KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2024
ĐỀ THAM KHẢO
Môn: Toán 12
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1.

Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 3.
Câu 2.

B.

Cho hàm số
.

C.

Câu 5.

.

.

.

B.

.

là
.

C.

, cho hai điểm

A.

B.

.

.

D.

Trong không gian

Cho hàm số

D.

B.

Tập nghiệm của phương trình
A.

Câu 4.

C. .

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

Câu 3.

.

.

.

D.

và

.

. Tọa độ của vectơ

C.

.

D.

.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
Câu 6.

A.
.
B.
.
C.
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

.

D.

là

.

A.
Câu 7.

Câu 9.

.

Tập xác định của hàm số
A.

Câu 8.

B.

.

A.
Điểm

A.

.

C.

.

B.

.

D.

.

. Vectơ nào dưới đây là một

C.

, cho mặt cầu

.

.

D.

có tâm

.

và bán kính

. Phương trình

là
.

C.

A.

.

, cho đường thẳng
?

A.

Câu 11. Với

.

.
B.
.
C.
.
D.
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

Câu 10. Trong không gian
của

D.

là
B.

Trong không gian
vectơ chỉ phương của

C.

.
là số thực dương tùy ý,
.

B.

Câu 12. Cho hàm số bậc bốn

B.

.

D.

.

bằng
.

C.

.

D.

.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
.
B.
.
Câu 13. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng
đã cho bằng
A.
.
B.
.
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình
là
A.

.

B.

.

C.
.
và chiều cao bằng
C.

.

Câu 16. Trong không gian

B.

.

D.

C.

Câu 15. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng
A.

.

D.
.
. Thể tích của khối lăng trụ

.

.

D.

.

?
C.

.

D.

, vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

.

A.

.

B.

Câu 17. Cho hàm số
đã cho là
A. .

B.

.

D.

.

C.

Câu 19. Nếu
A. .

D.

.

.

D.

.

C. .

D.

bằng

.

C.

thì

bằng
B.

.

Câu 20. Cho khối chóp có diện tích đáy bằng
bằng
.

.

thì
B.

.

. Số điểm cực trị của hàm số

.

và

A.

C.

có đạo hàm

Câu 18. Nếu
A.

.

B.

và chiều cao bằng

.

Câu 21. Cho hai số phức
và
A.
.
B.
Câu 22. Cho hình nón có bán kính đáy
đây đúng?

C.

.

. Thể tích của khối chóp đã cho

.

D.

.

. Số phức
bằng
.
C.
.
D.
.
, chiều cao
và độ dài đường sinh . Khẳng định nào dưới

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 23. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có
đúng một học sinh ngồi?
A. 600.
B. 120.
C. 3125.
D. 25.
Câu 24. Hàm số

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 25. Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số giao điểm
của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

A. .
B. .
Câu 26. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
đã cho bằng
A.

.

Câu 27. Cho cấp số cộng
A.

.

B.

.

với
B.

C.
và

.

C. .
và diện tích xung quanh bằng

.

D. .
. Chiều cao của hình trụ

D.

.

. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
C.

.

D.

.

Câu 28. Số phức
A.
.

có phần ảo bằng
B.
.

C.

.

D.

.

Câu 29. Cho số phức
, phần thực của số phức
bằng
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Câu 30. Cho hình lập phương
(tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng

A.

.

B.

Câu 31. Cho hình chóp

C.

.

D.

có đáy là hình vuông cạnh bằng

và
A.

.

. Khoảng cách từ điểm

.

B.

.

vuông góc với mặt phẳng

đến mặt phẳng
C.

.

bằng

.

D.

Câu 32. Cho hàm số
có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?

.

. Hàm số đã cho nghịch biến

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 33. Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên
đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ bằng
A.

.

B.

Câu 34. Nếu
A. .

.

C.

thì

Câu 36. Với
A.

B.
.

B.

.

C.

.

B.

Câu 37. Trong không gian
trình là

C.
Câu 38. Trong không gian
và song song với

.

.

D.

.

D.

.

bằng
.

C.

là số thực dương tùy ý,

A.

