thuvienhoclieu.com
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I-NĂM HỌC 2024-2025
MÔN: TOÁN 11

thuvienhoclieu.com

ĐỀ 1

☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,
thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Câu 1: Cho góc lượng giác

có số đo là

. Các góc lượng giác sau đây có cùng tia đầu

,

hỏi góc nào có tia cuối
A.

B.

Câu 2: Cho góc lượng giác

có số đo

góc lượng giác

C.

D.

, góc lượng giác

có số đo

C.

D.

.

là

A.
B.
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số

là hàm số lẻ.

B. Hàm số

là hàm số lẻ.

C. Hàm số

là hàm số lẻ.

D. Hàm số

là hàm số lẻ.

Câu 4: Cung có số đo
A.

thì có số đo theo đơn vị là radian là

.

B.

.

Câu 5: Tập xác định của hàm số

C.

D.

.

là

A.

.

C.

B.

.

D.

Câu 6: Nghiệm của phương trình

.
.

là

A.

hoặc

.

B.

hoặc

.

C.

.

hoặc

x 


 k 2 , k  
4
.

D.
hoặc
.
Câu 7: Dãy số nào trong các dãy số dưới đây là dãy số giảm?

thuvienhoclieu.com

Trang 1

Số đo của

thuvienhoclieu.com
A.

với

.

B.

với

.

C.

với

.

D.

với

.
Câu 8: Dãy số nào trong các dãy số dưới đây là một cấp số cộng?
A.

.

B.

Câu 9: Cho cấp số cộng
là

có

A.
Câu 10: Cho dãy số

,

C.

.

. Tổng của

B.

D.

với mọi

.

số hạng đầu tiên của cấp số cộng này

C.

thỏa

A.
Câu 11:

.

D.

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B.

C.

D.

B.

C.

D.

bằng
A.

Câu 12: Cho hàm số

. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hàm số liên tục tại

.

B. Hàm số gián đoạn tại

C.

D.

.

.

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13: Cho hàm số
a) Hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
có tập xác định là

b) Chu kỳ của hàm số

là

.
.

c) Hàm số

không chẵn, không lẻ.

d) Hàm số

nghịch biến trên khoảng

Câu 14: Phương trình

với

?

.

a) Tập nghiệm của phương trình là

.

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

.

c) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
d) Tổng các nghiệm thuộc đoạn

của phương trình bằng

thuvienhoclieu.com

.
.
Trang 2

thuvienhoclieu.com
Câu 15: Cho cấp số cộng

biết

với

.

c) Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho

.

a) Số hạng thứ hai của cấp số cộng là
b) Công sai của cấp số cộng

.

d) Tổng các số hạng từ số hạng thứ

đến số hạng thứ

của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 16: Cho hàm số
a)
b)
c) Hàm số liên tục tại

d)
☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22

Câu 17: Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
?
Câu 18: Số giờ có ánh sáng của một thành phố trong ngày thứ của một năm không nhuận được cho
bởi hàm số:
,
và
. Vào ngày thứ mấy trong
năm thì thành phố đó có nhiều giờ ánh sáng nhất?
Câu 19: Công ty
muốn thuê một mảnh đất trong vòng 15 năm để làm nhà kho. Có hai công ty môi
giới bất động sản

và bất động sản

đều muốn cho thuê. Mỗi công ty, đưa ra phương án

cho thuê như sau:
Phương án công ty
trả tiền theo quý, quý đầu tiên là 10 triệu đồng và từ quý thứ hai trở đi
mỗi quý tăng thêm 500.000 đồng.
Phương án công ty
trả tiền theo năm, năm đầu tiên thuê đất là 70 triệu và kể từ năm thứ hai
trở đi mỗi năm tăng thêm 3 triệu đồng.
Hỏi công ty
nên lựa chọn thuê đất của công ty môi giới bất động sản nào để chi phí là thấp
nhất và số tiền đó bằng bao nhiêu triệu đồng?
Vậy cô ty A nên thuê theo phương án của cô ty C và số tiền phải trả là 1365 (triệu đồng).
Câu 20: Trên một bàn cờ vua như hình. Các quân cờ Tốt, Mã, Tịnh, Xe, Hậu được tính điểm lần lượt là:
1, 3, 3, 5, 9. Giả sử quân Tốt trắng đang ở vị trí
và muốn được phong cấp Hậu ở vị trí
thì Tốt trắng (đi theo đường thẳng và ăn theo đường chéo) sẽ ăn các quân cờ có số điểm theo
thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tổng tất cả các số điểm của quân Tốt trắng ăn được bằng
bao nhiêu?

