Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
CHUYÊN ĐỀ 1:

SO SÁNH PHÂN SỐ
A.Những kiến thức cần nhớ:
1. Khi so sánh hai phân số:
- Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số
đó lớn hơn.
- Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân
số đã quy đồng được.
2. Các phương pháp khác:
- Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số
đó nhỏ hơn.
- So sánh với 1.
- So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và
ngược lại.
a
c
1 
d
1- b

a c

b d

thì
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
2001

2001
2002

và
Bớc 1: (Tìm phần bù)
1

2000
1

2001 2001

2001
1

1- 2002 2002

Ta có :
Bớc 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
1
1
2000 2001


2001 2002 nên 2001 2002

Vì
* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trờng hợp A B ta
có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có
hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:
Ví
+)

2000
2001
dụ: 2001 và 2003 .
2000 2000 2 4000


2001
2001

2
4002
Ta có:

+)Vì

4000
2

1 - 4002 4002
2
2
4000 2001


4002 2003 nên 4002 2003

hay

2001
2

1- 2003 2003
2000 2001

2001 2003

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
- So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
a
c
a c
 1   1thi 
b
d
b d

Ví dụ: So sánh:
Bớc 1: Tìm phần hơn

2001
2000

và

2002
2001

2001
1
 1
2000
có: 2000

2002
1
 1
2001
2001

Ta
Bơc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
1
1

2000 2001

2001 2002

2000 2001

Vì
nên
* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C D
ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân
số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
Bớc1: Ta có:

2001
2000

2001 2001  2 4002


2000 2000 2 4000

4002
2
 1
4000
4000
2
2
4002 2003


4000 2001 nên 4000 2001

Bớc 2: Vì
hay
-So sánh qua một phân số trung gian:
Ví dụ 1: So sánh
Bớc 1: Ta có:

Bớc

3
5

và

Bớc 2: Vì

2003
2
 1
2001
2001
2001 2003

2000 2001

4
9

3 3 1
 
5 6 2
3 1 4
3 4
 

2: Vì 5 2 9 nên 5 9
19
31
Ví dụ 2: So sánh 60 và 90

Bớc 1: Ta có:

và

2003
2001

19 20 1


60 60 3
19 1 31
19 31
 

60 3 90 nên 60 90

4 4 1
 
9 8 2

31 30 1


90 90 3

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Ví dụ 3: So sánh
101
100
1 
100
101

101
100

100
và 101
101 100

100 101

Vì
nên
Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.
40
57

41
55

và
Bài giải

+) Ta chọn phân số trung gian là:
+) Ta có:

40
55

40 40 41


57 55 55

40 41

Vậy 57 55

+)
* Cách chọn phân số trung gian:
- Trong một số trờng hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là
1 1
, ,...
2 3 (ví

những phân số dễ tìm được như: 1,
dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa
hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số
trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1.
a
b

c
d

- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số và (a, b, c, d khác
0)
- Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số
a
d

c
b

trung gian là (hoặc )
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân
số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ
hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,…hay bằng
1 2 4
, , ,...
2 3 5 )

thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần
sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ
nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
Ví dụ: So sánh hai phân số
Bớc 1: Ta có:

15 15 5 75


23 23 5 115

15
23

và

70
117

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Ta so sánh

Bớc 2:

70
117

với

75
115

70
Chọn phân số trung gian là: 115
70
70
75
70
75
70 15




Vì 117 115 115 nên 117 115 hay 117 23

Bớc 3:
- Đa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng
thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai
phần phân số của hai hỗn số đó.
47
65
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 và 21 .
47
2
65
2
3
3
21
21
Ta có: 15 15
2
2
2
2
47 65

3 3

Vì 15 21 nên 15 21 hay 15 21

- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau,
ta cũng đa hai phân số về hỗn số để so sánh.
Ví dụ: So sánh
Ta có:

41
11

và

23
10

41
8
3
11
11
8
3
3 2
11
10

23
3
2
10
10

41 23
11 > 10

Vì 3 > 2 nên
hay
* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta
có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau
Ví
+)

47
15

65
dụ: So sánh
và 21 .
47
47
2
9
5
Ta có: 15 x 3 = 5
2
2
47
2 2

9 9
Vì 5 7 nên 5 7 hay 15

65
65
2
3  9
21
7
7
65
21

+)
>
- Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng
1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số
thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân
số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
Ví dụ: So sánh

5
9

và

7
10

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Ta có:

5
9

a c

b d

7
50
5
1
: 10 = 63
Vậy 9
c e
a e
 thi 
d f
b f

<

7
10 .

và
- Rút gọn phân số.

