một bài toán khó, ban đầu nếu xem c là biến và a, b là tham số
mà chứng minh biệt thức
thực sự rất khó khăn, cho nên ý tưởng làm đơn giản
hóa vế trái là hoàn toàn tự nhiên. Nhưng để có một đánh giá hợp lí cần phải xem xét
bài toán một cách tổng thể và luôn để ý đến các tình huống có thể xẩy ra.
Ví dụ 34. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
minh rằng:
Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại

. Chứng
hoặc

. Quá

trình đánh giá bất đẳng thức cần chú ý đến đẳng thức xẩy ra. Quan sát bất đẳng
thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng đối với ba biến và có điều kiện nên
ta có thể đưa về dạng tam thức bậc hai. Chẳng hạn từ giả thiết ta rút được
. Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành:

Và nếu xem b là biến và c là tham số thì ta thu được bất đẳng thức có bậc hai
đối với một biến

.

Lúc này ta có

. Bây giờ

ta cần phải chỉ ra được
và
. Chú ý trong trường hợp này đẳng thức
xẩy ra tại
hoặc
, ta nhận thấy khi
thì hai yêu cầu trên được đáp ứng
ngay. Nhận thấy từ giả thiết
nếu chọn c nhỏ nhất thì ta có ngay
, do đó ta có thể giả sử c là số bé nhất trong ba số a, b, c. Việc giả sử này là
hoàn toàn có thể vì vai trò của các biến như nhau. Đến đây ta trình bày lại lời giải
như sau.
Lời giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử c là số bé nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có

Từ

suy ra

. Như vậy ta cần chứng minh

Hay
Xét
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Khi đó ta có
Vì

nên ta có

Lại thấy khi

thì

nên

Hay

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi

hoặc

và các hoán vị.

Nhận xét: Sử dụng nguyên lí Dirichlet cũng có thể chứng minh được bất đẳng thức
trên, tuy nhiên để sử dụng được nguyên lí Dirichlet không hề đơn giản. Qua đó ta
nhận thấy với các bất đẳng thức bậc hai thì nghĩ đến sử dụng các tính chất của tam
thức bậc hai là điều hết sức tự nhiên và thực tế các tính chất của tam thức bậc hai
cũng đã cho thấy hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 35. Cho a, b, c là các số thực bất kì thỏa mãn điều kiện:
và
. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c.
Chứng minh rằng:
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy được vai trò như nhau của ba biến a, b,
c nên để đơn giản ta có thể sắp thứ tự các biến để quy định M và m cho bất đẳng
thức. Chẳng hạn ta chọn

, khi đó ta cần chứng minh

.

Chú ý đẳng thức
hợp với

, kết

, ta viết lại được

chứng minh

nên ta có thể xem đẳng thức bên là phương trình bậc hai ẩn

và viết lại ta được
tưởng để chứng minh
chứng minh

, vì ta cần phải

. Đến đây ta thấy được hai ý
. Một là ta cần giải ra các nghiệm X theo

sau đó

. Hai là đổi vai trò trong phương trình và xem X là tham số, khi

đó từ điều kiện có nghiệm của phương trình ta suy ra được

.

Lời giải
Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
a là số lớn nhất và c là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c.
Khi đó ta cần chứng minh
Ta có
Hay

. Đặt

, khi đó ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Xem phương trình trên có ẩn là

Suy ra

, khi đó để phương trình có nghiệm thì

. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

và các hoán vị.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word