BÀI 2
CÁC PHÉP ĐỔI LƯỢNG GIÁC

1. Công thức cộng






Chú ý:


2. Công thức góc nhân đôi



Chú ý:
Công thức hạ bậc

Công thức nhân ba

sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31
hoặc: sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô

3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 1




4. Công thức biến đổi tổng thành tích




Chú ý:



DẠNG 1
Trang 2

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Biểu thức

A.

bằng:
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.

Câu 2.
A.

Biểu thức

bằng:
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.

Câu 3.
A.

Giá trị của biểu thức
B.

là:
C.
Lời giải

Chọn D.

Câu 4.

là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Trang 3

D.

Ta có:

là 11 nghiệm của phương trình
Câu 5.

Giá trị của biểu thức:

A. 0

là:

B.

C. 9

D. 8

Lời giải
Chọn B.

Câu 6.
A.

Tính giá trị của biểu thức
.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Vì

nên suy ra

.
.
Câu 7.

Giá trị của biểu thức:

A. 9

B. 8

là:
C. 1
Lời giải

Chọn A.

Cách bấm máy: Nhập vào màn hình biểu thức:
Câu 8.

Rút gọn biểu thức
Trang 4

D. 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

Câu 9.
A.

Tính giá trị của biểu thức
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Ta có

Vậy
Câu 10. Giá trị của biểu thức
A.

B.

là
C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 11. Giá trị đúng của biểu thức
A.

B.

bằng
C.
Lời giải

Chọn C.
Trang 5

D.

Ta có

.

Câu 12. Giá trị của biểu thức
A.

là
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Áp dụng công thức

Câu 13. Cho góc

ta có

thỏa mãn

A.

Tính

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

Suy ra

Câu 14. Cho góc

thỏa mãn

A.

và

B.

. Tính
C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

.

Từ hệ thức
Do

, suy ra
nên ta chọn

.
.

Trang 6

Thay

và

vào

Câu 15. Biết

, ta được

và

A.

.
. Tính

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

.

Từ hệ thức
Do

, suy ra
nên ta chọn

.
.

Suy ra
Câu 16. Cho góc
A.

.
thỏa mãn
B.

Tính
C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có
Suy ra
Câu 17. Cho
A.

. Khi đó biểu thức

là:

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.

Câu 18. Tính giá trị biểu thức

biết

Trang 7

.

A.

B. 1

C.

D.

Lời giải
Chọn D.

Câu 19. Cho góc

thỏa mãn

A.

và

. Tính

B.

.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

.

Từ hệ thức
Do

, suy ra
nên ta chọn

Thay
Câu 20. Cho góc

và

.
vào

thỏa mãn

A.

.

, ta được

.

và

. Tính

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

.

Từ hệ thức
Do

Thay

, suy ra
nên ta chọn

và

.
.

vào

, ta được

Trang 8

.

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước

Câu 21. Cho góc
A.

thỏa mãn

và

. Tính

B.

.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có

.

Từ hệ thức

, suy ra

.

Do

nên ta chọn

. Suy ra

Thay

vào

.

Câu 22. Cho góc
A.

, ta được

.

thỏa mãn

. Tính

B.

C.

.
D.

Lời giải
Chọn C.

Ta có

.

Từ giả thiết
Thay

.
vào

, ta được
Trang 9

Câu 23. Cho góc

thỏa mãn

A.

và

. Tính

B.

.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

.

Từ hệ thức
Vì

,

.
cùng dấu và

Do đó ta chọn

Thay

nên

.

. Suy ra

và

Câu 24. Cho góc

vào
thỏa mãn

A.

.

, ta được
và

. Tính

B.

C.

.
D.

Lời giải
Chọn C.
Với

suy ra

.

Ta có

.

Từ hệ thức

, suy ra

(do

Vậy
Câu 25. Cho
A.

).
.

và thỏa mãn
B.

,

. Góc
C.

Lời giải
Trang 10

có giá trị bằng
D.

Chọn B.

Ta có

Câu 26. Cho

suy ra

là các góc nhọn và dương thỏa mãn

A.

B.

Tổng

C.

D.

Lời giải
Chọn B.

Ta có

Mặt khác

suy ra

Câu 27. Nếu

là ba góc nhọn thỏa mãn

A.