thuvienhoclieu.com

Trang 3

thuvienhoclieu.com

Câu 21: Cho tam giác

vuông tại

và

. Lần lượt hạ các đường vuông góc
. Tiếp tục quá trình này, ta nhận được

đường gấp khúc
. Tính độ dài đường gấp khúc này (làm tròn đến chữ số thập phân
thứ hai).
Câu 22: Trong hồ có chứa 2000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 40,5 gam/lít
vào hồ với tốc độ là 15 lít/phút. Hỏi nồng độ muối trong hồ sau khi bơm thời gian t phút là
bao nhiêu nếu
?
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN GIẢI
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Câu 1: Cho góc lượng giác

có số đo là

. Các góc lượng giác sau đây có cùng tia đầu

,

hỏi góc nào có tia cuối
A.

C.
D.
Lời giải
Hai góc có cùng tia đầu và tia cuối khi số đo của chúng chênh lệch nhau một bội số nguyên
lần 2π.
Ta thấy

B.

.

Do đó chọn đáp án D

Câu 2: Cho góc lượng giác

có số đo

góc lượng giác

là

A.

B.

Ta có sđ
= sđ
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây là sai?

, góc lượng giác

C.
Lời giải
- sđ

+

có số đo

D.

=

thuvienhoclieu.com

Trang 4

.

Số đo của

A. Hàm số

thuvienhoclieu.com
là hàm số lẻ.

B. Hàm số

là hàm số lẻ.C. Hàm số

D. Hàm số

là hàm số lẻ.

là hàm số lẻ.

Lời giải
Ta có hàm số
Câu 4: Cung có số đo
A.

là hàm số chẵn.
thì có số đo theo đơn vị là radian là

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có
Câu 5: Tập xác định của hàm số

là

A.

.

B.

.

D.
Lời giải

Điều kiện:
.

Câu 6: Nghiệm của phương trình

là
hoặc

B.
x 

.

.

Tập xác định

A.

.C.

.
hoặc

.C.

hoặc


 k 2 , k  
4
.

D.

hoặc

.
Lời giải

Ta có:

Câu 7: Dãy số nào trong các dãy số dưới đây là dãy số giảm?

thuvienhoclieu.com

Trang 5

thuvienhoclieu.com
A.

với

.

B.

với

.

C.

với

.

D.

với

.
Lời giải
Xét

với

Ta có:

. Vậy

Xét

là dãy số tăng.

với

Ta có:

. Vậy

Xét

là dãy số giảm.

với

Ta có:

. Vậy

Xét

là dãy số tăng.

với

Ta có:
. Vậy
Câu 8: Dãy số nào trong các dãy số dưới đây là một cấp số cộng?
A.

.

B.

Dãy số:

có

Dãy số:

,

. Tổng của

B.

.

số hạng đầu tiên của cấp số cộng này

C.
Lời giải

D.

lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Ta có:

.

Vậy

A.

.

nên không phải là một cấp số.

có

A.

D.

nên không phải là một cấp số.

có

Câu 9: Cho cấp số cộng
là

Câu 10: Cho dãy số

.

nên không phải là một cấp số.

có

Dãy số:

,

C.
Lời giải

là một cấp số cộng với công sai

Dãy số:

Gọi

.

là dãy số tăng.

.
thỏa

với mọi
B.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
C.
Lời giải

thuvienhoclieu.com

D.

Trang 6

thuvienhoclieu.com
với mọi

Ta có

và

.
Câu 11:

bằng
A.

B.

C.
Lời giải

Ta có

.

Câu 12: Cho hàm số

. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hàm số liên tục tại
B. Hàm số gián đoạn tại
D.

D.

.
.C.

.
Lời giải

Tập xác định:

Vậy hàm số liên tục tại

.

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai.

Câu 13: Cho hàm số
a) Hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
có tập xác định là

b) Chu kỳ của hàm số

là

.
.

c) Hàm số

không chẵn, không lẻ.

d) Hàm số

nghịch biến trên khoảng

với

?

Lời giải
Câu 13

a) Đúng

b) Sai

thuvienhoclieu.com

c) Sai

d) Đúng

Trang 7

thuvienhoclieu.com
a) Hàm số
định là .

luôn xác định

b) Ta có

nên hàm số

có tập xác

là hàm số tuần hoàn với chu kì
.

c) Ta có

và

nên hàm số

là hàm số chẵn.
d) Hàm số

nghịch biến khi

Câu 14: Phương trình

.

