SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2023-2024
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776. Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng
,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.word giá 500 ngìn

Bài 1. a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn b(a  1)  1  a . Tính giá trị của biểu
1  b2
1  a2
(1  a 2 )(1  b2 )
b

thức P  a
1  a2
1  b2
4
20232 2023

b) Chứng minh rằng biểu thức A  1  2023 
là số tự nhiên.
20242 2024
2

Bài 2. 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A(−1;1), B(−5;−3) và đường
thẳng (d):y=ax+b
a) Tính diện tích tam giác OAB.
b) Tìm a, b biết đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với
đường tròn tâm O(0;0) bán kính R  4 24 .
2) Cho đa thức f ( x)  x3  ax2  bx  2 với a, b là các số hữu tỉ. Biết đa thức đã cho có
một nghiệm là x  2  3 . Tìm các nghiệm còn lại của đa thức.
Bài 3. a) Giải phương trình x2  3x  2  3 x3  3x2  3x  2

b) Giải hệ phương trình 

x  x  y  2 y 1 y 1

3
2
2
3

8 x  52 y  15 x  11  ( x  3) 12 y  6 x  5
Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 

x 2  yz
y 2  xz
z 2  xy


x yz y zx z x y

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao
AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của NP với AH và AO, I là
trung điểm của AH.
a) Chứng minh rằng IN 2  IK .IM
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BN và CP. Chứng minh rằng EF vuông
góc với QM.
Bài 6. Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không giao nhau. Trên đường thẳng d lấy
điểm A. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) và cát
tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE. Đường
thẳng BC cắt OA và OI lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng KE là tiếp tuyến của (O; R)
b) Chứng minh rằng khi A di động trên đường thẳng d thì H di động trên một
đường tròn cố định.
1

Bài 7. Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn a,b≠−1 và
nguyên. Chứng minh rằng a2023b2024  a a2  a

2

(a  1)(a  1)2  (b  1)(b  1) 2
là số
a  b  ab  1