D.

bằng

Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số
A.

.

.

bằng
.

C.

, mặt cầu có tâm
.

, cho ba điểm
có phương trình là

D.

và đi qua điểm
B.

.

.

D.

.
có phương

.
.
. Đường thẳng đi qua

A.

.

Câu 39. Cho

và

.

C.

.

B.

.

C.

.

.

. Giá

.
C.

.

.

để ứng với mỗi, hàm số

D.

.

sao cho đồ thị hàm số
và

. Gọi

có ba điểm cực trị

là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm

Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
có diện tích bằng
A. 1.

B.

Câu 42. Xét các số phức
của

, tích phân

và

.

và hai đường thẳng
bằng

.

C.

thỏa mãn

và

.

D.

.

là số thuần ảo. Khi

, giá trị

bằng

A.
.
Câu 43. Cho hình lăng trụ
đã cho bằng
A.

.

D.

thuộc đoạn

đồng biến trên khoảng
B. .

Câu 41. Xét
là

D.

bằng

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

A.

.

là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn

trị của
A.

B.

B.

Biết góc giữa

B.

.

, cho ba điểm

là ba điểm phân biệt trên
mặt phẳng

C.

.

có đáy

.

Câu 44. Trong không gian

.

và

C.

D.
.
là tam giác vuông cân tại
bằng

.

sao cho các tiếp diện của

, thể tích của khối lăng trụ

D.

và mặt cầu

,

.
. Biết

tại mỗi điểm đó đều đi qua

. Hỏi

đi qua điểm nào dưới đây?

A.
B.
C.
.
D.
.
Câu 45. Để chế tạo một chi tiết máy, từ một khối thép hình trụ có bán kính
và chiều cao
,
người ta khoét bỏ một rãnh xung quanh rộng
và sâu
(tham khảo hình vẽ bên). Tính
thể tích của chi tiết máy đó, làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.

A.

.

B.

.

Câu 46. Xét các số thực không âm
biểu thức
A. .

.

.
. Khi

thỏa mãn

lớn nhất của

D.

thỏa mãn

đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức
B. .
C.
.

Câu 47. Xét các số phức
A.

C.

bằng
D.

và số phức

.

có phần thực bằng 1. Giá trị

thuộc khoảng nào dưới đây?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 48. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

(phần gạch

chéo trong hình vẽ bên) quanh trục
. Miền
được giới hạn bởi các cạnh
,
của
hình vuông
và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng cm với tâm lần
lượt là trung điểm của các cạnh
,
.

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười
A.

.

B.

Câu 49. Cho hàm số
của tham số

.

C.

.

D.

có đạo hàm

. Có bao nhiêu giá trị nguyên

sao cho ứng với mỗi

cực trị thuộc khoảng
A. .
Câu 50. Trong không gian

, hàm số

?
B. .

C.

, cho hình nón

có đúng hai điểm
.

D.

có đỉnh

. Gọi

xung quanh của

và

với mặt phẳng

. Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng
.

B.

.

.

và

là giao tuyến của mặt
là một điểm di động trên

thuộc khoảng nào dưới đây?
C.

 HẾT 

.

, độ dài đường sinh bằng

đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng

A.

.

D.

.

BẢNG ĐÁP ÁN
1
B
26
A

2
B
27
D

3
A
28
A

4
A
29
A

5
D
30
D

6
C
31
A

7
C
32
D

8
B
33
B

9
B
34
C

10
A
35
C

11
C
36
D

12
C
37
D

13
D
38
C

14
B
39
D

15
D
40
C

16
D
41
A

17
D
42
D

18
B
43
C

19
B
44
A

20
B
45
C

21
D
46
C

22
B
47
C

23
B
48
B

24
D
49
A

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 3.

B.

.

Chọn B
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Câu 2.

Cho hàm số

C. .
Lời giải

D.

.

.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

.

C.

B.
.

.

D.
Lời giải

Chọn B

.

.
Câu 3.

Tập nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là
.

C.
Lời giải

Chọn A
ĐKXĐ:

.

D.

.

Với điều kiện trên ta có
Câu 4.