.

a) Tập nghiệm của phương trình là

.

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

.

c) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
d) Tổng các nghiệm thuộc đoạn

Câu 14

a) Đúng

.

của phương trình bằng
Lời giải
b) Đúng

.

c) Sai

d) Đúng

* Phương án a) Đúng

Ta có:

.

Nên
* Phương án b) Đúng
Với
Với

.

thì nghiệm dương nhỏ nhất là

.

thì nghiệm dương nhỏ nhất là

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
* Phương án c) Sai:
Ta có:

.
.

.
thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com
Nên
Do
nên phương trình đã cho không tương đương với phương trình:
* Phương án d) Đúng
Với

, các nghiệm thuộc đoạn

Với

.

là

.

.

Các nghiệm thuộc đoạn

là:

Tổng các nghiệm thuộc đoạn

.
của phương trình là:
.

Câu 15: Cho cấp số cộng

biết

với

.

c) Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho

.

a) Số hạng thứ hai của cấp số cộng là
b) Công sai của cấp số cộng

.

d) Tổng các số hạng từ số hạng thứ

đến số hạng thứ

của cấp số cộng đã cho bằng

Lời giải
a) Đúng.
b) Đúng.
c) Sai.
d) Đúng.

Vậy

Câu 16: Cho hàm số
a)
thuvienhoclieu.com

Trang 9

thuvienhoclieu.com
b)
c) Hàm số liên tục tại

d)
Lời giải
a) Đúng.
Với
b) Sai.

thì

suy ra

c) Sai.
d) Đúng.

☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn.

Câu 17: Phương trình

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
Lời giải

?

Đáp số: 3867

Ta có:

.
nên
Vì

.
Vậy phương trình đã cho có 3867 nghiệm thuộc khoảng.

thuvienhoclieu.com

Trang 10

thuvienhoclieu.com
Câu 18: Số giờ có ánh sáng của một thành phố trong ngày thứ của một năm không nhuận được cho
bởi hàm số:
,
và
năm thì thành phố đó có nhiều giờ ánh sáng nhất?
Lời giải
Đáp số: 171

. Vào ngày thứ mấy trong

Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi
.
Mặt khác
Mà

nên
nên

Vậy
Câu 19: Công ty

.

.

.
muốn thuê một mảnh đất trong vòng 15 năm để làm nhà kho. Có hai công ty môi

giới bất động sản

và bất động sản

đều muốn cho thuê. Mỗi công ty, đưa ra phương án

cho thuê như sau:
Phương án công ty
trả tiền theo quý, quý đầu tiên là 10 triệu đồng và từ quý thứ hai trở đi
mỗi quý tăng thêm 500.000 đồng.
Phương án công ty
trả tiền theo năm, năm đầu tiên thuê đất là 70 triệu và kể từ năm thứ hai
trở đi mỗi năm tăng thêm 3 triệu đồng.
Hỏi công ty
nên lựa chọn thuê đất của công ty môi giới bất động sản nào để chi phí là thấp
nhất và số tiền đó bằng bao nhiêu triệu đồng?
Lời giải
Đáp số:
Gọi  ,
 lần lượt là số tiền công ty
Theo bài ra, ta có:
+ 

là tổng 

cần trả theo cách tính của hai công ty 

số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với 

và

 triệu đồng và công sai

triệu đồng.
+
là tổng  số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với 
 triệu đồng, công sai
triệu đồng.
Khi đó:
Nếu thuê đất của công ty  trong vòng 15 năm bằng 60 quý thì số tiền công ty A phải trả là:
(triệu đồng).
Nếu thuê đất của công ty

 trong vòng 15 năm thì số tiền công ty A phải trả là:

(triệu đồng).
Vậy cô ty A nên thuê theo phương án của cô ty C và số tiền phải trả là 1365 (triệu đồng).
thuvienhoclieu.com

Trang 11

thuvienhoclieu.com
Câu 20: Trên một bàn cờ vua như hình. Các quân cờ Tốt, Mã, Tịnh, Xe, Hậu được tính điểm lần lượt là:
1, 3, 3, 5, 9. Giả sử quân Tốt trắng đang ở vị trí
và muốn được phong cấp Hậu ở vị trí
thì Tốt trắng (đi theo đường thẳng và ăn theo đường chéo) sẽ ăn các quân cờ có số điểm theo
thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tổng tất cả các số điểm của quân Tốt trắng ăn được bằng
bao nhiêu?