Do đó

B.

thì
C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

Vậy tổng ba góc
Câu 28. Tính
A.

(vì

là ba góc nhọn).

biết:
B.

C.
Lời giải

Chọn B.
Ta có:

Trang 11

D.

bằng

Câu 29. Cho
A. 1

. Khi đó giá trị

là:

B.

C.

D. 3

Lời giải
Chọn D.
Ta có:

Câu 30. Giả sử
A.

với

. Khi đó tổng

B.

bằng:

C. 1

D.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

Câu 31. Nếu
A.

thì giá trị đúng của
B.

C.
Trang 12

là
D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có
Câu 32. Nếu

với

thì

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Ta có

Câu 33. Nếu

và

A.

B.

thì

bằng

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết, ta có
Suy ra

Mặt khác

Câu 34. Nếu

nên suy ra

và

là hai nghiệm của phương trình

thì

bằng
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn A.
Trang 13

D.

Vì

là hai nghiệm của phương trình

nên theo định lí Viet, ta có

Khi đó
Câu 35. Nếu

và

là hai nghiệm của phương trình

thức

thì giá trị biểu
bằng:

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Vì

là hai nghiệm của phương trình

nên theo định lí Viet, ta có

Khi đó

Câu 36. Thu gọn biểu thức:
A.

với
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.

Câu 37. Rút gọn
A.

B.

C.
Lời giải

Chọn B.
Trang 14

D.

Áp dụng công thức

, ta được

Câu 38. Rút gọn biểu thức
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn D.
Vì hai góc

và

phụ nhau nên

Suy ra

Câu 39. Rút gọn biểu thức

.

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn C.
Ta có
Câu 40. Rút gọn
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức

, ta được

Câu 41. Rút gọn
A.

B.

C.
Trang 15

D.

Lời giải
Chọn B.
Áp dụng công thức

, ta được

Câu 42. Rút gọn
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức

, ta được

Câu 43. Giá trị nào sau đây của
A.

thỏa mãn

B.

?
C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức

, ta được

Câu 44. Gọi
A.

thì
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có
.
Câu 45. Gọi

thì

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Trang 16

Ta có:
.
Câu 46. Rút gọn biểu thức
A.

.

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Ta có
.
Câu 47. Thu gọn biểu thức
A.

ta được:
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.

Câu 48. Rút gọn biểu thức
A.

.
B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 49. Rút gọn biểu thức
A.

.
B.

C.
Lời giải

Chọn D.
Ta có

Câu 50. Nếu

thì khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 17

D.

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Ta có

.
.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 51. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG
Trang 18

Lý thuyết
a)
b)
c)
d)
Câu 52. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

Áp dụng công thức

ta được :

Áp dụng công thức

ta được :

Câu 53. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

Áp dụng công thức

, ta được
.

Câu 54. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
Trang 19

a)

b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a)

b)

c)
d)
Câu 55. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a)

b)
Trang 20

c)
d)
Câu 56. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

a)
b)
c)
d)
Câu 57. Công thức nào sau đây đúng?
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

Lý thuyết
Trang 21

Câu 58. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI
.

c)

d)
Câu 59. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

b)

c)
d)

Trang 22

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

SAI

SAI

Lý thuyết
Câu 60. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

SAI

SAI

.
.
Câu 61. Cho

là hai góc nhọn và

.

a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG
Trang 23

Vì

nên suy ra

Khi đó

Vậy

Câu 62. Cho

.

a)

b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

Ta có
Tương tự, có

Câu 63. Cho

với

suy ra
với

suy ra

và

.

a)
Trang 24

b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

ĐÚNG

Ta có

suy ra

Lại có

vì

Mặt khác
Khi đó
Câu 64. Cho

.

a)
b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có
Trang 25

Khi đó

vì

Vậy giá trị của biểu thức
Câu 65. Cho góc

thỏa mãn

và

.

a)
b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

Đặt

Với

Vì

nên ta chọn

Từ hệ thức
Vì
Ta có

.
, suy ra

nên ta chọn

.
.

Với

.
Trang 26

Khi đó

, suy ra

Thay

vào

Câu 66. Cho góc

.

, ta được

. Suy ra

thỏa mãn

.

và

.

a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

Vì

suy ra

Vì

suy ra

nên

.