.

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

.

Trong không gian

. Tọa độ của vectơ

A.

, cho hai điểm

.

B.

Chọn A
Ta có
Câu 5.

.

Cho hàm số

.

và
C.
Lời giải

.

D.

.
có đồ thị là đường cong trong hình bên.

là
.

25
C
50
A

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Từ đồ thị hàm số ta có tiệm cận ngang có phương trình
.
Câu 6.

và tiệm cận đứng có phương trình

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

A.

B.

.
C.
Lời giải

D.

.

Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho là hàm số trùng phương dạng
, loại B, D
nên

Câu 7.

, loại A.

Vậy hàm số đã cho là

.

Tập xác định của hàm số

là

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Hàm số lũy thừa

có mũ

là số không nguyên nên hàm số xác định khi

.
Vậy hàm số có tập xác định là

.

Câu 8.

Trong không gian
vectơ chỉ phương của

, cho đường thẳng
?

A.

B.

.

.

. Vectơ nào dưới đây là một

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B
Câu 9.

Điểm

A.

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Câu 10. Trong không gian
của

, cho mặt cầu

D.

có tâm

và bán kính

.

. Phương trình

là

A.

.

C.

B.

.

là số thực dương tùy ý,

A.

.

.

bằng

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C
Câu 12. Cho hàm số bậc bốn

.

D.
Lời giải

Chọn A
Câu 11. Với

.

.

D.

.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C
Câu 13. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng
đã cho bằng
A.

.

B.

và chiều cao bằng

.

C.
Lời giải

Chọn D
Ta có:

.

Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình

.

là

.

D.

.

. Thể tích của khối lăng trụ
D.

.

A.

.

B.

.

Chọn B

C.
Lời giải

Câu 15. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng
A.

.

B.

.

A.

D.

.

?

C.
Lời giải

Chọn D
Câu 16. Trong không gian

.

.

D.

.

, vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

.

B.

.

Chọn D
Câu 17. Cho hàm số
đã cho là
A. .

C.
Lời giải

.

D.

có đạo hàm
B.

.

. Số điểm cực trị của hàm số

.

C. .
Lời giải

Chọn D
Ta có

D.

.

D.

.

.

Hai nghiệm
đều là các nghiệm đơn.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là .
Câu 18. Nếu
A.

và
.

thì
B.

.

bằng
C. .
Lời giải

Chọn B
Ta có

.

Câu 19. Nếu
A. .

thì

bằng
B.

.

C. .
Lời giải

Chọn B
Ta có

.

.

Câu 20. Cho khối chóp có diện tích đáy bằng
bằng
A.

D.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B
Ta có
Câu 21. Cho hai số phức
A.
.

và chiều cao bằng
.

. Thể tích của khối chóp đã cho
D.

.

.
và
B.

.

. Số phức
C.
Lời giải

bằng
.

D.

.

Chọn D
Ta có
Câu 22. Cho hình nón có bán kính đáy
đây đúng?
A.

.

.
, chiều cao

B.

.

và độ dài đường sinh . Khẳng định nào dưới

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B
Câu 23. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có
đúng một học sinh ngồi?
A. 600.
B. 120.
C. 3125.
D. 25.
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách xếp 5 học sinh ngồi vào dãy gồm 5 chiếc ghế là một hoán vị của 5 phần tử.
Số cách xếp là

.

Câu 24. Hàm số

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.

.

B.

.

Chọn D
Ta có

nên

C.
Lời giải

.

D.

.

.

Câu 25. Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số giao điểm
của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C
Từ đồ thị hàm số, ta thấy số giao điểm của đồ thị với trục tung bằng 1.
Câu 26. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng và diện tích xung quanh bằng . Chiều cao của hình trụ
đã cho bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
S 2 rl  l 

S
S
 h
.
2 r
2 r

Câu 27. Cho cấp số cộng
A.

.

với
B.

và
.

. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

d u2  u1 7  3 4 d u2  u1 7  3 4
Công sai của cấp số cộng:
.
Câu 28. Số phức
có phần ảo bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn A
Số phức

có phần ảo là

Câu 29. Cho số phức
A. .