B.BÀI TẬP
1 , Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau :
12 1212
a, 14 , 1414 và
ab abab
c, cd , cdcd và
122436 12
va
e, 132639 13

121212
141414
ababab
cdcdcd

24 2424
242424
b, 35 , 3535 và 353535
123 123123
123123123
d, 145 , 145145 và 145145145
22 224466
va
f, 25 255075

2 .Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần bù)
1999
2003
2000 và 2004

1997
2000

1995
1998

a
a 1

a 1
a2

a)
b)
và
c)
và
3. Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần hơn)
1995
1994

2003
2002

2003
2000

1999
1996

a)
và
b)
và
c)
4. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần
1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , , , , , , .
2 3 4 5 6 7 8 9 10

2
5

299
295

3
và 5

5. Viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phâ số
Bài 6: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)
b)

7
17
11 và 23
12
13
48 và 47
25
25
30 và 49

d)
e)

34
35
43 và 42
23
47
48 và 92
415
572
395 và 581

c)
g)
Bài 7: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)
b)
c)

12
7
17 và 15
1999
12
2001 và 11
13
27
27 và 41

d)
e)
g)

1998
1999
1999 và 2000
1
1
a  1 và a  1
23
24
47 và 45

và

279
275

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)
b)
c)
d)

15
5
25 và 7
13
27
60 và 100
1993
997
1995 và 998
47
29
15 và 35

3
17
e) 8 và 49
43
29
g) 47 và 35
43
31
h) 49 và 35
16
15
i) 27 và 29

Bài 9: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)
b)
c)
Bài 10:

13
23
15 và 25
23
24
28 và 27
12
25
25 và 49

d)
e)

13
15
13
15

và
và

133
153
1333
1555

a) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; ; ;
2 3 4 5 6 7 8 9 10
26 215 10 26 152
;
; ; ;
.
15 253 10 11 253
5 1 3 2 4
; ; ; ; .
6 2 4 3 5

b) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
c) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
d) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé:
e) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đến bé:
Bài 11: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
1985 19 1983 31 1984
; ;
; ;
1980 60 1981 30 1982

21 60 19
; ;
25 81 29
15 6 3 12 2004
; ;1; ; ;
6 14 5 15 1999

196 14 39 21 175
; ; ; ;
189 45 37 60 175

a)
b)
Bài 12: Viết các phân số sau dới dạng phân số thập phân rồi xếp theo thứ tự từ
nhỏ đến lớn:
11 9 7 600 19
; ;
;
;
20 10 25 1000 50

Bài 13: Tìm phân số nhỏ nhất và phân số lớn nhất trong các phân số sau:
12 77 135 13 231
;
;
;
;
49 18 100 47 123

Bài 14:

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
1
5

3
8

a) Tìm 6 phân số tối giản nằm giữa và
b) Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
2
5

3
5

1995
1997

1995
1996

và
và
Bài 15: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số:
999
1001

1001
1003

a.
và
b.
Bài 16: So sánh phân số sau với 1
34 34
33 35

a)

198519851985 198719871987
198619861986 198619861986

b)

9
10

và

11
13

1999 1999
1995 1995

c)
Bài 17: So sánh

1 3 5  2  6 10  4 12  20  7  21 35
1 5  7  2 10 14  4  20  28  7 35  49

Bài 18: So sánh A và B, biết:

với

308
708

11 13 15  33 39  45  55  65  75  99 117 135
13 15 17  39  45 51  65  75 85  117 135 153

A=

1111
1717

B=
Bài 19: So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên)
a. )

n 1 n  3
;
n2 n4

b)

n
n 1
;
n3 n4

Bài 20: So sánh phân số sau: (a là số tự nhiên, a khác 0)
a)

Bài 21:

a 1 a  3
a 1
a
;
b)
;
a
a2
a6 a7
1 1 1 1 1 1 1
     
Tổng S = 2 3 4 5 6 7 8 có phải là số tự nhiên không? Vì sao?
1
1
1
1
1
5

  ... 

89 90 với 6
So sánh 31 32 33

Bài 22:
Bài 23: Hãy chứng tỏ rằng:

7
1
1
1
1
1



 ... 

1
12 41 42 43
79 80

Bài 24: So sánh A và B biết:
A. 

2006
2007

987654321 246813579

Bài 25: So sánh M và N, biết:
M 

2003 2004

2004 2005

Bài 26: So sánh A và B, biết:

B. 

2007
2006

987654321 246813579

N 

2003  2004
2004  2005

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
A.

432143214321
9999999999 99

B.