Ta có

.

Suy ra
Do

.
nên

.

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 27

+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 67. Biết
a)

Hãy tính
.

b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

ĐÚNG

Ta có

mà

Tương tự, ta có

mà

Khi đó :

Câu 68. Cho hai góc nhọn

và biết rằng

a)
b)
c)
Trang 28

d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

SAI

Vì

là góc nhọn nên

Vì

là góc nhọn nên

Câu 69. Cho

.

a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có

.
.
Trang 29

Câu 70. Hãy nhận định các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Cho góc

thỏa mãn

và

, ta có

b) Cho góc

thỏa mãn

, ta có

.
.

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Ta có

.

Từ hệ thức
Do

, suy ra

.

nên ta chọn

b) Áp dụng

.

Ta có

.

c)

Ta có

.

Do đó
d) Ta có

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 30

+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Câu 71. Tính giá trị

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Câu 72. Tính giá trị của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức nhân đôi

.

Ta có

.
.

Câu 73. Tính giá trị của biểu thức

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức

Khi đó

Trang 31

Và
Vậy

Câu 74. Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

.

Từ hệ thức
Do
Thay

, suy ra
nên ta chọn
và

.
.

vào

, ta được

Câu 75. Tính giá trị của biểu thức

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

và

.

Do đó

Câu 76. Tính giá trị của biểu thức
Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức
Ta có

Trang 32

Vậy giá trị biểu thức
Câu 77. Cho góc

.
thỏa mãn

và

Tính

Trả lời: ………………..
Lời giải

Ta có

Từ hệ thức

.

Do

nên ta chọn

Câu 78. Cho góc

thỏa mãn

Tính

Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức

, ta được

Ta có
Thay vào

, ta được

Câu 79. Cho góc

thỏa mãn

. Tính

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Thay
Câu 80. Cho góc

.
vào

, ta được

thỏa mãn

.
và

. Tính

Trả lời: ………………..
Trang 33

.

Lời giải
Ta có

.

Từ hệ thức

, suy ra

Do

.

nên ta chọn

Thay

và

Câu 81. Cho góc

vào
thỏa mãn

.

, ta được

.

. Tính

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

.

Nhắc lại công thức: Nếu đặt
Do đó

thì

và

,

Thay

và

Câu 82. Cho

.
.

vào

, ta được

.

. Tính giá trị:

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Câu 83. Nếu

;

là hai nghiệm của phương trình

là hai nghiệm của phương trình

, tính tích

Trả lời: ………………..
Lời giải
Theo định lí Viet, ta có

và

Khi đó
Trang 34

. Và
theo

.

;

Vậy
Câu 84. Tính

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Sử dụng công thức:
(công thức tính theo

)

Khi đó:

Câu 85. Rút gọn biểu thức

ta được dạng:

. Tính giá trị

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:
Câu 86. Rút

.
gọn

biểu

thức

ta

. Tính giá trị

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:

Vậy

Trang 35

được

dạng:

Câu 87. Rút gọn biểu thức
. Tính giá trị

ta được dạng:

. với

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

.

Do đó:

Vậy
Câu 88. Rút

gọn

biểu

thức

ta
, với

. Tính giá trị

được

dạng:

, với

.

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

Do đó

Câu 89. Rút gọn biểu thức

Tính giá trị

ta được dạng:

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Ta có

Trang 36

Suy ra

.

Do đó
Câu 90. Cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm (hình vẽ).
Tính 

và 

, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng

phần mười.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có AH = 120. Suy ra R = 120 : 2 = 60 (cm)

Do

nên

Câu 91. Trong hình vẽ bên dưới, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh
quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là 
OM) là 

.

Trang 37

 và số đo góc (OA,

a) Tính 

 và 

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so
với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Trả lời: ………………..
Lời giải
a)

b)
Câu 92. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm
bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất,
cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (hình vẽ). Hãy tính số đo góc ACB
(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là
CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ). 