Lời giải
Đáp số: 13
Quân Tốt trắng đang ở vị trí

và muốn được phong cấp Hậu ở vị trí

ăn quân đen theo sơ đồ
+ Ở vị trí
ở hàng 8).

thì Tốt trắng buộc

.

có thể là các quân đen: Mã, Tịnh, Xe hoặc Hậu (Tốt đen đứng không được đứng

+ Các số điểm mà quân Tốt trắng ăn được theo thứ tự lập thành 1 CSN
cần tìm. Vậy tổng số điểm mà quân Tốt trắng ăn được là :
Câu 21: Cho tam giác

vuông tại

và

là 3 số hạng
.

. Lần lượt hạ các đường vuông góc
. Tiếp tục quá trình này, ta nhận được

đường gấp khúc
thứ hai).

. Tính độ dài đường gấp khúc này (làm tròn đến chữ số thập phân
Lời giải

Đáp án: 4,83.

thuvienhoclieu.com

Trang 12

thuvienhoclieu.com

Các góc

đều bằng góc

nên đều có đo là

.

;

;

;…
Vậy độ dài các đoạn thẳng
đầu bằng

tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng

với công bội bằng

.

Vậy độ dài đường gấp khúc
là:
.
Câu 22: Trong hồ có chứa 2000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 40,5 gam/lít
vào hồ với tốc độ là 15 lít/phút. Hỏi nồng độ muối trong hồ sau khi bơm thời gian t phút là
bao nhiêu nếu
?
Lời giải
Đáp án: 40,5.
Lượng nước biển mà người ta bơm vào trong khoảng thời gian t phút là:
Lúc này lượng muối bơm vào là:

(lít).

(gam).

Nồng độ muối trong hồ lúc này là:
.
Khi
, nồng độ muối trong hồ lúc này là:

(gam/lít)
thuvienhoclieu.com

Trang 13

thuvienhoclieu.com

ĐỀ 2

thuvienhoclieu.com
-----------------------------HẾT-------------------------------ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I-NĂM HỌC 2024-2025
MÔN: TOÁN 11

☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,
thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Câu 1: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?
A.

.

Câu 2: Cho đồ thị hàm số

B.

.C.

trên đoạn

.

D.

.

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến khoảng

.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên

.C. Hàm số đã cho đồng biến trên

.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên
Câu 3: Rút gọn biểu thức
A.

.

Câu 4: Cho cấp số cộng
A.

ta được

.

B. .
có

,

.

.

D.

.

C.

.

.
là

D.

.

. Tổng của 23 số hạng đầu tiên là
B.

Câu 6: Tập giá trị của hàm số
A.

.

. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

B.

Câu 5: Cho cấp số cộng có
A.

C.

.

C.

.

D.

.

là
B.

.

C.

Câu 7: Tập nào sau đây là tập nghiệm của phương trình

.

D.

.

?

A.
B.

C.
thuvienhoclieu.com

Trang 14

thuvienhoclieu.com
D.
Câu 8: Hàm số

xác định trên tập hợp

là một dãy số hữu hạn. Số hạng

đầu và số hạng cuối của dãy số đó là
A.

.

Câu 9: Trong các dãy số
A.

B.

B.

Câu 10: Cho cấp số nhân
.

.

có

.

.

.

. Tính tổng

B.

.

D.

.

D.

.

số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

C.

.

D.

.

bằng
B.

.

Câu 12: Cho các giới hạn:
A.

.

C.

và

Câu 11: Giới hạn
A.

C.

sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?

.

A.

.

C.
;

B.

.

, hỏi

.

C.

D.

.

bằng
.

D.

.

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13: Cho các hàm số

;, khi đó:

a) Hàm số

có tập xác định là:

.

b) Hàm số

đã cho là hàm tuần hoàn.

c) Hàm số

đã cho là hàm số chẵn.

d) Hàm số

có giá trị lớn nhất bằng

Câu 14: Cho hàm số

, khi đó:

.

.
a) Hàm số có tập xác định
b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

.

c) Tập giá trị của hàm số là
d) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
thuvienhoclieu.com

Trang 15

thuvienhoclieu.com
Câu 15: Cho cấp số nhân

với công bội

và

. Khi đó:

a) Số hạng đầu
b) Số hạng
c)

là số hạng thứ 8

d) Cấp số nhân có công bội

Câu 16: Cho hàm số

. Khi đó:

a) Giới hạn
b) Giới hạn

.

c) Giới hạn
d) Hàm số tồn tại giới hạn khi
☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22

Câu 17: Tìm số nghiệm thuộc đoạn

của phương trình

.