1231  1231  1231 1231
1997  1997 1997  1998199820 00

Bài 27: Cho phân số:

1  2  3  4  ...  9
11 12  13  ... 19

M=
Hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị phân
số không thay đổi.
CHUYÊN ĐỀ 2
BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Phép cộng phân số
1.1. Cách cộng
* Hai phân số cùng mẫu:
a c ac
 
( b  0)
b b
b

* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng
mẫu số.
* Cộng một số tự nhiên với một phân số.
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã
cho.
- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
3 8 3 11
  
4 4 4 4

2+
1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng
- Tính chất giao hoán:
a c c a
  
b d d b

.
- Tính chất kết hợp:

 a c  m a  c m
       
b d n b d n

- Tổng của một phân số và số 0:
a
a a
 0 0  
b
b b

2. Phép trừ phân số
2.1. Cách trừ
* Hai phân số cùng mẫu:
a c a c
 
b b
b

* Hai phân số khác mẫu số:

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng
mẫu số
b) Quy tắc cơ bản:
- Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số:
 a c  m a  c m
   
  
b d n b d n

c  a m
  
d b n

(Với

c m

d n)
a m

b n)

=
(Với
- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số:
a  c m  a c  m
       
b d n b d n
 a m c
  
= b n d

- Một phân số trừ đi số 0:
a
a
 0
b
b

3. Phép nhân phân số

a c axc
x 
b d bxd

3.1. Cách nhân:
3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân:
- Tính chất giao hoán:
a c c a
x  x
b d d b

- Tính chất kết hợp:

 a c  m a  c m
  
  
b d n =b d n

- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số:
a c m a m c m
      
b d n b n d n

- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số:
a c m a m c m
      
b d n b n d n

- Một phân số nhân với số 0:
a
a
x 0 0 x 0
b
b

3.3. Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:
1 1 2
  
1 2 2
1 1 3
  
2 3 6

1 1
1
 
2 2 1x 2
2 1
1
 
6 6 2 x3

1 1
1
 
Do đó: 1 2 1x 2
1 1
1
 
Do đó: 2 3 2 x3

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
1 1 4
3
1
1
1 1
1
  
 
 
3 4 12 12 12 3 x 4
Do đó: 3 4 3x 4
1
1
n 1
n
1
1
1
1






n n  1 n ( n  1) n (n  1) n (n  1) Do đó: n n  1 n (n  1)

- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
1
1
6 3
Ví dụ: Tìm 2 của 6 ta lấy: 2
1
1
1 1 1
 
Tìm 2 của 3 ta lấy: 2 3 6

4. Phép chia phân số

a c axd
: 
b d bxc

4.1. Cách làm:
4.2. Quy tắc cơ bản:
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số.
 a c  m a  c m
 x  :  x : 
b d n b d n

- Một phân số chia cho một tích 2 phân số:
a  c m  a c  m
:  x   :  : .
b d n b d n

- Tổng 2 phân số chia cho một phân số:
a c m a m a m
  :  :  :
b d n b n b n

- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số:
a c m a m c m
  :  :  :
b d n b n d n

0:

a
0 .
b

- Số 0 chia cho một phân số:
- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho
phân số tương ứng.
2
5 số

Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết
học sinh của lớp 5A là 10 em.
Bài giải
Số học sinh của lớp 5A là:
10 :

2
25
5

(em)

* Khi biết phân số

a
b của

x bằng

c
d

- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy

của y (a, b, c, d
c a
:
d b
a c
:
b d

 0)

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Ví dụ: Biết

2
5 số

nam bằng

3
4 số

nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.
Bài giải

3 2 15
:
4 5= 8 .

Tỉ số giữa nam và nữ là:
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
Dạng 1: Tổnh nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau
gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.
Ví dụ:

1 1 1
1
1
1
  


2 4 8 16 32 64 .

Cách 1:
Bớc 1:
Bớc 2:

Bớc 3:

Cách giải:

1 1 1
1
1
1
  


Đặt A = 2 4 8 16 32 64
1
1
1 
2
Ta thấy: 2
1 1 1
 
4 2 4
1 1 1
 
8 4 8
1  1
1
1
1 

1
 1

1     
   
  ...  

 32 64 
Vậy A =  2   2 4   4 8 
1 1
1 1
1
1
1
1
 
 
 ... 

2 2
4 4
8
32 64
A=
1
A = 1 - 64
64
1
63


A = 64 64 64
63
Đáp số: 64 .

Cách 2:

Bớc 1: Đặt A =
Bớc 2: Ta thấy:

1 1 1
1
1
1
  


2 4 8 16 32 64

1
1
1 
2
2
1 1 3
1
  1 
2 4 4
4
1 1 1 7
1
   1 
2 4 8 8
8

…………….