.

.

, phần thực của số phức
bằng
B. .
C.
.
Lời giải

D.

.

Chọn A
Ta có

. Suy ra phần thực của số phức

Câu 30. Cho hình lập phương
và
bằng

A.

.

bằng

.

(tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D

Ta có

.

Câu 31. Cho hình chóp
và

có đáy là hình vuông cạnh bằng
. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng
bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A

Trong

, gọi

là hình chiếu của

Mặt khác

đến đường thẳng

. Khi đó

.

.

Từ

.

Câu 32. Cho hàm số
có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

Chọn D
Ta xét:
Bảng xét dấu

. Hàm số đã cho nghịch biến
C.
Lời giải

.

D.

.

.
:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Câu 33. Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên
đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ bằng
A.

.

B.

Chọn B

.

C.
Lời giải

.

D.

Không gian mẫu là , ta có:
.
Biến cố
trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ
Khi đó:
Ta có:

trong bốn viên bi được lấy không có viên bi đỏ
, suy ra

.

.

Vậy xác suất của biến cố
Câu 34. Nếu
A. .

là

.

thì

bằng
B.

.

C. .
Lời giải

Chọn C
Ta có:

D.

.

D.

.

.

Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số
A.

.

B.

bằng
.

C. .
Lời giải

Chọn C
TXĐ:

.

.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số
Câu 36. Với

là số thực dương tùy ý,

A.

.

B.

bằng .

bằng
.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
.
Câu 37. Trong không gian
trình là
A.
C.

, mặt cầu có tâm
.

và đi qua điểm
B.

.

có phương
.

D.
Lời giải

.

Chọn D
Bán kính mặt cầu

.

Phương trình mặt cầu có tâm
Câu 38. Trong không gian
và song song với

và bán kính

, cho ba điểm
có phương trình là

là:

.
. Đường thẳng đi qua

A.

.

B.

.

Ta có vec tơ chỉ phương là

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C

Phương trình đường thẳng đi qua

và nhận

là vec tơ chỉ phương là

.
Câu 39. Cho

và

trị của
A.

là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn

. Giá

bằng
.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn D
Ta có

.

Đặt

. Ta có phương trình

.
Vậy

.

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

A.

đồng biến trên khoảng
B. .

.

thuộc đoạn

?
C.
Lời giải

.

để ứng với mỗi, hàm số

D.

.

Chọn C
Điều kiện:
Ta có
Hàm số

.
.
đồng biến trên khoảng

.

Ta có

.
.

Mà

luôn đồng biến trên

.

Do đó

.

Kết hợp hai điều kiện ta được
Vậy có 15 số nguyên
thỏa mãn.

. Vì

Câu 41. Xét

nên

.

sao cho đồ thị hàm số

là

và

. Gọi

có ba điểm cực trị

là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm

Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
có diện tích bằng
A. 1.

B.

, tích phân
.

và

.

và hai đường thẳng
bằng

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
Dễ thấy

có ba nghiệm

Từ đó ta có

suy ra

.

.

Mặt khác, từ giả thiết đồ thị hàm số
và tiếp xúc tại điểm có hoành độ

và

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ

nên

.

Từ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
có diện tích bằng

và hai đường thẳng

ta có phương trình

.
Câu 42. Xét các số phức
của
A.

thỏa mãn

và

là số thuần ảo. Khi

, giá trị

bằng
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
 Đặt
 Ta có:

,

là số thuần ảo
(Ta có thể làm gọn như sau:
là số thuần ảo suy ra

. Biến đổi ta được

)




.
Câu 43. Cho hình lăng trụ
Biết góc giữa

đã cho bằng
A.

có đáy

.

B.

là tam giác vuông cân tại
và

.

bằng

C.
Lời giải

, thể tích của khối lăng trụ

.

D.

.

Chọn C
A'

C'
I
B'

D'

a

a

a

C

A
O
B

Do
Gọi

là tam giác vuông cân tại
là trung điểm của BC

Khi đó hình chiếu vuông góc của
Gọi

sao cho

D

cạnh
là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
lên mặt đáy là điểm

là hình vuông và

là trung điểm của

,

.