Câu 18: Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

Ở đây, thời gian

tính bằng giây và quãng đường

khoảng thời gian từ

tính bằng centimét. Hãy cho biết trong

đến 16 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Câu 19: An định xếp một hình tháp bởi các mảnh ghép tam giác ( hình vẽ minh họa). Tầng dưới cùng
An xếp 35 hình và tầng tiếp theo ít hơn tầng dưới nó hai hình. An xếp cho đến khi không xếp
lên được nữa. Hỏi An cần bao nhiêu mảnh ghép hình tam giác để xếp xong tháp?

thuvienhoclieu.com

Trang 16

thuvienhoclieu.com

Câu 20: Cho hình vuông
theo thứ tự của

có cạnh bằng
cạnh

,

,

và có diện tích
,

. Nối

trung điểm

,

,

ta được hình vuông thứ hai có diện tích

tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là

có diện tích

như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích

,

,…,

,
. Tiếp

, …và cứ tiếp tục làm
. Tính tổng

.
Câu 21: Cho hình vuông

có độ dài bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông

, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông
thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông.
Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 22: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất
số:

sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm

. Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung

bình chỉ tối đa là bao nhiêu nghìn đồng?
ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN GIẢI
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Câu 1: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau?
thuvienhoclieu.com

Trang 17

thuvienhoclieu.com
A.

.

B.

.C.

.

D.

.

Lời giải
Phát biểu đúng

.

Câu 2: Cho đồ thị hàm số

trên đoạn

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến khoảng

.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên

.C. Hàm số đã cho đồng biến trên

.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên
Lời giải
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

và

.

Câu 3: Rút gọn biểu thức
A.

ta được

.

B. .

C.

.

D.

.

Lời giải
Ta có

Câu 4: Cho cấp số cộng
A.

.

có

,

. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

B.

.

C.

.

là

D.

.

Lời giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có
Câu 5: Cho cấp số cộng có
A.

.

.

. Tổng của 23 số hạng đầu tiên là
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Ta có:
thuvienhoclieu.com

Trang 18

thuvienhoclieu.com

Câu 6: Tập giá trị của hàm số
A.

.

là
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
ta có

nên tập giá trị là

Câu 7: Tập nào sau đây là tập nghiệm của phương trình

?

A.
B.

C.

D.
Lời giải
Ta có:

Câu 8: Hàm số

xác định trên tập hợp

là một dãy số hữu hạn. Số hạng

đầu và số hạng cuối của dãy số đó là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải

Câu 9: Trong các dãy số
A.

.

sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
B.

.C.

. D.

.

Lời giải
Xét dãy số

với số hạng tổng quát

, ta có

.
thuvienhoclieu.com

Trang 19

.

thuvienhoclieu.com
Do đó dãy số

là một cấp số nhân với công bội

Câu 10: Cho cấp số nhân
A.

có

.

và

. Tính tổng

B.

.

số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

C.

.

D.

.

Lời giải

.
Câu 11: Giới hạn
A.

bằng

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

.
Câu 12: Cho các giới hạn:
A.

;

.

B.

, hỏi

.

bằng

C.

.

D.

.

Lời giải
.
☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai.

Câu 13: Cho các hàm số

;, khi đó:

a) Hàm số

có tập xác định là:

.

b) Hàm số

đã cho là hàm tuần hoàn.

c) Hàm số

đã cho là hàm số chẵn.

d) Hàm số

có giá trị lớn nhất bằng

.
Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

a) Hàm số xác định khi:
Vì vậy tập xác định hàm số là:

d) Sai

(đúng với mọi

).

.
thuvienhoclieu.com

Trang 20

thuvienhoclieu.com
b) Với mọi

thì

và

.

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.
c)

, do đó hàm số

đã cho là không phải

hàm số chẵn.
d)

. Vậy hàm số

trị lớn nhất bằng

có giá

.

Câu 14: Cho hàm số

, khi đó:
.

a) Hàm số có tập xác định
b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

.

c) Tập giá trị của hàm số là
d) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Lời giải
a) Đúng

b) Sai

c) Sai

Ta có: hàm số có tập xác định

.

b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

.

c) Và tập giá trị của hàm số là

d) Đúng

.

d) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành:

.