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Bớc 3: Vậy A =

1 1 1
1
1
1
  


2 4 8 16 32 64
1
64
1
63


1 - 64 = 64 64 64

=
Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số
liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần. (n > 1)
Ví dụ: A =

1 1 1
1
1
1
  


2 4 8 16 32 64

Bớc 1: Tính A x n (n = 2)
Ta có: A x

Cách giải:

1
1
1 
1 1 1


   

2 = 2 x  2 4 8 16 32 64 
2 2
2
2
2
2
  


= 2 4 8 16 32 64
1 1 1 1
1
1   

2 4 8 16 32
=

Bớc 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)

1 1 1
1
1 


1    

2
4
8
16
32


Ax2-A=
1 1 1
1
1
1
1   


2 4 8 16 32 - 2
A x (2 - 1) =
1
A = 1 - 64
64
1
63


A = 64 64 64
5 5
5
5
5
5
 



Ví dụ 2: B = 2 6 18 54 162 486

1
1
1 
1 1 1


   

 2 4 8 16 32 64 
1 1
1
1
1
 


4 8 16 32 64

Bớc 1: Tính B x n (n x 3)
Bx3=3x

5
5
5
5 
5 5



  

 2 6 18 54 162 486 

15 5 5
5
5
5
  


2
2 6 18 54 162

=
Bớc 2: Tính B x n - B

5
5
5 
 15 5 5
  




2
2
6
18
54
162

 Bx3 - B =
15 5 5
5
5
5
  


B x (3 - 1) = 2 2 6 18 54 162 15
5

B x 2 = 2 486

5
5
5
5 
5 5



  

 2 6 18 54 162 486 
5 5
5
5
5
5





2 6 18 54 162 486

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
B
B
B
B
B

3645  5
x 2 = 486
3640

x 2 486
3640
:2
= 486
1820

486
910

243

BÀI TẬP:Tính nhanh

2 2
2
2
2
2
2
 




a) 3 6 12 24 48 96 192
1 1 1
1
1
1
1
1
  




b) 2 4 8 16 32 64 128 256
1
1
1
1
1
1
b1) S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
1 1
1
1
1
1
 



.
c) 3 9 27 81 243 729
3 3
3
3
3
 


d) 2 8 32 128 512
3
3
3
3



e) 3 + 5 25 125 625
1
1
1
1
1



 .... 
1280
g) 5 10 20 40
1 1 1
1
1
 

 ... 
59049
h) 3 9 27 81

Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2
thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa
số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Ví dụ: A =
A=
=
=
=

1
1
1
1



2 x 3 3x4 4 x5 5x6

3 2
4 3 5 4 6 5



2 x 3 3x4 4 x5 5 x6
3
2
4
3
5
4
6
5







2 x 3 2 x3 3x 4 3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6
1 1 1
  
2 3 3
1 1 3

 
2 6 6

1 1 1 1 1
   
4 4 5 5 6
1 2 1
 
6 6 3

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
Ví dụ:
B=
B=
B=
=
=

3
3
3
3



2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14

5  2 8  5 11  8 14  11



.
2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14
5
2
8
5
11
8
14
11







2 x5 2 x5
5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11 11 x 14 11 x 14
1 1 1 1 1 1
1
1
    


2 5 5 8 8 11 11 14
1
1
7
1
6 3

 
 
2 14 14 14 14 7

BÀI TẬP
Bài 1: Tính nhanh:
a.

4
4
4
4
4
4





3 x 7 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2








 ... 

8 x 9 9 x 10
b. 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11 x 13 13 x 15 1 x 2 2 x3 3 x 4

3
3
3
3
3
3
77
77
77
77




 ... 



 ... 
9 x 10 2 x 9 9 x 16 16 x 23
93 x 100
c. 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6

d.

4
4
4
4



3 x 6 6 x 9 9 x 12 12 x 15

1 1 1 1 1 1
1
    
 ... 
2 6 12 20 30 42
110

e.
Bài 2: Cho tổng:

đ.
g.

7
7
7
7
7




1 x 5 5 x 9 9 x 13 13 x 17 17 x 21

1 1 1
1
1
1
  


10 40 88 154 138 340

4
4
4
664
S


 ... 
37 7 11 1115
1995

a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S.
b) Tổng S có bao nhiêu số hạng?
Bài 3: Tính nhanh:
5 11 19 29 41 55 71 89
      
6 12 20 30 42 56 72 90

a)
b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:

Bài

1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
        
2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
1 1 1 1 1 1
, , ,
,
, ........
4: Cho dãy số: 2 6 12 20 30 42

a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên.
1
10200

b) Số
có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?
Bài 5: Tính nhanh:

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
1
1
1
1


 ... 
1  2 1 2  3 1 2  3  4
1  2  3  4  ...  50

Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng:
1 1 1
1
S 1     ... 
3 6 10
45

Bài 7: Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 1 1
        1
3 7 13 21 31 43 57 73 91

Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:
1 1 1 1
1
S      ... 
4 9 16 25
1000

Bài 9: Tính a)