Trả lời: ………………..
Lời giải

Trang 38

Gọi D, E nằm trên đường thẳng CK sao cho BD, AE ∥ HK. 
Từ hình vẽ, ta có: 
Ta có: 
Áp dụng công thức 
Suy ra: 
Câu 93. Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là
bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí

. Gọi

. Để đảm
lần lượt là vị trí thấp

nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (tham khảo hình vẽ). Hãy tính số
đo góc

(phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung

cư thứ hai là

,

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Trang 39

Câu 94. Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác
cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất
tại một vị trí cách chân cột 15 m (hình vẽ).

a) Tính 

, ở đó 

 là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc 

 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ). 

Trả lời: ………………..
Lời giải
a) Gọi 

 là góc tạo thành của sợi cáp R với mặt đất;   là góc tạo thành của sợi cáp S với mặt đất.

Do đó: 
Áp dụng công thức 

Ta có: 

b) Ta có: 
Câu 95. Trong vẽ bên dưới, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ
điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn CADˆ=30o. Tính tanBADˆ, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 40

Ta có: 

Áp dụng công thức 
Ta có: 

DẠNG 2
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 11 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS có lời
giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình biên
soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8, 9 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Cho

có

và

. Khi đó giá trị
Trang 41

là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.

(loại TH
Câu 2.

vì
Cho

mà

nên không thỏa mãn)

là các góc của tam giác

. Khi đó

tương

đương với:
A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B.
Do
Áp dụng, ta được

.

Câu 3.

Cho

có

. Khi đó

là:

A. tam giác vuông

B. tam giác cân

C. tam giác nhọn

D. tam giác tù
Lời giải

Chọn A.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Trang 42

Khi đó thay vào đẳng thức đã cho ta được:

vuông tại A.
Câu 4.

Cho

là các góc của tam giác

(không phải tam giác vuông). Khi đó

tương đương với :
A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn D.
Ta có

.

Mà

. Khi đó, ta được

Câu 5.

có

. Khi đó

là tam giác nào sau đây?

A. tam giác cân

B. tam giác vuông

C. tam giác đều

D. tam giác tù
Lời giải
Trang 43

Chọn C.
Dễ thấy nếu
Xét

thì đẳng thức đã cho đúng

loại B và D.

cân:

+ Tại

đều.
+ Tại
Giả sử
Thử máy tính thấy không thỏa mãn.
Nếu

thì thỏa mãn

đều.

+ Tại

đều.

Vậy

đều.

Câu 6. Cho

là các góc của tam giác

.

Khi đó

tương đương với:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác.
Lời giải

Chọn A.
Do

.
Câu 7.

Trong

, nếu

thì

là tam giác có tính chất nào sau đây?
Trang 44

A. Cân tại

B. Cân tại

C. Cân tại

D. Vuông tại

Lời giải
Chọn A.
Ta có
Mặt khác

. Do đó, ta được
.

Câu 8.

Cho

có:

. Khi đó

A. tam giác vuông

B. tam giác cân

C. tam giác nhọn

D. tam giác tù

là:

Lời giải
Chọn B.

Ta có:

cân tại C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 9. Tam giác

có

và

.

a)
b)
c)
d)
Trang 45

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

là ba góc tam giác nên
Ta có

Mà

, do đó

Câu 10. Cho

là ba góc nhọn của tam giác
.

a)

b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có

Trang 46

và đồng thời thỏa mãn

.

Câu 11. Cho

là các góc của tam giác

.

a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

Do

.

Áp dụng, ta được

Câu 12. Cho
a)

đều.

b)

cân tại

c)

vuông tại

có

. Khi đó xác định dạng của

.
.
Trang 47

. Chọn câu trả lời đúng nhất.

d)

vuông cân tại

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

(vì

Suy ra,

cân tại A hoặc

)

vuông tại A.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất

của biểu thức

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

Câu 14. Cho biểu thức

. Giá trị

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 48

nằm trong đoạn nào?

Ta có

Câu 15. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

lần lượt là a, b. Khi đó tích

a.b bằng bao nhiêu?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có:

Câu 16. Biểu thức

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Áp dụng công thức

, ta có

Ta có
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất

của biểu thức

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Do
Câu 18. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tính
Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Trang 49

.

Câu 19. Cho biểu thức

. Giá trị

nằm trong đoạn nào?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

Mà
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất

của biểu thức

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có
Mà
Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất

của biểu thức

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

Mà
Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất

của biểu thức

Trả lời: ………………..
Lời giải
Ta có

Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

Trả lời: ………………..
Trang 50