Phương trình này vô nghiệm. Do đó, đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành.
Câu 15: Cho cấp số nhân

với công bội

và

. Khi đó:

a) Số hạng đầu
b) Số hạng
c)

là số hạng thứ 8
thuvienhoclieu.com

Trang 21

thuvienhoclieu.com
d) Cấp số nhân có công bội
Lời giải
a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có:
Thay

.
vào

, ta được:

.

Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu

và công bội

.

Khi đó
Vậy

nên không phải là số hạng thứ 8

Câu 16: Cho hàm số

. Khi đó:

a) Giới hạn
b) Giới hạn

.

c) Giới hạn
d) Hàm số tồn tại giới hạn khi
Lời giải
a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: Giới hạn
b) Xét dãy số
Khi đó:

bất kì sao cho

và

, ta có:

.

.
thuvienhoclieu.com

Trang 22

thuvienhoclieu.com
c) Xét dãy số

bất kì sao cho

và

Khi đó:

, ta có:

.

.

d) Vì

(hay

) nên không tồn tại

.

☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn.

Câu 17: Tìm số nghiệm thuộc đoạn

của phương trình

.

Lời giải
Ta có:

Vậy phương trình có 2025 nghiệm trên đoạn

.

Câu 18: Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

Ở đây, thời gian

tính bằng giây và quãng đường

khoảng thời gian từ

tính bằng centimét. Hãy cho biết trong

đến 16 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Lời giải

Khi vật qua vị trí cân bằng,ta có

Trong khoảng thời gian từ 0 đến

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến

:

giây, tức là

hay

giây, vật đi qua vị trí cân bằng 15 lần.

Câu 19: An định xếp một hình tháp bởi các mảnh ghép tam giác ( hình vẽ minh họa). Tầng dưới cùng
An xếp 35 hình và tầng tiếp theo ít hơn tầng dưới nó hai hình. An xếp cho đến khi không xếp
lên được nữa. Hỏi An cần bao nhiêu mảnh ghép hình tam giác để xếp xong tháp?
thuvienhoclieu.com

Trang 23

thuvienhoclieu.com

Lời giải
Theo giả thiết tòa tháp được xếp bằng các hình tam giác, số các tam giác xếp theo quy luật là
một cấp số cộng. Gọi số tam giác tầng trên cùng là
Gọi tầng dưới cùng là

thì ta có

.

Ta có:
Vậy tổng số tam giác trong 18 tòa tháp trên là
Câu 20: Cho hình vuông
theo thứ tự của

có cạnh bằng
cạnh

,

,

.

và có diện tích
,

. Nối

trung điểm

,

ta được hình vuông thứ hai có diện tích

tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là

có diện tích

như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích

,

,…,

,
. Tiếp

, …và cứ tiếp tục làm
. Tính tổng

.
Lời giải

thuvienhoclieu.com

,

Trang 24

thuvienhoclieu.com
Ta có

;

;

,…

Suy ra
Do đó

,

,

,…,

là cấp số nhân với số hạng đầu

Vây

và công bội

.

.

Câu 21: Cho hình vuông

có độ dài bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông

, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông
thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông.
Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải
Nếu cạnh hình vuông ban đầu là

Gọi cạnh hình vuông
hình vuông thứ ba là

thì theo định lí Pythagore, ta có cạnh hình vuông thứ hai là

là

, từ

ta có cạnh hình vuông thứ hai là

, cạnh hình vuông thứ tư là

Xét tổng chu vi dãy các hình vuông là:

thuvienhoclieu.com

Trang 25

, cạnh

thuvienhoclieu.com
Dễ thấy
bội bằng

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 1, công
.

Vậy ta có:

.

Câu 22: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất
số:

sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm

. Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung

bình chỉ tối đa là bao nhiêu nghìn đồng?
Lời giải
Chi phí trung bình

để sản xuất một sản phẩm là:
(sản phẩm).

.
Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn.
-----------------------------HẾT-------------------------------ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I-NĂM HỌC 2024-2025
MÔN: TOÁN 11

thuvienhoclieu.com

ĐỀ 3

☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi,
thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Câu 1:

Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác có số đo
nào dưới đây?

có cùng điểm biểu diễn với góc

A.
.
B.
.C.
.
D.
.
Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về đường tròn lượng giác ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường tròn có bán kính bằng là một đường tròn lượng giác.C. Mỗi đường tròn có
bán kính bằng , có tâm tại gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D. Mỗi đường tròn được định hướng, có bán kính bằng , có tâm tại gốc tọa độ và lấy điểm
là điểm gốc của đường tròn là một đường tròn lượng giác.
Câu 3: Cho

với

, khi đó

bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 26

thuvienhoclieu.com
A.
Câu 4:

.