1993 19941994
1994 19931993

Bài 10:Tính

a)

b)
Bài 11: .Tính biểu thức :

c)
Bài 12:Tính :

191919 888
18 ( 212121 + 999

b)

;
;

b)

)

c,

7777
3 ( 9999

141414
+ 272727 )

 17
  23 11 9 
  12,98  0,25  12,5.
  7  8,7  :  
2 25 
 10
  4
2
2
7
2
2
1
2
7
1
5 2 3 2 
24
5
9
17
c) 2 17  1 24  5 5  3 9 x 2
1
1  7
4 3
 1 1 3  11
 3
 :
 1  2  1   1
  
:
5
10  10
5 7
3 x  7 3 14  14 .
e)  5

d)
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
3
1
6
 1 
5
6
7
1
10
2
4 
 5
5
11
11

6 :

a)

c)

206 195195
195 206206

1999 2000  2001 5  5
504 2000  500 2000
2000 4  1995  2001 1995
1995 495  1995 5  1995 3
72  36 2  24 3  18 4  12 6  168
2  2  4  6  ...  512  1024

171717
3737
27 ( 272727 + 3636

a)
) b,
Bài 10: Tính giá trị biểu thức:
a)

abc mnpmnp
mnp abcabc

1
1
1
1
1
S = (1- 2 ) (1- 3 ) (1- 4 )  (1- 5 ) (1- 6 )
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
     
  



S= 7 8 9 10 11 12 14 15 18 22 24 28 30

2004 2005  2006 6  6
2005 1997  4 2005
2003 4  1998  2001 2002
2002  2002 502  500 2002
72 : 2 574  286 2 64
4  4  8  12  20  ...  220

a)
b)

1

b)

1
1  1
1
1
1


 
 :  

10
15   6
10
15 
6
1
1
1  1
1
1


 
 :  

3
4
5  4
6
2

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
1
1  1
1
1
1


 
 :  

10
15   6
10
15 
6
1
1
1  1
1
1


 
 :  

3
4
5  4
6
c)  2
5
1 7
 1 
7
7 8
7
1
11
3  7
6
2
12

5:

e)

36
:
41
14
:
h) 21

9
41  2
7
5
21

8  7 3
:  
3 1
12  3 9 
 
3  21 5 2
 5
2 1  :
k)  8 4  24

m)

 1 1 1  1 1 1
   :   
 2 4 5  2 4 5
1  1 1
1
1 1
   :  

g)  2 5 10   2 5 10 
34  2

:
3 
21  31

 12   3

2 
 : 2  :

i)  15   30

1 1
7
 2
3 5
15
3
1
7

 5
   

l)  10 4 20  6
3

2
1
7 
7
1
1
 13
1  2 

:2 4 
5
2 180  18
2 10
 84

Bài 12: Tính:

1

1
1

a)
1

c)

1
1

2

1
2

1

b) 1
d)

1
1

1
2

1
1 

1
1  4

2
2  3

Bài 13: Thực hiện các phép tính sau:
1 7  7
1 1
 13 2
 1  2 
 :2  4 
84 5
2 180  18
2 10
a) 
1
1
70  528: 7
2
2

Bài 14: Tìm y:

1

2

1
3

1 

1



1

1 

e)

1
7 
17
 3



 
4
20 
49
 15
1
2
5 
3
5
d)

29  1  81
19  1
 9

8
1
 1
 11

100 100  4  100 100  50

b)

1
13  8
 9
9 : 11
 18  16  
4
20  9
 10

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
2
1  7 4 1
 3 1
 3 :  2 1      1 :
5
4  2 5 5
 4 4
 1 3
 1   y
 2 4

Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho:



2

= 64

121 54
100 25

n
:
27 11
21 126

Bài 16: Tìm x là số tự nhiên biết:
6 x 7

b) 33 11
11
1  2
x
e)

x 60

a) 17 204
x 3

d) 5 7

c)
g)

12  x 2

43  x 3
15 x 46
 
26 16 52

CHUYÊN ĐỀ 3
CÁC BÀI TOÁN VỀ THÊM BỚT Ở TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì tổng của tử
số và mẫu số của 2 phân số không đổi.
2. Bớt ở tử số và thêm ở mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì tổng của tử số
và mẫu số của 2 phân số không đổi.
3.Cùng thêm hoặc cùng bớt ở cả tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì
hiệu của tử số và mẫu số (hoặc hiệu của mẫu số và tử số) không đổi.
B.BÀI TẬP
I . Bài tập thêm bớt cả tử và mẫu .
a ) Cho phân số

7
9.

Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số trừ đi số tự nhên n

và đem mẫu số cộng với n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằng
b) Cho phân số

5
7.

1
3

.

Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số trừ đi số tự nhên n

và đem mẫu số cộng với n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằng

1
3

5
59 .

c ) Cho phân số
Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số cộng số tự nhên n
và đem mẫu số trừ n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằn (các phần
a,b,c,d được giải = tổng tỉ)
e) Cho p/s

9
34

hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã

cho trừ đi m ta đựơc p/s mới. Rút gọn p/s mới ta đợc p/s

1
6.

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
g) Cho p/s

43
56 hãy

tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã

cho trừ đi m ta đựơc p/s mới. Rút gọn p/s mới ta được p/s
h) Cho p/s

5
35 hãy

3
4.

tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã

cho trừ đi m ta đựơc p/s mới .Rút gọn p/s mới ta đợc p/s
II. Bài tập tìm P/s khi thêm bớt vào tử hoặc mẫu:

1
11 .

a
b

a
9
a) Cho p/s nếu rút gọn b thì được p/s 11 .nếu thêm vào tử số 38 đơn vị rồi mới
5
a
rút gọn thì đợc p/s 4 .Tìm p/s b .
3
a
a
b) Cho p/s b nếu rút gọn b thì được p/s 7 .nếu thêm vào tử số 15 đơn vị rồi mới
36
a
rút gọn thì đợc p/s 49 .Tìm p/s b .
a
a
9
c) Cho p/s b nếu rút gọn b thì được p/s 13 .nếu thêm vào tử số 315 đơn vị rồi
27
a
mới rút gọn thì đợc p/s 32 .Tìm p/s b .
3
a
a
d) Cho p/s b nếu rút gọn b thì đợc p/s 7 .nếu thêm vào tử số 70 đơn vị rồi mới
3
a
rút gọn thì đợc p/s 2 .Tìm p/s b

III . Các bài tìm p/s
a)
b)
c)
h)
i)
k)
n)

7
Tìm p/s bằng p/s 10 mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 2004 đơn vị .
5
Tìm p/s bằng p/s 8 mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 810 đơn vị .
11
Tìm p/s bằng p/s 16 mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 915 đơn vị .
63
a
a
a
Cho p/s b có b- a = 25 .P/s b sau khi rút gọn bằng 68 . Tìm p/s b ?
5
a
a
a
Cho p/s b có b- a = 18 .P/s b sau khi rút gọn bằng 7 . Tìm p/s b ?
5
a
a
a
Cho p/s b có b + a = 112 .P/s b sau khi rút gọn bằng 9 . Tìm p/s b ?
4
a
a
a
Cho p/s b có b + a = 143 .P/s b sau khi rút gọn bằng 7 . Tìm p/s b ?

CHUYÊN ĐỀ 4
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG, HIỆU - TỈ

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
1. Ba bạn A, B, C có 84 quyển sách, số sách của A gấp 2 lần của B, số sách của
B gấp 3 lần của C .Tìm số sách của 3 bạn .
2. Ba lớp nhặn đợc 49 kg giấy, lớp 5a nhặt gấp 4 lần 5b, lớp 5c bằng một nửa lớp
5a.Tìm số giấy của mỗi lớp.
3 . Tuổi bà gấp 2 lần tuổi mẹ, tuổi Lan bằng
mẹ và Lan có tổng số tuổi là 42)
1
2 số

1
6 tuổi

mẹ. Tính tuổi mỗi người (biết
1
3 số

4. Số bông hoa của A bằng
bông hoa của B và bằng
bông hoa của C.
Tìm số bông hoa của mỗi người.(biết số bông hoa của A và C là 100 bông)
1
3

5. a) Số cây của 4 bằng
số cây của 4b số cây của 4a gấp 2 lần số cây của
4c.Tìm số cây của mỗi lớp (3 lớp trồng đợc 603 cây)
a

6 Hồng ,Cúc ,.Chúc , Mai góp 28 quyển truyện. Hồng góp
2
3

1
7

số truyện và

bằng
của Cúc . Nếu Trúc góp thêm 1 quyển, Mai bớt đi 1 quyển thì Trúc gấp
2 lần Mai. Tìm số quyển truyện Mỗi bạn .
7 .a) Số ngời học tiếng Nhật bằng
1
3

1
2 số

ngời học tiếng Hoa ,số ngời học tiếng

Hoa bằng
số người học tiếng Anh . Tìm số ngời học mỗi loại .(Tổng số người
học là108)
b) Cuối học kỡ I , ba lớp 5A , 5B và 5C nhận 177 quyển vở để phát thưởng
2
3

3
5

4
7

cho học sinh. Biết số vở lớp 5A bằng số vở lớp 5B và bằng số vở lớp
5C . Hỏi mỗi lớp được nhận bao nhiêu quyển vở ?
c) Bác Thuận , Anh Tuấn và Cụ Yến chia nhau một số tiền thưởng là
3.480.000 đồng . Biết rằng
5
9