.

Do
(so le trong)
Ta có

vuông tại

:

Ta có

vuông cân tại

:

Vậy

.

Câu 44. Trong không gian

, cho ba điểm

là ba điểm phân biệt trên
mặt phẳng

và mặt cầu

sao cho các tiếp diện của

tại mỗi điểm đó đều đi qua

đi qua điểm nào dưới đây?

A.

B.

C.
Lời giải

Chọn A

có tâm
Ta có

. Nên

Do
Nên

. Biết

và bán kính

nằm ngoài mặt cầu.
.

thuộc mặt cầu

tâm

và bán kính

.

D.

.

. Hỏi

Khi đó mặt phẳng

là giao của 2 mặt cầu

Giải hệ:
Ta có

thuộc

vì

.

Câu 45. Để chế tạo một chi tiết máy, từ một khối thép hình trụ có bán kính
và chiều cao
,
người ta khoét bỏ một rãnh xung quanh rộng
và sâu
(tham khảo hình vẽ bên). Tính
thể tích của chi tiết máy đó, làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
Thể tích của cái rãnh bỏ bị khoét bỏ đi là:
Thể tích của chi tiết máy đó là:
Câu 46. Xét các số thực không âm
biểu thức
A. .
Chọn C
Ta có:

.
thỏa mãn

đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức
B. .
C.
.
Lời giải

. Khi
bằng
D.

.

(1)

Xét hàm số

. Ta có:

Suy ra hàm số

.

luôn đồng biến. Do đó, từ (1) suy ra:

.
Biểu thức:

đạt giá trị nhỏ nhất khi

Vậy

thỏa mãn

lớn nhất của

và số phức

có phần thực bằng 1. Giá trị

thuộc khoảng nào dưới đây?

.

B.

Chọn C
Đặt
Ta có:

.

.

Câu 47. Xét các số phức
A.

, suy ra

, suy ra

.

C.
Lời giải
nên

.

D.

.

.

Khi đó:

.

Câu 48. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

(phần gạch

chéo trong hình vẽ bên) quanh trục
. Miền
được giới hạn bởi các cạnh
,
của
hình vuông
và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng cm với tâm lần
lượt là trung điểm của các cạnh
,
.

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B

Chọn

chứa trong trục

Khi đó

và

Khi đó đường tròn tâm
cung tròn

và
với

.
,

lần lượt là trung điểm của

chứa cung tròn

là

là

,

.

và đường tròn tâm

chứa

.

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm
dưới của của đường tròn tâm

là

là

và phương trình cung

.

Khi đó, thể tích vật thể trang trí là

.
Câu 49. Cho hàm số
của tham số

có đạo hàm

. Có bao nhiêu giá trị nguyên

sao cho ứng với mỗi

cực trị thuộc khoảng
A. .

?
B. .

, hàm số
C. .
Lời giải

có đúng hai điểm
D.

.

Chọn A
Ta có

Mặt khác

suy ra

Lại có
Vẽ đồ thị hai hàm số

và

lên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Yêu cầu bài toán tương đương
khoảng

có đúng một nghiệm đơn khác

suy ra

Câu 50. Trong không gian

. Vậy có tất cả
, cho hình nón

giá trị.

có đỉnh

, độ dài đường sinh bằng

đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng

. Gọi

xung quanh của

và

với mặt phẳng

. Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng
A.

.

B.

.

là một điểm di động trên

thuộc khoảng nào dưới đây?

C.
Lời giải

.

D.

lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình nón.

Theo đề bài ta có

và

. Suy ra

Mặt khác
Khi đó giao tuyến

.
là một parabol có đỉnh

(như hình vẽ).

và

là giao tuyến của mặt

Chọn A
Gọi

trong

.

.

Q
A

E
H
M

P

Gọi

là hình chiếu vuông góc của

Và
Đồng thời

K

I

lên

do

B

.
. Ta có:

. Do đó

hay

.

Vì

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng
 HẾT 

thuộc khoảng

.