B.

.

C.

Tập xác định của hàm số
A.

.

D.

.

là

.

B.

.C.

D.

.

.

Câu 5: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

A.

.

B.

Câu 6: Phương trình

.

D.

.

.

B.

. C.

.

D.
.
Dãy số gồm tất cả các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, theo thứ tự tăng dần là
A.

.

B.

.C.

D.

.

.

Câu 8: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
A.
Câu 9:

C.

có nghiệm là

A.

Câu 7:

.

.

B.

biết số hạng đầu
.

Công bội của cấp số nhân

biết

C.
và

A.
.
B.
.
Câu 10: Câu khẳng định nào sau đây sai?
A.

với

B.

với

D.

với

Câu 11: Tính
A.

, công sai
.

là
D.

.

là
C.

.

D.

.

là số nguyên dương.
là hằng số.C.

với

.

.
bằng

.

Câu 12: Hàm số

B. .

C.

được gọi là liên tục trên đoạn
thuvienhoclieu.com

.

D.

.

nếu nó liên tục trên khoảng
Trang 27

và

thuvienhoclieu.com
A.

,

.

B.

,

.C.

D.

,

.

,

.

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13: An đi học bằng xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp có đường kính
mm
và quay được 10 vòng trong 5 giây. Khoảng cách từ nhà An đến trường là 6,5 km và trường
của An vào học lúc 6 giờ 45 phút.
a) Trong một giây bánh xe của An quay được

.

b) Độ dài quãng đường An đi được trong một phút bằng

m.

c) Vận tốc xe của An nhỏ hơn
km/h (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) An đi học lúc 6 giờ 30 phút, thì không muộn học.
Câu 14: Cho phương trình
a)

. Phát biểu sau đúng hay sai?

là một nghiệm của phương trình.

b) Phương trình tương đương với

.

c) Phương trình tương đương với

.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong
Câu 15: Cho dãy số
a)
b)

bằng 0.

với

.

.
là cấp số cộng với công sai

c) Số

là số hạng thứ

.

của dãy.

d) Tổng các số hạng kể từ số hạng thứ

đến số hạng thứ

Câu 16: Cho hàm số

.

(m là tham số thực).

a) Hàm số liên tục trên khoảng
b)

là

.

.

c)
d) Hàm số đã cho liên tục trên tập số thực

khi

.

☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22

Câu 17: Biết hàm số
là các số nguyên,

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
là phân số tối giản. Tính giá trị
thuvienhoclieu.com

, với
.
Trang 28

thuvienhoclieu.com
Câu 18:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

Câu 19: Độ cao

để phương trình

có nghiệm?

của một cabin trên vòng quay vào thời điểm giây sau khi bắt đầu chuyển

động được cho bởi công thức
. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt
độ cao
m lần đầu tiên? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 20: Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

, biết công sai dương và

Câu 21: Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một
năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước.
Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua
ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A
được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?
Câu 22: Cho các số thực

thỏa mãn

và

phân biệt của phương trình

. Khi đó số nghiệm thực

bằng bao nhiêu?

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN GIẢI
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Câu 1:

Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác có số đo
nào dưới đây?
A.

.

có cùng điểm biểu diễn với góc

B.

.C.

.

D.

.

Lời giải.
Vì
nên góc
có cùng điểm biểu diễn với góc
.
Câu 2: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về đường tròn lượng giác ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường tròn có bán kính bằng là một đường tròn lượng giác.C. Mỗi đường tròn có
bán kính bằng , có tâm tại gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D. Mỗi đường tròn được định hướng, có bán kính bằng , có tâm tại gốc tọa độ và lấy điểm
là điểm gốc của đường tròn là một đường tròn lượng giác.
Lời giải.
Theo định nghĩa đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng ,
được định hướng và lấy điểm
Câu 3: Cho
A.

với
.

là điểm gốc của đường tròn.

, khi đó
B.

bằng

.

C.

.

D.

.

Lời giải.
Vì

nên

.
thuvienhoclieu.com

Trang 29

thuvienhoclieu.com
.
.

.
Câu 4:

Tập xác định của hàm số
A.

là

.

B.

.C.

D.

.

.
Lời giải

Điều kiện xác định:

.