3
5

số tiền thưởng của bác Thuận bằng
35
51

4
7

số tiền

thưởng của Anh Tuấn; số tiền thưởng của Anh Tuấn bằng
số tiền thưởng
của Cụ Yến. Hỏi mỗi người được thưởng bao nhiêu tiền ?
*****
8. Tổng của 2 số là 105 .Nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 9 và dư
5 .Tìm 2 số đó.
9. Trong một phép chia có thương là 5 số dư là 12 .Biét tổng của SBC và SC thương số và số dư là 113.Tìm SBC và SC
10. Khi thực hiện một phép chia 2 số tự nhiên thì được thương là 6, dư 51.Tổng
của SBC, SC thương và số dư là 969. Hãy tìm SBC và SC.

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
11. Khi lấy số lớn chia cho số bé ta được thương là 9 dư 5 .Biết tổng của số lớn,
số bé, thương và số dư là 119.Tìm 2 số đó .
*****
12. Hoài và Hiền có tổng số tiền là 57000 đồng để mua sgk.Biết
Hiền bằng

3
5

2
3 số

tiền của

của Hoài .Hỏi mỗi bạn cố bao nhiêu đồng.

13. Lơng Bố hơn lơng Mẹ 60 000 đồng.Biết
Bố .Tính lương Bố và Mẹ .

5
6 lương

3
7 số

3
4 lương

Mẹ bằng

2
5

4
9 số

14 . a) Tổng của 3 số là 935 .biết
thứ nhất bằng
số thứ 2 bằng
thứ
3.Tìm 3 số đó.
b) Cuối học kì I , ba lớp 5A , 5B và 5C nhận 177 quyển vở để phát thưởng
2
3

3
5

cho học sinh. Biết số vở lớp 5A bằng số vở lớp 5B và bằng
5C . Hỏi mỗi lớp được nhận bao nhiêu quyển vở ?

4
7

số vở lớp

15.Tổng số tuổi của Ông ,Bố ,Mẹ tôi là 152 .Đố bạn tính được tuổi mỗi người .
Biết

2
3 tuổi

Mẹ bằng

2
5

tuổi Bố bằng

3
7

tuổi Ông.

4
7 số

16. Hồng và Huệ có tổng số Tiền là 65 000 đồng sau khi Hồng tiêu
1
2 số

tiền

của mình, Huệ tiêu
tiền của mình thì số tiền còn lại của 2 bạn bằng nhau.
Tìm số tiền của mỗi bạn
2
3 tám

4
7 tấm

17 . Hai tấm vải dài 176 m. Sau khi bán đi
vải thứ nhất và
hai thì 2 tấm vải cồn lại bằng nhau.Tìm độ dài 2 tấm vải lúc đầu.
18. Một ngời có 290 kg gạo Nếp và Tẻ sau khi bán
thì số gạo còn lại bằng nhau. Tìm số gạo mỗi loại.
19 .Ba tấm vải Xanh,Trắng, Đỏ dài 108 m. Nếu cắt
Trắng,

1
3

1
3 số

gạo tẻ và

3
7 tấm

2
7 số

vải Xanh,

vải thứ

gạo nếp

1
5 tấm

vải

tấm vải Đỏ thì phần còn lại dài bằng nhau.Tìm chiều dài mỗi tấm.

20. Một giá sách có 2 ngăn, ngăn 1 bằng
ngăn có 64 quyển,Tìm số sách mỗi ngăn.

2
3

ngăn 3, ngăn 2 bằng

3
4

ngăn 1. Cả 3

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
21, Tổng số tuổi của 3 cha con là 85.Tuỏi con gái bằng
bằng

3
4 tuổi

con gái.Tìm tuổi mỗi người.

22. Ba lớp có 115 học sinh, Học sinh lớp 4 bằng
b

4cbằng

3
4 học

8
9 học

2
5 tuổi

sinh lớp 4a , học sinh lớp

sinh lớp 4b.Tìm học sinh mỗi lớp.

23.Trong vờn có 60 cây cam, chanh, bởi Số cây bởi bằng
chanh bằng

4
5 số

cây cam. Tìm số cây mỗi loại.

24. Ba bạn có tất cả 63 bông hoa số hoa của bạn A bằng
hoa của bạn C bằng

7
6

cha, tuổi con trai

3
4 số

cây chanh, số cây

3
4 số

hoa của bạn B, số

số hoa của bạn A. Tìm số hoa của mỗi bạn.