Vậy tập xác định của hàm số
là
Câu 5: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

A.

.

B.

.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

.

C.
Lời giải

A.

thỏa mãn điều kiện này.

có nghiệm là
.

B.
D.

D.

.

Trong các hàm số ở bốn phương án thì chỉ có hàm số
Câu 6: Phương trình

.

. C.

.

.
Lời giải

Ta có

.
thuvienhoclieu.com

Trang 30

.

Câu 7:

thuvienhoclieu.com
Dãy số gồm tất cả các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, theo thứ tự tăng dần là
A.

.

B.

.C.

D.

.

.
Lời giải

Các số hạng của dãy số là:

.

Câu 8: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
A.

.

biết số hạng đầu

B.

.

C.
Lời giải

Ta có:
Câu 9:

.

là
D.

.

.

Công bội của cấp số nhân
A.

, công sai

.

biết

B.

và

.

là

C.
Lời giải

.

D.

.

Ta có:
.
Câu 10: Câu khẳng định nào sau đây sai?
A.

với

B.

với

D.

với

là số nguyên dương.
là hằng số.C.

với

.

.
Lời giải

Ta có

với

Câu 11: Tính
A.

.
bằng

.

B. .

C.
Lời giải

Ta có:

.

D.

.

.

Câu 12: Hàm số

được gọi là liên tục trên đoạn

A.

,

.

B.

,

.C.

D.

,

.

nếu nó liên tục trên khoảng

,

và

.

Lời giải
Hàm số

được gọi là liên tục trên đoạn
,

nếu nó liên tục trên khoảng

.
thuvienhoclieu.com

Trang 31

và

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai.

thuvienhoclieu.com

Câu 13: An đi học bằng xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp có đường kính
mm
và quay được 10 vòng trong 5 giây. Khoảng cách từ nhà An đến trường là 6,5 km và trường
của An vào học lúc 6 giờ 45 phút.
a) Trong một giây bánh xe của An quay được

.

b) Độ dài quãng đường An đi được trong một phút bằng

m.

c) Vận tốc xe của An nhỏ hơn
km/h (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) An đi học lúc 6 giờ 30 phút, thì không muộn học.
Lời giải
a) Đúng.
Một giây bánh xe của An quay được

vòng.

Vì một vòng bánh xe quay được một góc

.

Nên trong 1 giây bánh xe quay được
b) Sai.
Ta có

phút bằng

.

giây.

Trong một phút bánh xe quay được

vòng

Chu vi bánh xe (chiều dài một vòng) là

mm =

m.

Độ dài quãng đường bánh xe quay được trong một phút là
c) Đúng.
Trong 1 phút =

giờ, An đi được quãng đường

Vận tốc xe cuả An là
d) Sai.

m=

km.

km/h.

Thời gian để An đi từ nhà đến trường là
=
giờ
An đến trường lúc 6 gời 30 phút + 25,36 phút = 6 giờ 55,36 phút.
Vậy An đi học muộn 10,36 phút.
Câu 14: Cho phương trình
a)

m=

phút.

. Phát biểu sau đúng hay sai?

là một nghiệm của phương trình.

b) Phương trình tương đương với
c) Phương trình tương đương với

.
.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong
bằng 0.
Lời giải
Phương trình:
thuvienhoclieu.com

Trang 32

m.

thuvienhoclieu.com

,
Với
Tổng các nghiệm trên đoạn
là
Vậy: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Câu 15: Cho dãy số
a)
b)

với

.

.
là cấp số cộng với công sai

c) Số

là số hạng thứ

.

của dãy.

d) Tổng các số hạng kể từ số hạng thứ

đến số hạng thứ
Lời giải

là

.

a) Sai.
Ta có
b) Đúng.

.

Ta có:
Suy ra
c) Sai.
Số hạng thứ
d) Sai.

(không đổi).
là cấp số cộng với công sai

.

của dãy là

.

Ta có

.

Tổng các số hạng kể từ số hạng thứ

đến số hạng thứ

là

.

Câu 16: Cho hàm số

(m là tham số thực).
thuvienhoclieu.com

Trang 33

thuvienhoclieu.com
a) Hàm số liên tục trên khoảng
b)

.

.

c)
d) Hàm số đã cho liên tục trên tập số thực

khi
Lời giải

.

a) Đúng
Với
b) Sai

ta có

Với
c) Sai

ta có

là hàm số liên tục trên

.
.

.
d) Sai
.
Với

ta có

Hàm số

là hàm số đa thứ...