25. Ba trường có 74 học sinh giỏi, học sinh giỏi trường A bằng
5
6 trờng

4
5 học

sinh giỏi

trường B, học sinh giỏi trường C bằng
A. Tìm học sinh giỏi mỗi trường.
*****
26. Một giá sách có 2 ngăn, số sách hiện có ở ngăn dưới gấp 5 lần ngăn trên nếu
chuyển 3 quyển từ ngăn dưới lên ngẳn trênthì số sách ở ngăn dưới gấp 4 lần
ngăn trên.Tìm số sách mỗi ngăn?
27. Trong lớp chỉ có 2 loại học sinh giỏi và khá. Cuối học kì 1 số học sinh giỏi
bằng

2
7 số

học sinh khá. Đến cuối năm 1 học sinh khá vươn lên học sinh giỏi vì

thế số học sinh giỏi

1
bằng 3 số

học sinh khá. Tìm số học sinh khá,giỏi .

1
bằng 5

28. Trong một buổi họp mặt cô giáo nhận thấy rằng số học sinh vắng mặt
số học sinh có mặt ,cô cho một học sinh đi gọi lúc này cô nhận thấy số học sinh
vắng mặt bằng

1
4 số

học sinh có mặt.Tìm số học sinh cả lớp.

29. Tủ sách 5 có 2 ngăn. Số sách ngăn trên bằng
a

3
7 số

sách ngăn dưới. Nếu

chuyển 10 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì ngăn trên bằng
ới.Tìm số sách mỗi ngăn.

1
2 ngăn

dư-

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
30. Lớp Avà B đi lao động số cây lớp A bằng
2
5 số

5
9 số

cây lớp B, nếu chuyển 10 cây

của lớp A sang B thì số cây lớp A bằng
cây lớp B.Tìm số cây mỗi lớp .
*****
31. Năm nay tuổi Hoa gấp 3 lần tuổi em Huệ . Hai năm trớc ,tuổi hoa gấp 5 lần
tuổi em Huệ .Vậy Hoa và Huệ năm nay bao nhiêu tuổi
32. Năm nay tuuôỉ Tuấn gấp 2 lần tuổi Tú . 5 năm nữa tuổi Tú bằng
Tuấn .Tìm tuổi mỗi người.
1
4 tuổi

33. Năm nay , Tôi bằng
Ông .11 năm nữa ,tuổi tôi bằng
năm nay Ông bao nhiêu tuổi .
*****

1
3 tuổi

34.Lớp Avà B nhận bàn chải đánh răng .Sau khi nhận thì thấy rằng
đánh răng của lớp B gấp 3 lần
nhiều hơn
3
5 số

1
3 số

1
3 số

bàn chải của lớp A.

Ông . Vây

3
4 số

bàn chải

bàn chải của lớp B

bàn chải của lớp A 18 bàn chải .Tìm số bàn chải của mỗi lớp .
1
3 số

35.
cây của A hơn
cây của B là 20 cây và
của B 3 lần.Tìm số cây của mỗi lớp .
3
5 số

3
4 số

2
3 tuổi

1
3 số

36.
cây của A hơn
cây của B là 2 lần và
của Blà 54 cây.Tìm số cây của mỗi lớp .
1
4 số

2
3
3 của 5 số

2
3 số

3
3
4 của 4 số

3
5 số

3
5 số

37.
cây của A bằng
là 25 cây .Tìm số cây mỗi bạn.

cây của B và

1
4 số

38.
cây của A bằng
là 42 cây .Tìm số cây mỗi

cây của B và

2
3 số

cây của A gấp

2
3 số

cây

cây của A hơn

2
3 số

cây

cây của Avà

3
5

cây của B

cây của Avà

3
4

cây của B

*****
39. Cho 4 số có tổng là 396. Nếu đem số thứ nhất cộng với 5, đem số thứ Hai
trừ đi 5, đem số thứ ba nhân với 5 , đem số thứ 4 chia cho 5 thì đợc bốn kết quả
bằng nhau .Tìm 4 số đó .
40. Cho 4 số có tổng là 45.Nếu đem số thứ nhất cộng với 2 ,đem số thứ Hai trừ
đi 2 ,đem số thứ ba nhân với 2 ,đem số thứ 4 chia cho 2 thì được bốn kết quả
bằng nhau .Tìm 4 số .

Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5.
41. Khối 5 có 150 học sinh .số học sinh khá bằng
sinh giỏi bằng 60% số học sinh khá.
a) Tìm học sinh đạt loại khá, giỏi ?
b) Tìm học sinh đạt TB và Y.(biết

3
5 học

7
15 số

sinh Y bằng

học sinh của khối ,số học

2
3 học

4
11 số

sinh TB)

42. Bốn bạn có 110 bông hoa .Số hoa của Tú bằng
hoa của bốn bạn, số hoa
của Hải bằng 50% số hoa của Tú.
a) Tìm số hoa của Tú, Hải?
b) Tìm số hoa của Quân và Tuấn .(biết Quân hơn T...